Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 206

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

многочлена не может повыситься. Получим

многочлен Qn>(х',

у',

z') степени п'

^

п. Однако она не может и понизиться, так

как

при

переходе

к

старой

системе

многочлен

Qn> перейдет

в Рп>и

его степень

тоже не

может

повыситься,

т. е. п ^ п'.

Из

сравнения этих неравенств

следует, что

п' = п.

§17. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

101.Нормальное уравнение плоскости. Всякую плоскость можно задать следующими параметрами: длиной р перпендику­ ляра, опущенного из начала координат на плоскость, и направля­ ющими косинусами cos a, cos [3, cos у этого перпендикуляра. Заметим, что если плоскость проходит через начало координат, то имеются два направления нор­ мали к плоскости, отличающиеся знаками направляющих косину­ сов: в этом случае надо выбрать одно из возможных направлений (рис. 80).

Пусть плоскость задана эти­

ми

параметрами

и М (х , г/, z) —

 

 

 

ее

произвольная

точка. Рассмот­

 

 

 

рим три

вектора: ОМ =

r,

(x ,y ,z ),

 

 

 

М 0М =

г — г0, ОМ0 =

рп0 =

 

 

 

= г0 (р cos а,

р

cos ß,

р

cos

у).

 

данной плоскости,

 

Для

того

чтобы точка

М принадлежала

 

 

 

 

 

 

 

 

... V

 

 

необходимо и достаточно, чтобы векторы ОМ0 и M QM были пер­

пендикулярны.

При

этом

условии

имеем

(г0, г — г0) =

0 и

го г — го — 0.

 

 

 

 

 

-f pz cos у — p 2 — 0

и

 

Следовательно, р cos а х f ру cos ß

 

 

 

 

Xcos а -j- у cos ß + zcos y — p = 0.

(1)

Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки данной плоскости и только они, потому что оно эквивалентно условию перпендикулярности векторов г0 и г — г0. Уравнение (1) назы­ вается нормальным уравнением плоскости. Признаки нормального уравнения плоскости — сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах равна единице и свободный член не поло­ жителен. Заметим, что для плоскости, проходящей через начало координат, нормальное уравнение определяется с точностью до знака.

Итак, доказано утверждение: всякую плоскость можно изо­ бразитъ уравнением первой степени относительно декартовых

координат

переменной точки плоскости.

 

102. Общее уравнение плоскости. Пусть дано произвольное

уравнение

первой степени относительно переменных х, у

и z

 

Ах -f By + Cz -f-D = 0

(2)

с постоянными коэффициентами, удовлетворяющими соотношению А г + В 2 + С2 > 0 . Выберем декартову прямоугольную систему координат и будем понимать под х, у и z координаты точки в этой системе.

Уравнение (2) всегда можно привести к уравнению жида (1). . Для этого, очевидно, достаточно умножить уравнение (2) на такое число т, чтобы выполнялись соотношения

тА = cos а,

m.ß = cosß, тС = cosy,

mD — —р,

(3)

где cos а, cos ß, cos у и р — параметры соответствующего

уравне­

ния (1).

 

 

 

 

Эти соотношения будут выполнены, если положить

 

 

______ 1______

 

 

 

 

т — ± К42+Б2+ С2

 

 

(4)

Действительно, тогда

будем иметь cos2а

+

cos2 ß -f cos2у —

— m2 (А2 + В 2 + С2) = 1. В соответствии

с

последним

из ра­

венств (3) выберем знак перед корнем в формуле (4) противополож­ ным знаку числа D. Таким образом, формулы (3) определят все параметры уравнения (1), соответствующего данному уравне­ нию (2). Указанное число т называется нормирующим множите­ лем уравнения (4).

Из определения понятия уравнения поверхности (см. п. 100) следует, что в результате умножения уравнения (2) на любое неравное нулю число получим уравнение, которое определяет ту же поверхность, что и уравнение (2). В п. 101 доказано, что уравнение (1) определяет плоскость. Следовательно, уравнение (2), которое отличается от (1) лишь постоянным множителем, тоже определяет плоскость. Таким образом, доказано, что всякое урав­ нение первой степени относительно декартовых координат опре­ деляет плоскость. Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости.

Направляющие косинусы нормали к плоскости, заданной урав­ нением (2), дают первые три из формул (3). Они показывают, что коэффициенты А, В и С уравнения (2) пропорциональны направля­ ющим косинусам нормали к плоскости. Следовательно, вектор N (А, В, С), проекциями которого служат коэффициенты урав­ нения (2), перпендикулярен к плоскости, определяемой уравне­ нием (2).

П

р и м е р .

Плоскость задана уравнением общего вида Зж -f- 4у —

— 12z

— 39 = 0.

Требуется привести его к нормальному виду. Для этого

1

 

 

 

найдем по формуле (4) т = ——, умножим данное уравнение на т и получим

ІО

 

_12

 

нормальное уравнение той же плоскости— х

13 У

3 = 0.

13

13

 

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (2).

1. Если D — 0, то плоскость проходит через начало координат.

2. Если А = О, то плоскость параллельна оси Ох, так как

cos а — 0, а = — , и нормаль к плоскости перпендикулярна оси Ох.

3.

Если Л =

0 и D — 0, то плоскость проходит через ось Ох.

4.

Если

В =

О,

то

плоскость

параллельна

оси Оу.

5.

Если

С =

0,

то

плоскость

параллельна

оси Oz.

6. Если

В = С = 0,

т. е.

Ах +

D =

0, то

имеем

уравнение

плоскости,

перпендикулярной

оси

Ох.

 

 

 

103. Расстояние от точки до плоскости. Найдем расстояние

отданной точки М і (хі,

y t, z t) до плоскости,

заданной уравне­

нием

(1).

 

Опускаем

из

точки М і (рис.

81) на

плоскость

Р е ш е н и е .

перпендикуляр

М іМ 2, длину которого

d надо

найти.

Рассмот-

рим векторное равенство

 

■>

 

г

 

 

 

ОМ і —

 

 

 

ОМ0 А М 0М 2 -|~ М 2М J

и

спро­

 

 

 

 

ектируем его на нормаль и к пло­

 

 

 

 

скости.

Найдем

проекции слагае­

 

 

 

 

мых

и

суммы

 

 

 

 

 

 

 

 

пр ОМх = (ОМъ п0) =

 

 

 

 

 

 

 

=

 

cos а + j/хcos ß -j-z1cosy,

О

 

 

 

пр ОМв = р ,

пр М0М2= 0,

(5) ^

 

 

 

 

пр М 2М Х= d cos (М2МХ,п0)= ± d .

 

 

 

 

Следовательно, х х cos а -4- у х cos ß +

z x cos у — p ± d. Окон­

чательно

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = \xxcos и-\-ухcos ß + % cos y — p\.

(6)

104. Уравнение связки плоскостей. Составим уравнение пло­ скости, проходящей через данную точку М й (хй, у0, z0).

Геометрически очевидно, что задача имеет бесчисленное мно­ жество решений. Ищем решение в виде общего уравнения плоско­ сти (2). Плоскость должна проходить через точку М 0, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению (2) А х0-\- ВУо + Cz0 -р Z> = 0. Вычитая это равенство из (2), получим уравнение

 

 

A(x —x0)+ B (y —y0) + C(z —z0) = 0.

(7)

Это и есть уравнение связки (множества) плоскостей, проходя­

щих через

точку М 0,

потому что это уравнение первой степени

относительно х, у, z при любых А, В

и С, причем координаты

точки

М 0

ему удовлетворяют.

 

 

Составим уравнение плоскости, проходящей через три данные

точки

М і

(хх, уі, Zi),

М 2 (x2, y 2, z 2),

M 3{x3, y3, zs), не

лежа­

щие на одной прямой.

Пусть М (х, у,

z) — произвольная

точка

плоскости. Рассмотрим три вектора:

М ХМ (х — х х,у —у и z—z x),

М , м г { х 2 X 1, у г— у и z2 — Zj) и М ХМ 3(х 3 — Х і ,

У з — У і , z 3— z i ).

Компланарность этих векторов

есть условие

необходимое и

достаточное для того, чтобы точка М принадлежала плоскости,

проходящей через три данные точки. Условие

компланарности

x ~ X i

у — ух

z —Zi

 

x.2 — x1

y2 — yx

Z2—Zj = 0

(8)

хг— х\ У5— У1 % — %

есть вместе с тем уравнение искомой плоскости, потому что оно первой степени относительно x , у, z, и координаты данных точек ему удовлетворяют. Условие A 2 -f В 2 + С2 0 здесь выполнено, если данные точки не лежат на одной прямой.

П р и м е р 1. Если Мх (0, 0, 0), М2 (1, 1,

1), М3 (—1, 0, 1). то по фор­

муле (8) получим уравнение плоскости, проходящей через эти точки

X

У z

 

 

1

1

1

=0 или x —2 Î/ +

Z = 0 .

- 1

0

1

 

 

П р и м е р 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

А (а, 0, 0), В (0, Ь, 0), С (0, 0, с), где abc Y= 0. С помощью (8) получаем

 

x — а

у

z

 

— a

b

0 = 0 или Ьс{х—а)-\- асу-\- abz = 0.

 

— а

0

с

 

Путем деления этого равенства на abc приходим к уравнению плоскости

в отрезках на осях

 

 

 

 

 

а ' b ' с

(9)

Общее уравнение плоскости легко привести (если ABCD Ф 0) к уравнению вида (9) путем деления на D. Получим а — —D/A, b = —D/В , с = —D/C.

105. Угол между плоскостями. Найдем угол между плоско­ стями, заданными уравнениями

Axx Jr B 1x-]-C1Jr Dx = Q и А 2х + В2у -f C2z + D2 —0. (10)

Двугранный угол между плоскостями измеряется линейным углом Ф, который равен углу между нормалями к этим плоскостям

(рис. 82)

Вх,

Сх) и

N2(^42, В 2, С2). Поэтому имеем

(см.

п. 94)

гочгп = —1^ 2-

A i A î + Ді#2+ C\Cz

/J,,

 

 

ф

N XN 2

YA I + B I + CI V A I + B I + C* '

1 ’

Условие параллельности плоскостей совпадает с условием коллинеарности векторов Nx и N2; оно имеет вид (см. п. 92)

А\

£ L _ £ L

^2

в % ~~ с 2 ■

Условие перпендикулярности плоскостей есть вместе с тем условие перпендикулярности нормалей N1 и N2 (см. п. 94):

А1А2 ~\~B^B2“Ь

—0.

(13)

§18. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

106.Общие уравнения прямой. Всякую прямую в простран­ стве можно изобразить двумя уравнениями первой степени отно­ сительно декартовых координат

Ахх -f В ху + Cxz + Dx = 0,

А2х -f-В2у + C2z -f- D2= 0

(1)

 

при условии, что плоскости, опреде­

 

ляемые этими уравнениями,

различны

 

и что они проходят через прямую. Ура­

 

внения (1), определяющие прямую в про­

 

странстве,

называются общими

ура­

 

внениями прямой.

 

 

заданной общими

Найдем

направляющие косинусы прямой,

уравнениями

(1). Известно,

что

векторы

Ni {Аг, Вг, Сг) и

N2{А 2, В 2, С2)

перпендикулярны

соответствующим плоскостям

и поэтому вектор d = Nx X N2 направлен параллельно линии пересечения этих плоскостей, т. е. параллельно данной прямой.

Остается

найти

направляющие косинусы вектора d, что легко

сделать, зная его проекции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = B lC2- B 2Cu dy = C1A2- A

1C2t dz= A ß ^ A ß , .

(2)

 

 

 

Следовательно, направляющие коси­

 

 

нусы данной прямой равны

 

 

 

 

 

 

d

Y

 

г%

 

d i t

 

 

 

d у

 

 

cos а = - f .

cos p — — , cos ѵ •=—7-.

 

 

 

d

 

 

r

 

d

 

1

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

X =

П р и м е р .

Прямая задана уравнениями

 

 

у, X = z.

Требуется

найти

ее направля­

 

 

ющие косинусы.

Для

этого находим

вектор

 

 

й = і + ] +

к и п о

формулам (3)

получаем

 

 

cos

а — cos

ß = cos

у

=

l/V 3.

 

 

 

 

 

107.

 

 

 

 

 

 

 

 

Канон

 

 

мой. Прямая L в пространстве вполне

определяется заданием одной из ее точек М 0

(х0, у 0, z 0)

и век­

тора s (т, п, р),

которому

прямая

 

параллельна.

Вектор s

называется

направляющим

вектором

 

прямой

 

(рис.

83).

Рас­

смотрим

произвольную

точку

 

М (X,

у,

z)

и

вектор

---^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М 0М (х—х 0,у—у 0, z—z0). Для того чтобы точка М принадлежала

Смотрите также файлы