Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

5) (а~— с2) х2+ а2у2 = а2 (а2— с2),

В соответствии с общим понятием уравнения линии равенство (11),

итолько они.

81.Исследование формы эллипса. Если уравнение линии со­

держит переменную х только в четных степенях, т. е. имеет вид

и у только в четных степенях, поэтому эллипс симметричен отно­ сительно координатных осей.іСледовательно, достаточно исследо­ вать изучаемую линию лишь в первой четверти, а затем построить ее зеркальное изображение в координатных осях. Для этого ре­ шим уравнение (11) относительно у и получим уравнение эллипса

симметричная относительно координатных осей (см. рис. 62). Точки пересечения эллипса с его осями симетрии А, А у, В и By называ­ ются вершинами эллипса. Осями эллипса называются отрезки А уА

и ВуВ. Величины а и Ъ в каноническом уравнении (12) эллипса имеют следующий геометрический смысл: а есть длина большой

т. е. два фокуса эллипса сливаются в один, который является центром окружности. Таким образом, окружность является предельной формой эллипса, когда величина с стремится к нулю;

которые показывают, что чем больше е, тем меньше отношение

ординат. Если осп координат ( х , у ) повернуть вокруг начала на угол л/2,

82. Гипербола и ее уравнение. Гиперболой называется гео­ метрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек F t и F 2 плоскости (называемых фокусами гиперболы) есть величина постоянная (равная 2а). Обозначим d (Fу, F 2) — 2с (рис. 63).

Пусть М — произвольная точка гиперболы, тогда по опре­ делению d (Fу, М) — d (F2, М) — 2а или d (F2, М) — d {Fï: М) = = 2а.

Эти условия, определяющие гиперболу, можно записать в виде равенства

Для вывода канонического уравнения гиперболы проведем ось абсцисс декартовой системы координат через фокусы в на­ правлении от I7! к f 2, а начало координат выберем в середине

Для приведения его к канонической форме надо освободиться от радикалов путем двукратного возведения в квадрат. Выполним преобразования равенства (17), аналогичные рассмотренным в п. 80 преобразованиям равенства (9). Обозначим

Равенство (19) является уравнением гиперболы, потому что ему, так же как и равносильному равенству (17), удовлетворяют координаты точек гиперболы и только они.

83. Исследование формы гиперболы по ее уравнению.

1. Уравнение (19) содержит текущие координаты только в чет­ ных степенях, поэтому (см. п. 81) гипербола симметрична отно­

В первой четверти у > 0, и поэтому перед корнем выбираем знак «плюс». Подкоренное выражение положительно при условии х > а, если X >> 0. При X — а имеем у = 0. С возрастанием х возрастает и у, при X -*■ + со имеем у -> -)- оо.

т~~— lim \У х2— а2— ж] — 0.

ах - > - + о о

Следовательно, бесконечная ветвь гиперболы, находящаяся в первой четверти, имеет асимптоту, уравнение которой у = Ъх/а.

4. Из симметрии гиперболы относительно координатных осей следует, что гипербола имеет четыре бесконечных ветви с асимпто­ тами

Для построения асимптот гиперболы целесообразно предвари­ тельно построить прямоугольник с полуосями 2а и 2Ь, стороны которого параллельны координатным осям и центр которого сов­ падает с началом координат. Диагонали этого прямоугольника, продолженные неограниченно, представляют асимптоты гипер­ болы (см. рис. 63). Ось Ох пересекает гиперболу в точках A t и А, называемых вершинами гиперболы. Оси симметрии гиперболы

и тех же значениях параметров а и Ъ, называются взаимно со­ пряженными гиперболами. Гипербола с равными полуосями а = Ъ называется равносторонней гиперболой. Ее каноническое уравнение имеет вид

Выведем каноническое уравнение равносторонней гиперболы (22) относительно ее асимптот. Для этого примем асимптоты (их

уравнения у — ±х) за оси новой системы координат (х , у). По фор­ мулам (16) п. 66 при а = —я/4 получим х — (х + у )/У 2, у —

= (у — х)/У~2. Заменив по этим формулам величины х и у в ра­ венстве (22), получим (после очевидных упрощений) уравнение

равносторонней гиперболы относительно асимптот ху = а2/2. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстоя­ ния между фокусами гиперболы к длине ее вещественной оси

Отсюда согласно (16) следует, что эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы: е > 1 . Обозначим через ф угол между осью абсцисс и асимптотой ветви гиперболы, лежащей в первой