ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 209
Скачиваний: 2
прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы s и М0М были коллинеарны, т. е. чтобы их соответствующие проекции были пропорциональны
X X Q |
у |
Уд __ Z ZQ |
. . . |
т |
п |
р |
' ' |
Уравнения (4) называются каноническими уравнениями пря мой. Докажем, что они определяют прямую. Действительно, урав нения (4) представляют систему двух уравнений
(х — х0)/т = (у — у0)/п, (х — хь)/т = (z — z0)/p,
каждое из которых определяет плоскость. Эти плоскости пере секаются, так как нарушено условие их параллельности. Вместе с тем каждая из этих плоскостей проходит через точку М0. Сле довательно, уравнения (4) определяют прямую, проходящую через точку М0 параллельно направляющему вектору s.
Числа т, п и р называются коэффициентами направления прямой. Их геометрический смысл состоит в том, что эти числа пропорциональны направляющим косинусам прямой, заданной уравнениями (4), так как
т |
а п |
P |
/ - Ѵ |
cos а = — , |
cos р = — , |
cos y ~ - j - |
ОД |
П р и м е ч а н и е . В пропорции (4) может оказаться равным нулю один пз последующих членов какого-либо из отношений. Но при этом соответству ющий предыдущий член этого отношения тоже равен нулю. Действительно, если, например, п = 0, то cos ß = 0, ß = я/2 и прямая перпендикулярна оси Оу и проходит через точку М 0. Поэтому прямая лежит в плоскости у = у д
иутверждение доказано.
108.Параметрические уравнения прямой. Пусть прямая за дана каноническими уравнениями (4). Обозначим буквой t общее значение отношений (4), приравняем порознь каждое из этих отношений t и получим
x = x0 + mt, y = y0 + nt, z=--z0 + pt, |
(6) |
где —оо < t < оо. Уравнения (5) называются параметрическими
уравнениями прямой. Отсюда следует, что М 0М = ts. Смысл пара метра t состоит в том, что его модуль 1 \ равен отношению длин
векторов М0М и s, а знак t показывает, совпадают направления этих векторов (t > 0) или нет (t < 0).
Основными формами уравнений прямой являются общие урав нения прямой (1), канонические уравнения (4) и параметрические уравнения (6). Причем каждую форму можно преобразовать к другим формам. Мы видели, как из канонических уравнений получаются общие и параметрические уравнения. Для приведения общих уравнений (1) к канонической форме достаточно разрешить систему (1) относительно двух переменных из трех х, у, z. Напри мер, если возможно разрешить эту систему относительно х и у,
то получим уравнения вида х = az + b, у = atz + Ъѵ Отсюда
следует (х — Ъ)]а = z ж(у — Ь^)]ау = |
z, |
и окончательно |
- = |
||||
_ У— Ъі _ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ах |
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р . |
Составить уравнения оси |
О х . |
Общие уравнения оси |
О х |
||
суть у — 0, z = 0. Для вывода канонических уравнений заметим, что ось О х |
|||||||
проходит через начало координат и образует с осями координат углы а = |
0, |
||||||
ß = |
у = я/2. В качестве направляющих коэффициентов оси О х |
можно взять |
|||||
т = |
cos а = |
1, |
п = р = cos ß = 0. Поэтому |
ось О х .можно |
представить |
||
параметрическими уравнениями х — t , у = |
0, z -- 0 и каноническими урав- |
||||||
|
X |
у |
z |
|
|
|
|
нениями — |
|
|
|
|
|
|
|
|
109. |
Уравнения прямой, проходящей через две точки. |
Соста |
||||
вим уравнение прямой, проходящей через две различные точки |
|||||||
М 0(х0, у 0, z0) и М 1(х1, у г, %). Пусть М |
(х, у, z) — произвольная |
||||||
|
|
|
|
——V |
|
|
точка прямой. Рассмотрим два вектора М 0М(х — х 0, у — у 0, z — z0)
« —>■ |
— z0). Коллинеарность этих |
и М 0М 1(х1 — х 0), (уг — у о, |
векторов есть условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка М принадлежала прямой, проходящей через две данные
точки. Условие коллинеарности |
|
|
||
-х0 |
У—Уо |
z — z 0 |
(7) |
|
*і —*о |
Ѵі — Уо |
Н ~ Ч |
||
|
представляет вместе с тем канонические уравнения искомой прямой.
110. Угол между двумя прямыми. Пусть прямые заданы кано ническими уравнениями
X — Х і |
У — Ѵі |
|
(I), |
-Уг |
(II). |
ТПі |
«1 |
Pi |
Pi |
Под углом ф между двумя скрещивающимися прямыми, опре деляемыми этими уравнениями, следует понимать угол между направляющими векторами s 1(m1, пх рг) и s 2 (m 2, п2, р 2) этих прямых, приведенными к общему началу. Поэтому имеем (см. п. 94)
cos ф : |
S l S 2 |
mim2 + геіи2~Ь Р1Р2 |
*1*2 |
(8) |
|
|
|
Условие параллельных прямых совпадает с условием колли неарности векторов Sj и s 2 (см. п. 92)
ТГІ2 |
_ |
Рі |
Т?2 |
(9) |
Условие перпендикулярности прямых есть вместе с тем усло вие перпендикулярности их направляющих векторов (см. п. 94)
трп2+ прг, -j~ pjp2= 0. |
(10) |
111. Угол между прямой и плоскостью. Найдем угол между прямой, заданной уравнениями (1), и плоскостью, заданной уравнением (2) п. 102. Под углом ср между прямой и плоскостью понимается наименьший угол между прямой и ее проекцией на пло скость (рис. 84).
Рассмотрим угол ф между направляющим вектором данной прямой s (т, п, р) и вектором N (А, В, С), нормальным к плоско
сти. Из определения углов |
ф и ф следует, что ф + г|) = |
я/2. Сле |
||
довательно, |
|
|
|
|
sin ф = cos ф |
s • N |
А т + Вп -)-Ср |
( И ) |
|
77W |
Уто2 + и2 + р2 У Ж + В 2 + С2 |
|||
|
Условие параллельности прямой и плоскости совпадает с усло вием перпендикулярности векторов s и N
Ат + Вп + Ср ^ 0. |
(12) |
Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием параллельности век торов s и N
Л_
ПІ П р
112. Задача о взаимном рас положении прямой и плоскости.
Рис'84. Пусть прямая задана параметри чески уравнениями (6), а пло скость — общим уравнением (2) п. 102. Поставим вопрос — имеют
ли прямые и плоскость общую точку, т. е. имеет ли решение система уравнений (2) п. 102 и (6)? Для ответа на этот вопрос исключим X, у и z из уравнения (2) п. 102 с помощью равенств (6), получим уравнение относительно t
Ах0 у Ву0-f Cz0-f D y t (Am y B n yC p ) = 0
или
c c -H ß -0 |
(14) |
с коэффициентами а — А х 0 + В у0 + Cz0 У D, ß = Ат + Вп +
Ср.
Заметим сразу же, что эти коэффициенты порознь или оба вместе могут быть равны нулю. Если а = 0, то геометрически это значит, что точка М 0 (х 0, у 0, z 0) прямой вместе с тем принадлежит и плоскости. Если ß = 0, то угол между данной прямой и данной плоскостью равен нулю (см. п. 111).
Возможны только три случая.
1. ß Ф 0. В этом случае уравнение (14) имеет единственное решение f* = —a/ß, а прямая и плоскость имеют единственную
точку пересечения, координаты которой х^, г/*, z* определяются равенствами (5) при t = t^. Если при этом а =0, то t% — 0 и точка пересечения есть М 0.
2. ß 0, а ф 0 . В этом случае уравнение (14) не имеет ре шения, а прямая и плоскость не имеют общих точек, они парал лельны.
3. а = ß = 0. В этом случае уравнение (14) имеет бесчислен ное множество решений (ему удовлетворяет любое вещественное число), а прямая и плоскость имеют бесчисленное множество общих точек. Каждая точка прямой принадлежит плоскости.
§19. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
113.Эллипсоид. Эллипсоидом называется поверхность, опре
деляемая в декартовой системе координат (х, у, z) уравнением
Х2 |
_z2 |
1. |
(1) |
а2 + | г + "с2 |
Для того чтобы представить в пространстве форму поверхно сти, заданной уравнением (1), и ее расположение относительно координатных осей, применим так называемый метод сечений. Сущность метода такова: данная поверхность пересекается плоско стями, параллельными координатным плоскостям, и самими ко ординатными плоскостями; в сечениях получаются, вообще го воря, линии, которые помогают создать представление о форме
ирасположении исследуемой поверхности в пространстве. Уравнение (1) содержит декартовы координаты только в чет
ных степенях, поэтому эллипсоид симметричен относительно всех трех координатных плоскостей. Действительно, например, по
верхность, |
определяемая |
уравнением |
F (х2, у, z) |
= 0, |
симмет |
рична относительно координатной плоскости Oyz, |
так как если |
||||
точка М х |
(ху, уг, zx) |
принадлежит |
поверхности, |
то точка |
Мg (—х 2, г/2, z2) тоже ей принадлежит. Сечение эллипсида плоскостью
z — h |
(2) |
изображается системой уравнений (1), (2). Исключив z, запишем
уравнение (1) в виде |
t Уф_ |
л _фф |
|
|
|
|
|
|
|||
|
д2 "Г 52 |
1 |
С2 ' |
|
|
Отсюда следует, что |
| h \ sS с, и если |
\h\ |
< с , то имеем |
|
|
al 't* Ы 1, |
где а* |
1— |
№ |
ь* = ь |
|
~ж |
(3 ) |
||||
Система уравнений (1) и (2) определяет в плоскости z = |
h эллипс |
с полуосями а* и Ъ*, имеющими наибольшие значения при h = 0.