ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 201
Скачиваний: 2
Символ М (X, у, z) означает, что точка М имеет координаты х, у и z. Различают правую и левую системы декартовых коор динат. В нашем курсе принята за основную правая система ко ординат (см. рис. 69).
Координатные плоскости (плоскости, проходящие через пары координатных осей) делят все пространство на восемь частей, называемых октантами. Приведем таблицу знаков координат в различных октантах:
X
I |
II |
III |
IV |
V |
VI |
VII |
VIII |
+ |
— |
— |
“Г |
+ |
— |
— |
|
У |
4 - |
+ |
— |
— |
+ |
+ |
— |
— |
Z |
-Г |
+ |
"1“ |
+ |
— |
— |
— |
— |
Между множеством точек пространства и множеством упорядо ченных троек вещественных чисел (х , у, z) имеет место взаимно однозначное соответствие.
90. Разложение вектора по координатному базису. Общая задача разложения вектора на слагаемые, обратная задаче сло
жения векторов, всегда имеет бес численное множество решений. Однако при некоторых дополнитель ных условиях о числе слагаемых и их направлении задача разложения вектора на слагаемые имеет един ственное решение.
Выберем правую декартову пря моугольную систему координат и обозначим символами i, j, к орты координатных осей Ох, Оу и Oz
соответственно. Можно сказать, что векторы i, j, к образуют координатный базис (они линейно независимы и их число равно числу измерений пространства). Рассмотрим в пространстве
произвольный вектор а = AB и обозначим его проекции на ко ординатные оси соответственно ах, ау, аг. Построим параллелепи пед, ребра которого параллельны координатным осям и диаго налью которого служит вектор а (рис. 70). Из построения следует,
что вектор а можно рассматривать как геометрическую сумму векторов
a = ÂC + ~CD I DB,
где АС, CD и DB — векторы, к о л л и н е а р н ы е ортам і, j, к соответственно. Поэтому на основании леммы 2 имеют место
равенства АС — m i, CD = щ, DB = рк. Следовательно,
а = 7тгі - I- п] P рк. |
(4) |
Для выяснения геометрического смысла чисел т, п и р проек тируем равенство (4) на координатные оси. Получим
ах —прд. а — т пр* і -fra пр* j -f р пр* к — т.
Аналогично устанавливаем ау = п, аг = р. Следовательно, числа т, п и р в формуле (4) являются п р о е к ц и я м и в е к т о р а а на координатные оси Ох, Оу и Oz соответственно. Поэтому имеет место соотношение
а = аД + аД-!-а2к. |
(5) |
Равенство (5) принято называть разложением вектора а по базису i, j, к, а его проекции ах, ау, аг — координатами вектора а относительно этого базиса. Величины ах,i, ау\, azк называются слагаемыми вектора а, или его компонентами.
Единственность представления вектора а в виде суммы (5) следует из единственности его проекций на координатные оси.
Итак, любой вектор может быть единственным образом раз
ложен по данному координатному базису. |
аг, принято обо |
|
Для вектора а, имеющего проекции ах, ау, |
||
значение а (ах, ау, аг). |
Поэтому равенство (5) |
можно записать |
так: |
ау, аг) ------a j Д- ау\ Д. агк. |
(6) |
а (ах, |
||
91. Длина вектора, его направляющие косинусы и соотно шения между ними.
З а д а ч а 1. Найти длину вектора а, заданного своими проекциями ах, ау, а2.
Р е ш е н и е . Известно, что квадрат диагонали прямоуголь ного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Поэтому в соответствии с рис. 70 и равенствами АС — ах, CD — = ау, DB = аг, установленными в и. 90, имеем
а2 = (АС)* + (СD f + (D B f = а%-г а2 + а?.
Следовательно, длина вектора равна арифметическому значе нию корня квадратного из суммы квадратов его проекций на оси декартовой прямоугольной системы координат (это обобщенная теорема Пифагора)
а = Y al + al + а\. |
(7) |
Обозначим через а, ß и у углы, образованные данным вектором а с координатными осями Ох, Oy, Oz соответственно. Условимся при этом углы отсчитывать от положительных координатных полуосей. Тогда каждый из этих углов будет принадлежать
промежутку [0, л]. Углы эти однозначно определяют направление вектора; косинусы этих углов называют направляющими косину сами вектора. Заметим, что данному косинусу соответствует определенное значение угла в промежутке [0, я].
З а д а ч а 2. Найти направляющие косинусы вектора а, заданного своими проекциями ах, ау, аг.
Согласно теореме 1 п. 63 имеем
а* = а cos а, a4, = acosß, а2 = а cosy. |
(8) |
Эти формулы позволяют найти проекции вектора с помощью его направляющих косинусов и его длины.
Из формул (8) следует |
|
cos а = ах/а, cos $ = ау/а, cos у -^az/a. |
(9) |
Эти формулы позволяют найти направляющие косинусы вектора, заданного своими проекциями. При этом длина вектора опреде
ляется |
формулой |
(7). |
|
П р и м е р. Дан вектор а (1, 2, — 2). Его длина согласно (7) равна а — 3, |
|||
и по формулам (9) получим cos а — 1/3, cos ß = 2/3, cos у = |
—2/3. |
||
Теорема« Сумма квадратов направляющих косинусов любого |
|||
вектора |
равна единице: |
|
|
|
|
cos2 а + cos2 ß + COS2 у = 1. |
(ІО) |
Действительно, |
из формул (7) и (9) вытекает соотношение |
||
|
cos2 а + |
cos2 ß -f cos2 Y = (я® + я* + я*)/я2 = |
1 • |
Следовательно, из трех углов ос, ß и у, во-первых, два независимы, во-вторых, эти два независимых угла не произвольны, так как
cos2 а + |
cos2 ß ^ |
1 |
(и не может быть, |
например, ос = ß == 0). |
|
Например, если а |
= |
ß = |
я/3, то cos2 Y = |
1 — (cos2 ос + cos2 ß) == |
|
= 1/2, |
a Y = я/4 |
или |
Y = Зя/4. |
|
|
П р и м е ч а н и е . Из единственности решения задач 1 и 2 следует, что вектор вполне определяется своими проекциями на оси координат. Действи тельно, зная проекции вектора, можно найти его длину и направление по формулам (7) и (9). Наоборот, зная длину вектора и его направление, можно однозначно определить его проекции по формулам (8). Следовательно, имеет место взаимно-однозначное соответствие между свободными направленными отрезками и упорядоченными тройками вещественных чисел. Поэтому под вектором в трехмерном пространстве можно понимать упорядоченную тройку вещественных чисел. Такой подход к понятию вектора допускает обобщение и позволяет ввести понятие вектора в четырехмерном, и-мерном и даже бес конечномерном пространстве, что и делается в геометрии, химии, физике, в функциональном анализе и других науках.
92.Линейные операции над векторами, заданными своими
проекциями. Пусть векторы а и Ь заданы |
своими проекциями |
на оси координат. Напишем их разложения в |
данном координат |
ном базисе: а = |
ах\ -)- ayj -f- azк и b = |
Ъх\ + Ъу] + Ьгк |
и, |
используя свойства линейных операций, |
получим |
|
|
а ± b = (ах ± Ъх) і + (ау ±ЪУ) j + |
(а, ± Ъг) к, |
(11) |
|
|
Ха = 'кахі + Кау} -[- А,агк. |
(12) |
|
Следовательно, |
при сложении векторов складываются их соот |
||
ветствующие проекции, а при умножении вектора на число умножа ются на это число все проекции вектора. Таким образов, мы при ходим к выводу: линейные операции над векторами можно выпол нять по правилам алгебры скалярных величин. Например, если
а |
(1, 0, 2) и b (2, 3, 4), |
то а + b = |
с (3, 3, 6). |
|
|
|
а |
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов |
|||||
и Ь, установленное |
в п. 88 в |
виде равенства |
b = Ä,a, |
может |
||
быть теперь |
записано |
с помощью соотношений |
Ъх — Ках, |
Ъу — |
||
= |
Кау, bz = |
Каг, из которых в свою очередь следует пропорция |
||||
|
|
|
|
|
|
(13) |
Условие (13) является необходимым и достаточным у с л о в и е м к о л л и н е а р н о с т и векторов а и Ь. Равенство (13) надо понимать в том смысле, что если один из членов какого-нибудь из отношений равен нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометрически это значит, что в этом случае
оба вектора перпендикулярны |
координатной оси |
(например, |
в случае ах = Ъх = 0 векторы |
перпендикулярны |
оси Ох). |
Замечательная идея Лагранжа, предложенная в его «Аналити ческой механике» в 1788 г., состоит в том, чтобы представлять векторы (у самого Лагранжа только перемещения, силы, скорости и ускорения) тройками чисел, т. е. арифметизировать векторы. Это позволяет действия над векторами сводить к арифметическим действиям над их проекциями, что показывают формулы (11)
и(12).
§15. НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
93. Скалярное произведение и его основные свойства. Рас смотрим два нулевых вектора а и Ь.
О п р е д е л е н и е . Скалярным произведением двух векторов
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла <р между ними. Скалярное произведение обознача ется символами ab и (а, Ь)
ab = abcos(p. |
(1) |
П р и м е р . В физике скалярное произведение встречается, например, при нахождении работы А постоянной силы F на пря молинейном участке пути s. Если силу F разложить на два
слагаемых, одно из которых F 2 перпендикулярно |
s, а |
другое F t |
коллинеарно s, то, как известно, А = F 1s == F |
cos |
cp. s = Fs,. |
T. e. работа равна скалярному произведению силы на путь (рис. 71). С в о й с т в а с к а л я р н о г о у м н о ж е н и я .
1°. Скалярное произведение обладает переместительным свой
ством |
(2) |
ab = ba. |
Действительно, если угол отсчитывать против часовой стрелки от первого сомножителя ко второму и обозначить через ф угол
/V |
/ \ |
а, Ь, |
то получим Ь, а = 2я — ф. Косинусы этих углов равны. |
Отсюда следует равенство (2).
2°. Скалярное произведение равно произведению длины одного■
сомножителя на проекцию |
другого |
|
на |
направление |
первого: |
||||
|
|
ab = а праЬ = Ь щ ь&. |
(3) |
||||||
|
Действительно, |
правая |
часть фор |
||||||
мулы |
(1) |
содержит |
три сомножителя, |
||||||
причем по |
теореме |
1 |
п. |
63 произве |
|||||
дение |
двух |
из |
них |
равно Ъcos |
ф — |
||||
= |
праЬ и |
a cos ф —пр6а; |
отсюда сле |
||||||
дует равенство (3).
3°. Имеет место распределительный закон скалярного умно
жения на векторный множитель |
|
(a + b)c = ac-rbc. |
(4) |
Действительно, согласно (3) имеем |
|
(а 4- Ь) с = с прс (a -f- Ь) = с прс а + с прс Ь = ас -f be. |
|
4°. Скалярный множитель можно вынести за знак скалярногопроизведения: (Яа, Ь) = Я (а, Ь).
Действительно, согласно свойству 2° имеем
(Яа, Ь) =: Ьпрь(Яа) = bk прй а —Я (а, Ь).
З а к л ю ч е н и е . |
Векторы можно перемножать скалярно |
по правилам алгебры |
скалярных величин — многочленов. Это |
заключение следует из свойств 1°, 3° и 4° скалярного умножения и свойств линейных операций над векторами.
|
Если векторы а и b перпендикулярны, то согласно формуле (1) |
|||
их скалярное |
произведение |
равно нулю. Наоборот, если |
ab = О |
|
и |
ab Ф 0, то |
cos ф = 0 и |
ф = я/2. |
|
|
Следовательно, для того чтобы два ненулевых вектора были |
|||
взаимно перпендикулярными, необходимо и достаточно, |
чтобы |
|||
их |
скалярное |
произведение |
было равно нулю: |
|
