Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

четверти; тогда tg <р = b/а. Эксцентриситет е связан с ср соотно­ шением

вытекающим нз равенств (18) и (23). Следовательно, эксцентри­ ситет гиперболы характеризует угол 2<р между ее асимптотами, причем чем больше е, тем больше и этот угол. У равносторонней

гиперболы а = Ъ и поэтому е = ]/2.

Для вывода канонического уравнения параболы выберем декартову систему координат. Пусть ось абсцисс направлена перпендикулярно директрисе от П в сторону фокуса F и про­ ходит через фокус. Начало координат О выберем в точке оси абсцисс, равноудаленной от директрисы и фокуса. Обозначим буквой р расстояние между фокусом и директрисой. Тогда урав­ нение директрисы будет х = —p j2, а фокус будет иметь коорди­ наты F (р/2, 0). Пусть точка М параболы имеет координаты х

Y + X = V (х~ т У +у2'

Для приведения его к каноническому виду возводим обе его части в квадрат и после упрощений получаем

Уравнение (26) называется каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы, она характеризует величну так называемого фокального радиуса FB, т. е. ординаты точки В параболы. Из уравнения (26) при х — р/2 получим ув — р .

Следовательно, та из парабол имеет больший фокальный радиус, которая имеет большую величину параметра р.

Исследуем форму параболы по ее каноническому уравнению. Парабола симметрична относительно оси абсцисс, потому что уравнение (26) содержит величину у в четной степени. При уве­ личении X величина у увеличивается в соответствии с условием (26) (при у > 0 ) . Асимптот парабола не имеет. Осью параболы называется ее ось симметрии. Парабола, определяемая уравнением (26), имеет ось, совпадающую с осью абсцисс. Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии

(см. рис. 64).

Одна и та же парабола изображается различными уравнениями в разных системах координат. Так, уравнения у 2 = 2рх, у 2 = = —2рх, X2 = 2ру и X2 = 2ру, где всюду р > 0, определяют одну и ту же параболу, но различно расположенную на плоскости отно­ сительно координатных осей. Пара­ бола, ось которой параллельна оси ординат, рассмотрена в п. 66; она

85.Директрисы кривых второго порядка. Рассмотрим эллипс

игиперболу, определяемые соответственно каноническими урав­ нениями (И) и (19).

Директрисами эллипса (гиперболы) называются две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса (оси гиперболы), про­ ходящие от его (ее) центра на рсстоянии а/е. Их уравнения суть

Теорема. Отношение расстояния г от произвольной точки М эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию d от точки М до соответствующей этому фокусу директрисе есть величина по­ стоянная, равная эксцентриситету кривой

Докажем теорему для эллипса. Воспользуемся обозначениями п. 80 и рис. 65. Пусть М (х , у) — произвольная точка эллипса, определяемого уравнением (11). Расстояние от точки М до правой директрисы равно разности абсцисс точек D и М d = MD — = а/е — X. По определению эллипса г 1 + г2 = 2а. С помощью

(8) последовательно получаем г\ — г\ = 4сх, г1 — гг = 2гх\ по­ этому

(знак «+» относится к правой ветви гиперболы, а знак « — — к ее левой ветви). Следовательно, отношение г2 к d постоянно:

Эта теорема выявляет важное свойство эллипса и гиперболы и позволяет сформулировать о б щ е е о п р е д е л е н и е эллипса, гиперболы и параболы. Геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние г до некоторой фиксированной точки (фокуса) и расстояние d до некоторой фиксированной прямой (директрисы) находятся в постоянном отношении r/d — е, есть

рим круговую коническую поверхность, образованную вращением прямой вокруг оси. Пусть эта прямая образует с осью вращения угол а. Рассмотрим сечение конической поверхности плоскостью, наклоненной к оси вращения под углом <р (рис. 66). Можно доказать, что в сечении получится окружность при <р = я/2,

парабола при ф = а, эллипс при а < Ф < я /2 , гипербола при

О< ф < а.

86.Полярное уравнение кривых второго порядка. Пусть дана линия L (эллипс, гипербола или парабола), директриса D этой линии и соответствующий фокус F (рис. 67). Введем поляр­ ную систему координат (г, ф) с полюсом в точке F и полярной

и ф, между которыми нужно установить зависимость. По теореме п. 85 для точек линии L выполнено условие (28). Здесь d — AM =

Отсюда и из равенства (28) следует полярное уравнение кривых

где р — фокальный параметр кривой; е — ее эксцентриситет;

ги ф — текущие координаты.

87.Исследование общего уравнения линий второго порядка.

Общее уравнение линии второго порядка в декартовой системе координат (X , Y ) имеет вид

Нужно выяснить, какую линию определяет уравнение (33) при каждом сочетании численных значений его коэффициентов, определить местоположение этой линии в системе (X, Y) и соста­ вить ее каноническое уравнение. Для этого приведем уравнение (33) к простейшему виду путем последовательного преобразования координат, которое выполняется в два этапа — сначала поворот осей, затем параллельный перенос новых осей.

1. Упрощение уравнения линии второго порядка п у т е м

Формулы (36) имеют место при любом угле поворота осей а. Выберем угол a таким, чтобы в уравнении (35) коэффициент В был равен нулю. Покажем, что такой выбор угла a всегда воз­

Возможны только два случая: 1) если A t ф Си то В обращается в нуль при условии

(38)

2) если А х = С х, то В обращается в нуль при условии a = я/4. При таком выборе угла поворота осей a приходим к уравнению исследуемой линии

в котором коэффициенты определяются формулами (36).

Итак, доказано, что уравнение (33) путем преобразования вращения (34) всегда может бытъ приведено к уравнению (39), в котором нет произведения переменных.

Классифицируем уравнение линий второго порядка. Уравнение (33) называется э л л и п т и ч е с к и м , если АС )>0, г и п е ­

преобразования координат при параллельном переносе осей

имеют вид X — X — х0, у = у — у0, где х0 и у0 — координаты нового начала в системе (х, у).

Если линия второго порядка центральная и, следовательно,