ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 169
Скачиваний: 2
Точно так же при к = ------ г получим уравнение нормали
П р и м е р і . |
Если у = |
In х и х0 = 1, то имеем уравнение касательной |
||
у = X — 1 и уравнение нормали у = —х + |
1. |
|||
Пусть касательная пересекает ось абсцисс в точке А, а нор |
||||
маль — в |
точке |
С (см. |
рис. 40). |
длина отрезка А М 0. Дли |
Длиной |
касательной Т называется |
|||
ной нормали N |
называется длина отрезка М 0С. Подкасателъной |
|||
называется |
отрезок AB; |
его длина |
обозначается sT. Поднор |
|
малью называется отрезок ВС; его длина обозначается %. Угол В М 0С (см. рис. 40) равен углу наклона касательной <р
итангенс его равен tg cp = f' (х0) = y'Q. Отсюда следуют почти очевидные равенства
|
ST = I АВ 1= |
! г/о ctg cp 1= |
Уа |
, |
|
|
|
SJV= I ВС I = |
I у0tg ф I = |
I УоУо I, |
(26) |
||
|
T = \f(AB)* + (BM0)* = |
f - |
V l + у'02. |
|
||
|
|
|
Уо |
|
|
|
|
N = Ѵ (М0В ? + (ВС)* = |
|у0| / і |
+у'о2. |
|
||
П р и м е р 2. |
Если у — ех, то у' — ех и sT = 1. |
|
|
|||
П р и м е р З . |
Если у2 = 2рх, то 2уу’ = |
2р и sN = |
р. |
|
||
47. Приближенное вычисление вещественных корней уравне ния. Число X* называется корнем функции / (х), если равно нулю значение этой функции при х = æ*. Это число вместе с тем называется корнем уравнения
/(*) = 0. |
(27) |
П о с т а н о в к а в о п р о с а . |
Дано уравнение (27). Тре |
буется вычислить действительные корни этого уравнения с задан ной точностью. Это значит, что для каждого корня х* требуется найти его приближенное значение хп, удовлетворяющее условию I хп — х*\ < Л , где А — данное число, называемое предельной абсолютной погрешностью вычисления (см. и. 50).
Задача решается в два этапа. На первом этапе, называемом этапом отделения корней, находят промежутки вещественной оси, в каждом из которых содержится только один корень данного урав нения. Отделение корней может быть выполнено, например, путем построения графика / (х), который позволит найти нужные про межутки.
Пусть (а, Ь) — один из таких промежутков. Предположим, что внутри промежутка функция изменяется монотонно (возрастает
6 Заказ 114 |
81 |
или убывает) и сохраняет направление вогнутости, а на концах промежутка функция принимает значения разных знаков
/(«)/(*>)< 0. |
(28) |
На втором этапе выполняют приближенное вычисление корней
с заданной точностью. Ниже рассмотрены некоторые методы этих вычислений.
1.С п о с о б п р о б . Корни уже отделены, рассматривается
промежуток (а, Ъ), с |
указанным выше свойством. Берем любое |
хі из промежутка (а, |
Ъ), например х1 —- (а -f- b)j2, и вычисляем |
значение функции / (яД. В силу монотонности / (х) в (а, Ь) в одном из промежутков (а, хг) или (хг, Ь) функция меняет знак, если
Î (-К) =/= 0. Пусть это |
будет (а, хД. Тогда берем х 2 — (а 4- Xj)/2, |
||
вычисляем / (х2) и выбираем тот из промежутков (а, х2) или (х 2, жД, |
|||
в котором / (ж) меняет знак. |
Продолжать этот процесс следует |
||
до тех пор, пока длина элементарного промежутка не станет |
|||
меньше |
Л. |
х о р д . |
Рассмотрим промежуток (а, Ь), в кото |
2. |
С п о с о б |
||
ром / (X) монотонна и выполнено условие (28). Геометрическое содержание идеи метода хорд таково: проводим хорду AB (рис. 41), находим точку хг пересечения хорды с осью абсцисс и соответству ющую точку Вг на кривой. Далее проводим хорду АВ±, находим
х 2 и В 2 и т. д. Можно доказать, |
что lim хп — х * |
при п |
оо. |
||
Соответствующие аналитические выкладки таковы. Уравнение |
|||||
хорды AB имеет вид |
у = / (а) -f ^ |
^^ |
(х — а). Решая его сов |
||
местно с уравнением оси абсцисс |
у — 0, |
получим x1 = a — f(a )x |
|||
X __ Ь -а__ |
|
|
|
|
|
А /(*»)—/(а) • |
определенности, |
что /( а ) > 0, /(& )<0 |
и |
||
Предположим для |
|||||
/"(ж )> 0. Тогда, заменив в правой |
части |
последнего |
равенства b |
||
на хг, получим х2. Продолжая рассуждения, приходим к вычис лительной формуле способа хорд
хп~ а |
(29) |
*л+і = й —/(«) f ( x n ) ~ f (а) |
3. |
С п о с о б к а с а т е л ь н ы х (способ Ньютона). Пусть |
||
промежуток (а, |
Ъ) столь мал, что выполнено условие (28) и /" (ж) |
||
сохраняет знак. |
Идея |
метода имеет следующее геометрическое |
|
содержание. Проводим |
касательную к графику функции в той из |
||
точек А или В, в которой выполнено условие / (ж)/" (х) > 0 . Каса тельная пересечет ось Ох в точке с абсциссой xY (рис. 42). Этой
точке соответствует точка |
А х |
на кривой. |
Строим |
касательную |
||||||
в точке |
А г, находим ж2 и А 2 и т. д. Можно доказать, что lim хп = |
|||||||||
- |
X* при п -*■ оо. |
|
|
|
|
|
|
|||
кие |
Геометрическому построению соответствуют такие аналитичес |
|||||||||
выкладки. |
Уравнение |
касательной в |
точке |
А имеет вид |
||||||
г/ = |
/ ( а ) - f / ' (а) (ж — а). Абсцисса |
точки |
пересечения |
касательной |
||||||
с |
осью |
абсцисс |
жг — а- |
/(«) |
Если |
/ ( а ) > 0, то, |
заменив а на |
|||
Г С«) |
||||||||||
х1 получим ж2 и т. д. Таким образом, приходим к вычислитель ной формуле Ньютона
®п+і = *л — ТГтЦ (га = 0, 1, 2, ..., |
ж0 = а). |
(30) |
/ \Хп) . |
|
|
4. К о м б и н и р о в а н н ы й с п о с о б . |
Заметим, что точ |
|
ки хп и хп всегда лежат по разные стороны от х „.. Поэтому ведем расчет по формулам метода хорд и метода касательных парал лельно, увеличивая п до тех пор, пока не будет выполнено усло
вие |
I хп — хп I |
< А. |
Тогда хп «=* х * |
или хп ^ |
ж*. |
|
||||||
П р и м е р . |
|
/ (х) = |
ж3 — 6х + 2. |
Пусть а = |
0, |
Ъ= |
1. Способ хорд |
|||||
приводит к следующиіч вычислениям: , |
|
|
|
|
|
|||||||
1) / (0) = 2, |
/ (1) = — 3 и |
хх = — — ^ 2 |
= 0,4, |
причем |
/ (0,4) = — 0336, |
|||||||
2) |
а = 0; яд = 0,4; ж2 = 0,342. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Способ касательных дает следующее: в точке а имеем / (я) > 0 и /" (я) > |
||||||||||||
►> 0. Поэтому ж! = |
-------—= |
—-, / (ад) )>0. Следовательно, 0,333<yï* <; 0,342. |
||||||||||
|
|
|
|
О |
о |
|
|
|
|
|
|
|
5. С п о с о б |
и т е р а ц и й . * |
|
Приведем |
уравнение (27) к |
||||||||
виду ж = ф (ж), где ф (ж) удовлетворяет в (а, |
Ъ) условию | ф' (ж) | < |
|||||||||||
< 1 , |
если это |
приведение |
возможно. |
Вычислительная формула |
||||||||
метода имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
жя+і = |
ф(ж/і) |
(га = |
0, 1, 2, . ..), |
(31) |
|||||
где ж0 — любое число из промея^утка (а, Ь), |
в котором содержится |
|||||||||||
корень. Можно |
доказать, |
что lim хп = ж* при |
п |
оо- |
||||||||
* Подробное изложение см. в работе И. П. Мысовских «Лекции по мето дам вычислений». М., Физматгиз, 1962.
П р и м е р. |
Уравнение |
х3 — 6х + |
2 = |
0 можно записать в виде х -- |
||
1 |
ф (ж). |
В промежутке |
(0,1) |
имеем 0 << ф' (г) = |
1 |
|
= — (х3 + 2) = |
— х2 <[ 1. |
|||||
Вычисления ведем по формуле ж„+1 — |
(х% + 2). Положив хп = |
0, полу |
||||
чим хі = —, затем ж2 |
55 |
и т. д. |
|
|
|
|
О162
§7. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
48.Понятие дифференциала функции. Пусть у — / (х) —
функция н е з а в и с и м о й п е р е м е н н о й х дифференци руема в рассматриваемом промежутке. Фиксируем в этом про межутке точку X. Если дать аргументу х приращение Ах, то функ
ция |
получит |
приращение |
|
Ау |
= |
/ (х + Ах) — / (х). |
|
||||||
О п р е д е л е н и е . Д и ф ф е р е н ц и а л о м ф у н к ц и и |
|||||||||||||
у = |
/ (х) в |
т о ч к е |
х 0 |
называется |
произведение |
производной |
|||||||
f (X), вычисленной в |
точке |
х 0, |
на |
приращение Ах |
независимой |
||||||||
переменной |
х. |
Он |
обозначается |
символом |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dy = |
/' (х0) Ах. |
|
0 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Под |
д и ф ф е р е н ц и а л о м |
н е з а в и с и м о й |
п е р е м е н - |
||||||||||
н о й |
понимают |
ее |
приращение |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx — Ах. |
|
|
|
(2) |
||
Заметим, что при у — х формула |
(1) переходит в (2), так как |
||||||||||||
у' — 1. Учитывая равенство (2), |
формулу (1) |
можно переписать |
|||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
dy = f‘ (x0)dx. |
|
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Например, |
если у = cosx, |
то d y = —sinxdx. |
|
|
|||||||||
Определение дифференциала носит формальный характер. |
|||||||||||||
Выясним содержание |
этого |
понятия. |
|
Функция f(x) |
по условию |
||||||||
дифференцируема, |
т. |
е. |
существует |
lim |
— f (х0). Поэтому |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
Аг/ |
|
Дх-О Лх |
.. |
, . |
разность а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
между переменной |
|
и ее пределом / |
[х) есть вели |
||||||||||
чина |
бесконечно малая при |
Ах -ѵ 0. Отсюда |
следует равенство |
||||||||||
|
|
|
|
|
Ау = f |
(х0) Ах + |
а Ах. |
|
(4) |
||||
Эта формула связывает приращение функции и дифференциал функции. Она показывает, что приращение дифференцируемой функции всегда может быть представлено в виде суммы двух
слагаемых dy и а Ах, |
где а — бесконечно малая |
при стремлении |
Ад: к нулю: |
Ау — dy -f а Ах. |
(5) |
7 |
Если /' (х) Ф- 0 в рассматриваемой точке х 0, то дифференциал функции есть главная частъ приращения функции в том смысле, что 1) приращение функции Ау и дифференциал функции dy при стремлении Ах к нулю есть э к в и в а л е н т н ы е бесконеч ные малые
|
lim |
dy |
■lim |
( 1 -{- -5L ^ = |
1 . |
|
|
Дх^О |
х->0 |
' |
V ) |
|
|
Следовательно (см. п. 19), разность Ау — |
хДх |
|||||
— dy, т. е. |
аАх, есть бесконечно малая |
|||||
в ы с ш е г о |
п о р я д к а |
по |
сравнению |
|
||
с dy, |
|
|
|
|
|
|
2)дифференциал функции dy есть ве
личина, |
пропорциональная Ах; |
коэффи |
X 1 |
||||||
циентом пропорциональности служит /' (а-). |
|
||||||||
Это |
существенное |
свойство |
дифферен |
|
|||||
циала важно в вычислительном отно |
|
||||||||
шении. |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
П р и м е р . |
Если у = ж2, то Ду = |
2хАх + |
Рис. 43. |
|||||
-J- (Дж)2. Здесь |
первое |
слагаемое |
правой |
части |
равно (Дж)2 |
||||
2жДж = |
dy |
есть |
дифференциал функции, |
а второе |
|||||
а = |
Дж |
(рис. 43). |
|
|
|
|
|
||
( 6 )
( І Х ) 2
х і х
à x
осДж, где
Выше установлено, что при стремлении Ах к нулю дифферен циал функции и приращение функции разнятся на бесконечно малую величину высшего порядка по сравнению с dy. Если прене бречь этой бесконечно ма лой, то придем к прибли
женному равенству
|
|
A y ^ d y , |
(7) |
||
которое |
тем |
точнее, |
чем |
||
меньше |
Ах\. |
Суть |
этого |
||
равенства |
состоит в |
том, |
|||
что |
при достаточно малых |
||||
значениях |
Ах | прираще |
||||
ние |
функции |
с большой |
|||
степенью |
|
точности можно |
|||
заменить |
|
дифференциалом |
|||
функции. |
|
Это |
положение |
||
лежит в основании многих приложений математического анализа
при |
исследовании явлений природы. |
С |
ф и з и ч е с к о й т о ч к и зрения дифференциал функции |
равен тому приращению, которое получила бы функция, если бы на участке от х до х + Ах она изменялась бы с постоянной ско
ростью, равной ее значению |
в точке х, т. е. со скоростью /' (х). |
Г е о м е т р и ч е с к а я |
и н т е р п р е т а ц и я дифферен |
циала функции. Рассмотрим |
график дифференцируемой функции |
