Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Если а = b и а Ф 0, то cos ф = 1 и аа = а2. Принято обо­ значение аа = а2. Поэтому имеем а2 = а2.

Составим таблицу скалярного умножения координатных ортов. Из определения скалярного произведения следует, что

Пусть векторы а и b заданы своими проекциями. Напишем их разложения в координатном базисе а = ахі + ау\ + ягк, Ь = = Ьхі + byj + bzk и составим их скалярное произведение по правилу умножения многочленов. С помощью формул (6) получим

т. е. скалярное произведение векторов равно сумме парных произ­ ведений одноименных проекций сомножителей.

П р и м е р . Если а (2, 3, — 1), b (1, О, А), то по формуле (7) имеем ab = - - —2. Знак минус в результате показывает, что угол между данными век­ торами тупой.

94. Угол между векторами. Условие ортогональности векторов.

Пусть два вектора заданы своими проекциями а (ах, ау, az) и b (Ъх, by, Ъг). Угол между этими векторами обозначим буквой <р. Из формулы (1) следует

т. е. косинус угла между векторами равен скалярному произве­ дению векторов, деленному на произведение длин сомножителей. В формуле (8) числитель определяется равенством (7), а знаме­ натель — равенством (7) п. 91.

T. e. косинус угла между векторами равен сумме парных произве­ дений соответствующих направляющих косинусов этих векторов.

Установим условие ортогональности векторов. В п. 93 было выведено необходимое и достаточное условие ортогональности векторов в виде равенства (5). Согласно формуле (7) это условие можно представить в форме

П р и м е ч а н и е . С помощью векторной алгебры многие теоремы гео­ метрии и тригонометрии могут быть доказаны проще, чем это делается в эле­ ментарной математике. Например, теорема косинусов легко доказывается

95.Векторное произведение и его основные свойства. Рас­

Векторное произведение вектора а на вектор b обозначается символом [а, Ы или а X Ь.

Если векторы а и b коллинеарны, то под а X b понимается

2°. При перемене мест сомножителей векторное произведение меняет знак:

Это свойство прямо следует из определения векторного произ­ ведения.

3°. Постоянный множитель может бытъ вынесен за знак векторного произведения [ma, b) = т [а, Ь]. Доказательство ос­ новано на том, что 1) равны площади параллелограммов, соот­ ветствующих левой и прямой частям доказываемого равенства, 2) совпадают направления векторов ]та, Ь] и т ]а, Ь].

4°. Имеет место распределительный закон

(а , b ) x c = a x c + b x c .

Для доказательства рассмотрим единичный вектор с0. Проведем через его начало О плоскость р, перпендикулярную с0. Пусть вектор а (не коллинеарный с0) имеет начало тоже в точке О. Спроектируем а на р; получим ОA j (рис. 74). Повернем вектор

О А ! на 90° по часовой стрелке (если смотреть с конца вектора с0); получим вектор ОАг. Длина этого век­

тора ОА 2 = ОА ! = а cos ^ — <р) =

(а + Ь ) х с = а х с + Ь х с .

З а к л ю ч е н и е . Из свойств 2°, 3° и 4° векторного произ­ ведения и свойств линейных операций над векторами следует, что векторы можно перемножать векторно по правилам алгебры

Если воспользоваться понятием определителя третьего порядка, то этот результат можно записать в следующей удобной для запо­ минания форме:

Смешанное произведение векторов обладает следующими свой­ ствами.

1°. Для того чтобы выяснить геометрический смысл смешанного произведения, построим параллелепипед на векторах a, b и с, приведя их к общему началу (рис. 75). Обозначим а X b = d; длина вектора d численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. Смешанное произведение равно

численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах

а, Ь, с, приведенных к общему началу, взятому со знаком «плюс», если a, b и с образуют тройку векторов, одноименную с основной (т. е. правую), и со знаком минус в противном случае.

2°. Смешанное произведение не меняется при круговой пере­ становке сомножителей a - b - c = b - c - a = c - a - b , так как при этом получаются равновеликие параллелепипеды, ребра ко­ торых сохраняют взаимную ориентацию.