Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Глава VI

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 16. КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Начальные сведения по аналитической геометрии в пространсве изложены выше: понятие системы координат — вначале гл. IV,

г

Рис. 76. Рис. 77.

декартова и цилиндрическая системы координат. Координата z у них общая. Координата р — это расстояние от точки М до оси Oz, а координата ф — это величина угла между плоскостью xOz и плоскостью, проходящей через точку М и ось Oz. Отсюда следует, что цилиндрические координаты принимают значения в промежут­ ках 0 ^ р <; оо, 0 sg; ф < 2л , —оо <; z < -f-oo .

Формулы связи между декартовыми и цилиндрическими ко­ ординатами прямо следуют из их определения (см. рис. 76):

В сферической системе координат положение точки М опре­ деляется тремя числами г, <р и Ѳ (рис. 77). Координата г — это расстояние от начала координат О до точки М. Координата ср та же, что и в цилиндрической системе. Координата Ѳ — это

величина угла между осью Oz и радиус-вектором ОМ. Отсюда следует, что сферические координаты принимают значения в про­ межутках 0 «с г < о о , 0 sç ф < 2 я , 0 Ѳ s£ я.

Для получения зависимостей между сферическими и декарто­

выми координатами заметим, что проекция радиус-вектора ОМ

■-----

начала в старой системе. Линейная единица в этих системах пред­ полагается одной и той же (рис. 78).

Б. П р е о б р а з о в а н и е д е к а р т о в ы х к о о р д и ­ н а т п р и п о в о р о т е о с е й . Пусть х, у, ъ — координаты точки М в старой системе координат, х ' , у', z' — координаты той же точки в новой системе координат, оси которой образуют с осями старой системы следующие углы: і образует с і', j' и к' соответ­ ственно углы а ь а 2 и а 3; j образует с теми же осями новой си­ стемы углы ß lt ß 2 и ß3, а к — углы Yi, у 2, у3Здесь независимы не все девять углов, а лишь три из них. Обе системы имеют общее

начало. Вектор ОМ допускает разложение в базисах одной и другой систем координат, поэтому имеет место равенство

Проектируя векторное равенство (5) на координатные оси старой, а затем новой системы координат, получим ф о р м у л ы с в я з и между старыми и новыми координатами

В. О б щ е е п р е о б р а з о в а н и е д е к а р т о в ы х к о ­ о р д и н а т . Пусть x, у, z — старые координаты точки М , х, у, z — новые координаты точки М. Новая система задана таблицей

тами получаются непосредственно из формул (4) и (6), а также (4а) и (6а):

99. Геометрическое значение уравнения с тремя переменными.

Каждое нз них определяет в указанном выше смысле некоторую поверхность. Геометрическое место точек, общих обеим поверх­ ностям, есть, вообще говоря, некоторая линия. Геометрическое значение двух уравнений с тремя переменными в пространстве состоит в том, что они определяют, вообще говоря, линию в про­ странстве.

ность. В аналитической геометрии каждая поверхность рассма­ тривается как геометрическое место точек, обладающих некоторым свойством. Задать поверхность —- это значит задать соответству­ ющее свойство С.

Пусть свойство С известно и система координат в пространстве выбрана. Тогда, если выразить свойство С аналитически, получим соотношение между координатами точек поверхности S, обла­ дающих свойством С (подобно тому, как это сделано в п. 69 для кривой на плоскости). Это соотношение между координатами есть уравнение поверхности S.

О п р е д е л е н и е . Уравнением данной поверхности в вы­ бранной системе координат называется такое уравнение, вообще

Алгебраической поверхностью порядка п называется поверх­ ность, уравнение которой в декартовой системе координат можно

второго порядка. Для корректности этого определения надо до­ казать, что порядок алгебраической поверхности не зависит от