ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 2
у |
= / (а;) и проведем касательную к графику в точке с абсциссой |
ж |
(рис. 44). Здесь приращение независимой переменной предста |
влено величиной отрезка MC = AB = Дж. Приращение функции есть величина отрезка СЕ = 5С — ВС = / (ж + Дж) — / (ж) =
— Ар. Дифференциал функции представлен величиной отрезка CD --- MC tg ф = Дж • у' = dy. Формуле (5) соответствует гео метрическое равенство СЕ = CD + DE. Следовательно, диф ференциал функции равен приращению ординаты касательной
кграфику функции.
49.Свойства дифференциала. Дифференциал функции лишь множителем dx отличается от производной. Поэтому имеют место свойства дифференциалов, аналогичные свойствам производных.
Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов этих функций:
d(u~Cv) —du -j- dv.
Дифференциал произведения двух дифференцируемых функ ций и il V определяется формулой
d(uv) = udv )-v du. |
(8) |
Докажем, например, формулу (8). Если у = иѵ, |
то |
dy — y'dx = (u'v + uv") dx = uv’dx 4- vu'dx = udv + vdu,
потому что v'dx = dv, u’dx = du.
Аналогично доказываются и другие формулы, в частности формула, определяющая дифференциал частного:
|
|
d { V j - — |
Ф— |
■ |
|
|
|
||
Теорема (о дифференциале сложной функции). Пусть функции |
|||||||||
г/= / (ж) и ж = ф(£) образуют |
сложную |
функцию |
У = /(ф(0)> |
гДе |
|||||
t —независимая |
переменная. |
По |
определению |
дифференциала |
|||||
функции |
имеем dy = y\dt. Здесь y’i = y'xx't. Следовательно, |
|
|||||||
|
|
ày-^y'xx\dt~-y'xdx, |
|
|
|
(9) |
|||
где dx = |
x't dt. |
Сравнивая формулы (3) |
и (9), приходим к следу |
||||||
ющему утверждению: формула dy = у'х dx |
имеет место |
как в слу |
|||||||
чае,, когда ж — |
независимая |
переменная |
(тогда |
dx = |
Ах), |
так |
|||
и в случае, когда |
ж является |
функцией |
независимой переменной t |
||||||
(тогда dx = ж) dt).
Таким образом, форма первого дифференциала одна в обоих случаях, но содержание ее различно. Это свойство неизменности формы выражения dy называетбя инвариантностью формы пер вого дифференциала.
Из равенства (9) следует, что производная равна отношению соответствующих дифференциалов:
( 10)
50.Формулы приближенных вычислений. Перепишем фор
мулу |
(7), положив |
в ней Ау |
— f (х) — / |
(хи), Ах |
= х — х 0, |
|
dy |
= |
f {хо) (х — х 0). |
Получим |
|
|
|
|
|
f ( x ) ^ f ( x 0) + f'(x 0) ( x - x 0). |
|
(И) |
||
Эта |
приближенная формула тем |
точнее, чем |
меньше |
| х — х 0 |. |
||
Она является источником многих формул приближенных вычис лений. Формула (И) позволяет вычислить приближенное значе
ние / (х) в точке X, |
близкой к х 0, если известно значение функции |
|||||||||||
в |
точке |
х 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
1. |
sin |
31° = sin |
( i l |
+ ^ ) |
~ s i n - f + |
cos T ’ W |
~ |
|||
«=*0,5150. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в формуле (11) положить x 0 = |
0, то получим ее частный |
||||||||||
случай |
|
|
|
f ( x ) ~f ( 0 ) + f(0 ) x . |
|
|
(12) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Равенство (12) тем точнее, чем меньше |
| х |. Рассмотрим |
не |
|||||||||
сколько |
примеров. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
П р и м е р 2. |
Если / (х) |
71 г |
1 -f- х, то /' |
(0) = |
2 |
|
|
||||
|
у |
— и согласно (12) имеем |
||||||||||
|
|
|
|
|
ПгV 1-f-x |
X |
|
|
|
(13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
В |
частности, / 3 3 |
= |
2 ÿ \ + |
^ |
|
2 ( l + |
I • |
= 2 |
. |
|
||
|
П р и м е р з . |
При / (х) = |
sin х |
получаем |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Sin X |
|
|
|
(14) |
||
|
П р и м е р |
4. |
При / (х) = |
In (1 -f- х) получаем In (1 + |
х) ;=» х. |
|
||||||
|
П р и м е р 5. |
При / (х) = |
arctg х получаем arctg х я« х. |
|
||||||||
Пусть некоторая величина имеет точное значение х0 и прибли женное значение х. Абсолютной погрешностью приближенного значения х называется абсолютная величина разности х — х0 между X и ее точным значением х0, т. е. \х — х0|.
Предельной, или максимальной, абсолютной погрешностью
величины |
X называется положительное число А*, не меньшее |
I X — х0 |. |
Поэтому имеем |
|
1X — х„ I Д*. |
П р и м е р 6. При измерении длины стержня при помощи масштабной линейки с миллиметровыми делениями предельная абсолютная ошибка из мерения величины х0 равна Д* = 1 мм. При этом мы не знаем х0 и х — х0. Мы не знаем истинной ошибки измерения, но знаем ее верхнюю границу, а именно величину А*.
П р и м е р 7. При измерении напряжения электрического тока при помощи вольтметра класса 0,5 со стовольтовой шкалой прибора имеем
= 0,5 В.
|
|
З а д а ч а . |
|
Найти |
предельную |
абсолютную |
погрешность |
Ау |
||||||||||||
величины |
у, |
определяемой равенством у = / (ж), |
где / (х) |
— дан |
||||||||||||||||
ная дифференцируемая функция, если известно: х — приближен |
||||||||||||||||||||
ное |
значение |
величины х0 и |
Д* — предельная |
абсолютная |
|
по |
||||||||||||||
грешность |
X. |
|
|
|
Согласно определению предельной |
абсолют |
||||||||||||||
ной |
Р е ш е н и е . |
|||||||||||||||||||
погрешности |
имеем |
Д ^ | Дж |, |
где |
Ах — х — х0, |
и |
|||||||||||||||
Ау |
|
Дг/ 1, где Ау = |
у — у0. |
нахождения |
Ау |
приближенной, |
||||||||||||||
|
Если |
воспользоваться |
для |
|||||||||||||||||
но удобной для вычисления формулой (7), то получим приближен |
||||||||||||||||||||
ное равенство Ау ?» f'(x) Ах. Желая найти величину Д^, |
заменим |
|||||||||||||||||||
сомножители |
f'(x) и Ах их |
наибольшими по абсолютной величине |
||||||||||||||||||
значениями |
и |
придем |
к неравенству |Ду | ^ |
\f'(x)\ Ах. |
|
Следова |
||||||||||||||
тельно, |
можно |
принять правую часть этого неравенства |
за |
|
Ау: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ау ^ \Г ( х ) \А х. |
|
|
|
|
|
|
(15) |
||||
|
|
П р и м е р е . |
|
|
|
4 |
|
1 |
где |
d = 10±0,2, т. |
е. |
|
Д^= 0,2. |
|||||||
|
|
Пусть г = — л/'3 = — яй3, |
|
|||||||||||||||||
Тогда с = |
1 |
л- ІО3 »? 520, |
Дц = 1vj | |
1 |
|
г» 31. Окончательно имеем |
||||||||||||||
— |
—— псР |
|||||||||||||||||||
|
|
|
о |
и 409< г< 551 . |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
і> = 520±31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
51. Формула |
Тейлора.* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Лемма. Всякий многочлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (х) = |
а0-f агх -f- а2ж2 ~ • |
• • 4- апхп |
|
|
|
|
(16) |
||||||
можно разложитъ по возрастающим степеням разности |
х — х0, |
|||||||||||||||||||
где х0 — любое фиксированное число. |
|
|
|
|
тогда |
х = |
||||||||||||||
f = |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обозначим z — х — х0, |
||||||||||||||||||
х0 + |
z |
и |
|
/ |
(х) = |
а0 -f а^Хо + z) |
+ |
• • • + |
ап(х0 + |
z)n. |
Если |
|||||||||
в этом равенстве выполнить действие возведения в степень, пере |
||||||||||||||||||||
группировать члены по возрастающим степеням z и привести |
||||||||||||||||||||
подобные члены, то получим выражение вида |
/ (ж) — b0 + |
b |
|
-f |
||||||||||||||||
+ |
b2z2 4- • • • -f- |
bnzn. |
Заменив |
здесь z на x — ж0, получим |
тре |
|||||||||||||||
буемое представление многочлена по возрастающим степеням |
||||||||||||||||||||
разности x — х0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f(x) = b0 + b1(x —z 0) + b2(z —z 0)2 + .. .+ b n(x —x0)n. |
|
(17) |
||||||||||||||||
|
Для нахождения коэффициентов bk дифференцируем п |
раз |
||||||||||||||||||
тождество |
(17): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
/' (x) = Ь14- 2&2 (х — х0) -f . . . + |
nbn (х — ж0)п-1, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
/" (z) = 2b2 |
2 • 3 (х — х0) + |
. . . -f (п — 1) пЪп (х—ж0)п-*, .... |
|
|
||||||||||||||
_________ |
|
|
|
|
|
Г |
) И |
= /г!6„. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
* Брук Тейлор (1685—1731) — английский математик.
При X = х0 получим / (х0) = Ь0, /'(*„) = &1, г (х0) = 2Ь2, . . .
Следовательно, коэффициенты разложения (17) определяются при к = 0, 1, 2, . . п формулой
К |
1{к) (Хо) |
(18) |
|
к ! ’ |
|||
|
|
||
где к\ — 1-2 . . . к, 0! = 1, /(0) (x0) — f(x 0). |
Подставив эти выра |
||
жения в равенство (17), получим формулу Тейлора для многочлена
f(x) = f (х0) + /' (ж0) (х - |
х0) + |
1 |
(х - x0f |
+ . . . |
+ ~ |
Г І (х - х of. |
|
(19) |
|
Ее можно изобразить сокращенно |
так: |
|
|
|
/ (*) = |
|
(ж ~ |
жо)* • |
(20) |
&=0 |
|
|
|
|
Формула (19) пригодна для изучения функции / (х) в окре стности точки х0, и в этом состоит ее значение. Если \х — х01 величина достаточно малая, то степени этой величины будут еще меньше, и формула Тейлора (19) дает разложение приращения функции Ау = / (х) — / (х0) по возрастающим степеням прира щения аргумента Ах = х — х0
|
Aÿ = |
2 |
4 |
r (Aî)‘ |
(21) |
|
П р и м е р . |
Требуется составить |
таблицу |
значений |
функции / (х) = |
||
= Xs — Зх2 + Зх |
при значениях |
х, |
близких к |
х0 = 1. |
Для этого целесо |
|
образно представить / (х) в виде соответствующего многочлена Тейлора (19):
/ (х) = 1 + |
(х — I)3. Положив, например, х = 1, 2, получим / (1, 2) = 1 + |
+ (0, 2)з = |
1,008. |
Ф о р м у л а Т е й л о р а в о б щ е м с л у ч а е . Рассмот рим произвольную функцию / (х), вообще не являющуюся много членом. Предположим, что она имеет в некоторой точке х0 произ водные всех порядков до п-го включительно. Тогда по образцу
(19) составим многочлен |
|
г«(*) = 2 “ T r ^ ^ - X o Ÿ |
(22) |
Ä=0 |
ч |
и назовем его многочленом Тейлора функции / (х). В частном случае, когда / (х) есть многочлен степени п, согласно (19) полу чим / (х) = Тп (х). В общем случае это тождество не имеет места. Обозначим символом R n (х) разность
R n(x) = f ( x ) - T n(x). |
(23) |
89
