Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Первый из этих определителей Д называется определителем системы (17). Возможны только три случая:

1) Д =£ О, 2 ) Д = 0 , Да =£0, 3) Д - Д х = 0.

Д Ф 0 можно записать в виде А ХВ 2 Ф А 2В2. Отсюда следует, что данные прямые имеют различные угловые коэффициенты, и поэтому эти прямые пересекаются. Формулы (19) определяют координаты

в первом, система (18) является следствием системы (17). Первое уравнение системы (18) не имеет ревзения, потому что его левая часть равна нулю при любом значении х, а правая часть от нуля отлична. Поэтому система (18) не имеет решения, она называется несовместной. Система (17) тоже, несовместна, потому что если бы она имела решение, то оно было бы вместе с тем решением системы (18) . Но система (18) решений не имеет.

Условие Д = 0 геометрически означает, что данные прямые параллельны или совпадают. Но поскольку система (17) не имеет решения, то прямые не имеют общих точек; следовательно, в слу­

Действительно, исходные равенства можно записать в виде А Х)А 2~- = ВХ]В2 и ВХ]В2 = С]/С2, поэтому А Х/А 2 = СХ]С2. Следовательно, в случае 3 выполнено соотношение

причем, если один из членов какого-либо из трех отношений равен нулю то и второй член этого отношения тоже равен нулю.

При условии (20) система (17) сводится к одному уравнению. Действи­

Поэтому система (17) сводится к одному уравнению с двумя неизвестными. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Вместе с тем доказано, что первое уравнение системы (17) сводится ко второму и что оба уравнения определяют одну и ту же прямую. Прямые в этом случае совпадают.

С л е д с т в и е . Соотношения (20) есть необходимое и до­ статочное условие того, что два уравнения системы (17) опреде­ ляют одну и ту же прямую. Достаточность этого условия дока­ зана при рассмотрении случая 3. Для доказательства необходи­ мости предположим, что прямые, заданные уравнениями (17), совпадают; требуется доказать, что выполнено условие (20), т. е. Д = At = 0. Докажем это утверждение способом от противного. Если Д Ф 0 (случай 1), то прямые имеют только одну общую точку, что противоречит предположению о совпадении прямых. Если же Д = 0, но Дх Ф 0 (случай 2), то прямые не имеют общих точек, что опять противоречит условию совпадения прямых.

ную точку N (х, у) плоскости. Для того чтобы точка N принадле­ жала прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

которое называется нормальным уравнением прямой. Вместе с тем доказано, что всякую прямую можно изобразить нормальным уравнением. Уравнение (23) линейно относительно х и у; оно имеет-вид ах + Ъу + с = 0, где а2 + Ь2 = 1 и с < 0 . Например, уравнение —0,6 х + 0,8у — 2 = 0 есть уравнение прямой в нор­ мальной форме, а уравнение 0,6а; — 0,8у + 2 = 0 — нет.

Пусть прямая задана общим уравнением А х + Бу + С = 0. Составим нормальное уравнение этой прямой.

Выше было установлено, что каждую прямую можно изобра­ зить как уравнением общего вида, так и нормальным уравнением. Поэтому между коэффициентами этих уравнений должна существо­ вать зависимость. Поскольку оба уравнения — общее и нормаль­ ное — определяют одну и ту же прямую, то в соответствии с фор­ мулой (20) должно выполняться соотношение между коэффициен­

Если обозначить каждый член отношения (24) через р, то получим

Число р называется нормирующим множителем. Для определения знака нормирующего множителя используем третье из равенств (25), согласно которому Ср есть число отрицательное, так как р > 0. Поэтому знак нормирующего множителя противоположен

к нормальному виду, достаточно умножить все члены данного уравнения на нормирующий множитель. Действительно, при этом получим уравнение Ирж + Брг/ + Ср = 0, которое является, принимая во внимание соотношения (25), нормальным уравнением этой же прямой.

Геометрический смысл коэффициентов А и В общего уравнения прямой виден ив первых двух равенств (25). А и В — числа про­ порциональные (коэффициент пропорциональности р _1) соответ­ ственно косинусу и синусу угла наклона нормали к данной прямой.

П р и м е р . Найти cos a и sin a прямой, заданной уравнением Зх — 4у — >—5 = 0. Для этого вычисляем р = 1/5 и по формулам (25) находим cos a = 3/5, sin a = —4/5. Следовательно, угол a тупой. Нормальное уравнение данной прямой имеет вид 0,6г — 0,8у — 1 = 0 .

78. Расстояние от точки до прямой. Найдем расстояние d от данной точки М 1 (хи у і) до прямой, заданной уравнением (23). Для этого проведем перпендикуляры М j/V и OQ к данной прямой.

знак минус соответствует случаю, когда точки M j и О находятся по одну сторону прямой). По теореме о проекции геометрической суммы векторов получаем x t cos a -j-y± sin a = p ± d. Отсюда следует, что