ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 200
Скачиваний: 2
хп |
П_ |
Е |
„ |
Д2 , £2 |
(41) |
|
А ' |
У о = - ~ с ' |
Н==^ Г + ~с— л |
||||
|
|
|||||
Если в формулах |
преобразования |
координат величины х0 |
||||
и у0 выбрать в соответствии с равенствами (41), то в системе ко
ординат (X, у) уравнение (40) примет вид |
|
Ах2фСу2 = Н. |
(42) |
Исследуем эллиптическое уравнение. Пусть АС > 0 . |
Воз |
можны только такие три случая. 1) Н = 0. Тогда из равенства (40) следует, что оно определяет точку х = хй, у — у0. Эту же
точку определяет уравнение (33). Координаты |
этой точки в си |
|||||
стеме (X , Y) определяются формулами |
(36) и |
(41). |
выводим |
|||
2) АН ]> 0. |
Следовательно, |
СН > |
0, |
тогда |
из (42) |
|
ТТ + |
Ц- = 1- гДе |
e = / 4 |
’ |
bs=Viг* |
(43) |
|
В этом случае уравнение (42), а вместе с ним и уравнения (40),
(39) и (33) |
определяют эллипс. |
3) А Н < |
0. Ни одна точка плоскости не удовлетворяет урав |
нению (42), а вместе с тем и уравнению (33). Действительно, знаки левой и правой частей равенства (42) различны.
Итак, уравнение (33) при условии АС |
> 0 определяет |
либо |
|
эллипс либо |
точку. |
Пусть АС < 0 . |
Воз |
Исследуем |
гиперболическое уравнение. |
||
можны только три случая. 1) Н — 0. Тогда уравнение (42) можно
записать в виде у2 — к2х2 — 0, где к2 = —А/С. В этом случае уравнение (33) определяет пару пересекающихся прямых, урав
нения которых |
в |
системе |
(х, у) |
суть |
у = кх |
и у = — кх. |
|||
2) АН > 0 |
и |
поэтому |
СН < 0 . |
Из |
(42) получаем |
уравнение |
|||
гиперболы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ - - § - |
= 1, где я = |
] |
/ 4 |
’ |
* = |
/ - # - • |
<44) |
||
3) АН < 0, и, следовательно, СН > 0. Из (42) следует опять уравнение гиперболы
|
|
|
Ï/2 _ |
где |
а = V |
н_ |
|
|
|
|
02 |
W ~ |
А ’ |
|
|
|
|||
Итак, уравнение (33) при условии |
ИС- < 0 определяет |
либо |
|||||||
гиперболу |
либо пару пересекающихся |
прямых. |
АС = |
0, |
т. е. |
||||
Исследуем |
параболическое |
уравнение. Пусть |
|||||||
А == 0, |
С Ф 0 |
или |
А Ф 0, С — 0. Рассмотрим |
случай |
А Ф 0, |
||||
С — 0 |
(случай А — 0, С Ф 0 рассматривается |
аналогично). |
|||||||
При этом |
условии |
уравнение |
(39) принимает вид |
|
|
||||
|
|
|
|
Ах2+ 2В хф 2Еу + |
—0. |
|
|
(45) |
|
Возможны |
только |
два |
случая. |
1) Е — 0. |
Тогда |
уравнение |
(45) |
||||
запишем в |
виде |
А f х + |
-j- j = —-----F |
или |
|
|
|||||
|
х |
х0= ± |
| |
/ " |
, |
где |
аг„ = |
- - х . |
Н = ^ Г — р - |
(46) |
|
Уравнение (33) определяет в этом случае пару прямых — либо |
|||||||||||
действительных (при Д # > 0 ) , |
либо мнимых |
(при АН ■<. 0), |
|||||||||
либо |
совпадающих |
(при |
Н = |
0). |
|
|
|
|
|||
2) |
Е Ф 0. Уравнение |
(39) можно |
записать в |
виде |
|
||||||
у — ах* + |
Дг 4- с, |
|
где |
а = - - ^ , |
& = - - g r , |
c = - - g % ■ |
(4/) |
||||
Оно определяет параболу, ось которой параллельна оси ординат (см. п. 66).
Итак, уравнение (33) npw условии АС = 0 определяет либо параболу, либо пару прямых (параллельных или совпадающих). Результаты исследования сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Уравнение (33) определяет эллипс, гиперболу, пара болу, пару прямых, точку или оно не определяет ни одной точки плоскости.
П р и м е р ! . Исследовать уравнение |
х2 + 2г/2 — Ух — 4у = |
0. Для |
|
( х— 2)2 |
|
этого преобразуем уравнение к виду (х — 2)2 + 2 (у — I)2 = 6 и - — |
!— |- |
|
I (у- D 2 = іт |
|
|
Данное уравнение определяет эллипс |
с полуосями а — V 6 , |
b = Y 3 |
и центром в точке (2,1). Оси эллипса параллельны координатным осям.
П р и м е р 2. Исследовать уравнение х2 — 2ху + |
у 2 = 1. Запишем дан |
||
ное уравнение в виде |
(х — у)2 = 1 или у = |
х ± 1. |
Следовательно, данное |
уравнение определяет |
пару параллельных |
прямых. |
|
Глава V
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§14. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
88.Линейные операции и их свойства. Здесь и всюду ниже рассматриваются свободные векторы. Под линейными операциями
понимаются действия — сложение векторов, |
вычитание векторов |
и умножение вектора на число. Определение |
этих действий дано |
в п. 60.
Линейные операции над векторами обладают следующими
свойствами. |
|
(коммутативным) свойством сложения |
||||
1°. Переместительным |
||||||
а + Ь = |
b + а. |
(ассоциативным) |
свойством |
сложения |
||
2°. |
Сочетательным |
|||||
|
|
|
a4-b + c = |
(a + b)-f-c=-a-f(b-f- с). |
||
|
|
|
3°. ?Распределительным |
(дистрибу |
||
|
|
|
тивным) свойством по отношению к |
|||
|
|
|
скалярному |
множителю |
Я (a -f b) — |
|
|
|
|
= Яа -|- ЯЬ. |
|
|
|
|
|
|
4°. Распределительным свойством по |
|||
|
|
|
отношению |
к |
векторному |
множителю |
|
|
|
(Я + р) а = |
Яа + ра. |
|
|
5°. Сочетательным свойством по отношению к скалярному |
||||||
множителю |
|
Я (ра) = (Яр) а. |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Докажем, например, свойство 2°. Из построения (рис. 68) сле |
||||||
дует, что векторы (а + |
Ь) + с и а + |
(Ь + с) равньГ'между собой |
||||
и равны вектору а + Ь + |
с. Аналогично доказываются остальные |
|||||
равенства. |
|
|
|
|
|
|
Любое направление |
в |
пространстве |
можно охрактеризовать |
|||
с помощью вектора единичной длины, имеющего это направление.
Такой вектор называется единичным вектором, или ортом данного направления.
Лемма 1. Каждый вектор а может бытъ представлен в виде произведения его длины а на орт а0, имеющий направление данного вектора:
а = аа„. |
(1) |
Утверждение леммы прямо следует из определения операции умножения вектора на число.
Напомним, что два вектора называются коллинеарными, если после приведения их к общему началу они лежат на одной прямой.
Лемма 2* Для того чтобы векторы а u b были коллинеарными,
необходимо и достаточно существование такого числа |
X, чтобы |
||||||||
выполнялось |
равенство |
|
b = Ха. |
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Действительно, |
если |
данные векторы |
|
||||||
связаны равенством |
(2), |
то по определе |
|
||||||
нию операции умножения |
вектора а |
на |
|
||||||
число |
X вектор |
b |
коллинеарен |
а. Этим |
|
||||
доказана достаточность. |
|
н е о б х о |
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
||||||||
д и м о с т и . |
Пусть а и b |
коллинеарны. |
|
||||||
По формуле |
(1) |
имеем |
а = |
аа0, |
b = |
bb0. |
|
||
Возможны |
только |
два |
случая: |
1) Ь0= |
|
||||
= а0, |
тогда |
b = |
ъъп |
Ъап |
Ха, |
где |
|
||
X — b/a; 2) |
Ь0 = |
-а0, тогда b = Ж |
= ■Ъа0 = Ха, |
где X |
|||||
=—b/a.
89.Декартова система координат в пространстве. Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных числовых осей, име ющих общую точку пересечения О (начало координат) и общую линейную единицу. Оси упорядочены, т. е. указано, какая из осей считается первой (она называется осью абсцисс и обознача ется Ох), какая второй (ось ординат Оу) и какая третьей (ось ап пликат Oz).
Пусть М — произвольная точка пространства, ми мг, мъ- проекции точки М соответственно на оси абсцисс, ординат и ап пликат (рис. 69).
О п р е д е л е н и е . Декартовыми* координатами точки М
в заданной системе координат называются проекции вектора ОМ на соответствующие координатные оси; проекция на первую ко ординатную ось называется абсциссой точки М, на вторую ко ординатную ось — ординатой, а на третью — аппликатой:
ж = нрх ОМ, у —труОМ, z = ivpzOM. |
(3) |
