ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 212
Скачиваний: 2
Сечение эллипсоида (1) координатной плоскостью х = О есть
эллипс с полуосями bis. с, изображаемый системой уравнений 62 +
Z2 |
|
эллипсоида |
(1) |
координатной пло |
|
+ — = 1, X — 0. Сечение |
|||||
скостью у = 0 есть |
эллипс |
с |
полуосями |
а |
и с, изображаемый |
системой уравнений |
|
•j2 |
z2 |
|
|
у = 0, —- + — = 1. |
|
|
|||
Следовательно, эллипсоид есть поверхность ограниченная, имеющая три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (рис. 85).
Величины а, b и с называются полуосями эллипсоида. Если а = Ъ, то уравнение (1) определяет эллипсоид вращения вокруг
Рис. 86.
оси Oz. Если а — b — с, то уравнение (1) определяет сферу ра диусом а с центром в начале координат.
114. Гиперболоид однополостной. Однополостным гиперболо идом называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат уравнением
|
|
■Г2 . у 2 |
Z2 |
|
(4) |
|
|
О2 ” "Г" 1)2 |
^2 |
|
|
В сечении этой поверхности плоскостью z = h получается |
|||||
эллипс |
== 1 с |
полуосями а* = а |/1 + |
й2/с2, |
= |
|
= 5 ] / і + |
/г2/с2. |
|
|
|
b |
Величины а^. и 5* имеют наименьшие значения а* = а и 5* = |
|||||
в плоскости |
z — h — 0. |
С ростом |
h величины а* и |
è* неограни |
|
ченно увеличиваются. |
|
|
|
|
|
Сечение однополостного гиперболоида плоскостью х — 0 есть Гипербола у 2/Ь2 — z2/c2 — 1 с полуосями b и с.
Следовательно, однополостный гиперболоид есть поверхность неограниченная, имеющая три плоскости симметрии (рис. 86).
115. Гиперболоид двуполостной. Двуполостным гиперболо идом называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат уравнением
|
|
|
, У2 |
7.2 |
|
|
|
|
|
С2■=—1. |
|
(5) |
|
|
|
|
"Г J2 |
|
||
Сечение |
этой |
поверхности плоскостью |
z = h представляет, |
|||
если I h I > с , |
эллипс |
x 2Ja\ + |
у2/Ы = 1 |
с полуосями |
а* = |
|
= а У h2]c2 — 1, |
= ЪУh2/c2—1, |
которые |
неограниченно |
уве |
||
личиваются с ростом h. |
Если I h \ |
— с, то в сечении поверхности |
||||
и плоскости z = h получается точка (0, 0, h). |
|
|||||
Сечение |
двуполостного гиперболоида плоскостью у = 0 есть |
|||||
гипербола z2/c2— ж2/а2 = |
1 с полуосями сп а . |
Сечение двуполост |
||||
ного гиперболоида плоскостью х = |
0 есть гипербола z2/c2 —у2]Ъ2= |
= 1 с полуосями с и Ъ. |
гиперболоид есть поверхность |
Следовательно, двуполостной |
неограниченная, состоящая из двух частей, имеющая три плоско
сти симметрии (рис. 87). |
|
|
|
|
параболои |
|||
116. Параболоид |
эллиптический. Эллиптическим |
|||||||
дом называется |
поверхность, |
определяемая |
в декартовых коор |
|||||
динатах уравнением |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
’ > < » • |
|
<6 > |
|
Сечение |
этой поверхности |
плоскостью |
z = h |
представляет, |
||||
если Л > 0, |
эллипс |
x 2]al + |
y 2jbl = 1 |
с |
полуосями |
a^ = y ip h |
||
и Ъ%= У 2'qh, |
которые неограниченно |
возрастают |
с |
ростом h. |
||||
Сечение эллиптического параболоида плоскостью х = 0 есть парабола у2 — 2pz. Сечение эллиптического параболоида пло скостью у = 0 есть парабола х 2 = 2pz.
Следовательно, эллиптический параболоид, определяемый урав нением (6), есть неограниченная поверхность, расположенная
в |
полупространстве |
|
О, |
имеющая |
две |
плоскости |
симметрии. |
||||||||||
Ее сечения, перпендикулярные оси Oz, суть эллипсы. Ее сечения |
|||||||||||||||||
координатными плоскостями (х, z) и (у, |
z) суть параболы (рис. 88). |
||||||||||||||||
|
Частным случаем эллиптического параболоида является пара |
||||||||||||||||
болоид вращения (вокруг оси Oz), когда р |
— q. Его |
уравнение |
|||||||||||||||
х 2 + у2 = |
2pz. При 2р = 1 |
имеем z = х 2 + у2. |
|
|
|
парабо |
|||||||||||
|
117. |
Параболоид гиперболический. Гиперболическим |
|||||||||||||||
лоидом называется |
поверхность, определяемая в декартовой си |
||||||||||||||||
стеме координат |
(X, у, z) уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(P > 0 ,q > 0 ). |
|
|
|
|
|
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Поверхность |
эта имеет две пло |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
скости симметрии |
(X, z) и (у, |
z), |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
так |
как |
величины |
х жу содер |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
жатся в |
уравнении |
(7) |
в чет |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ных |
степенях. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим сечения поверх |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ности (7) |
|
плоскостями. |
В пло |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
скости у = 0 |
имеем параболу |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X 2 = |
2pz, |
симметричную |
отно |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
сительно |
|
оси |
Oz, |
расположен |
||||||
|
|
Рис. 8 9 . |
|
|
ную |
в |
полуплоскости |
Z 3 ; |
0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
В |
плоскости |
X = |
0 |
имеем |
па- |
|||||
раболу |
у 2 = |
—2qz, |
симметричную |
относительно |
оси |
Oz, |
|||||||||||
расположенную |
|
в |
полуплоскости |
z ^ 0. |
В |
плоскости |
z = |
||||||||||
= |
0 имеем пару прямых у — ± У qjpx. В плоскости z = h имеем |
||||||||||||||||
гиперболу |
x 2/2ph — y2/2qh = 1 с вещественной полуосью |
|
а* = |
||||||||||||||
= |
\f2ph, если |
|
|
0, |
и с |
вещественной полуосью Ь* = У — 2qh, |
|||||||||||
если h < 0 (рис. 89). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
В термодинамике встречается частный случай гиперболиче |
||||||||||||||||
ского параболоида, |
когда р = g; его уравнение |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X2— у2 ~ 2pz. |
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
||
|
Путем |
преобразования |
системы |
координат |
(поворота |
осей |
|||||||||||
Ох и Оу на угол <р = |
—я/4 при сохранении направления оси Oz) |
||||||||||||||||
по |
формулам |
(см. |
п. |
66) х = (х + ÿ )/j/2, |
у = |
(у — х)/У 2 |
|||||||||||
получим уравнение поверхности (8) в новых координатах |
pz — |
||||||||||||||||
= |
ху. |
|
|
простоты |
записи |
знак |
«тильда» |
и |
обозначив |
||||||||
|
Отбросив для |
||||||||||||||||
1]р — с, получим |
окончательно уравнение |
поверхности |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z = сху. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
Следовательно, пространственным образом функции двух пере менных (9) служит гиперболический параболоид.
Термодинамическая поверхность (9) представляет уравнение состояния идеального газа рѴ = RT или
|
Т — pv/R. |
|
|
(10) |
|
Это уравнение вида |
(9), в котором |
х = р, у = |
v, |
z = Т , с = |
|
= 1 /Я. В сечениях поверхности (10) |
плоскостями |
T |
= |
h полу |
|
чаются гиперболы рѵ = Rh, которые называются |
также |
изотер |
|||
мами, а в сечениях р |
= р 0 и ѵ = ѵ0 получаются |
прямые. |
|||
Линейчатой поверхностью называется поверхность, через каждую точку которой можно провести прямую, целиком принадлежащую этой поверхности. Гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид есть поверх ности линейчатые.
Для доказательства линейчатости гиперболического параболоида (9) рассмотрим на поверхности (9) произвольную точку М 0 (х0, у 0, z0) и напишем
уравнения прямой в пространстве, проходящей через эту точку (см. п. 108):
»
x = x0+ mt, y = yo + nt, z = z0Jrpt. |
(И) |
Докажем, что можно выбрать направляющие параметры прямой т, п и р так, что прямая (11) будет принадлежать поверхности, т. е. координаты х, у, z любой точки прямой (11) будут удовлетворять уравнению поверхности (9). Для этого заменим в (9) х, у и z по формулам (11), получим уравнение
z0 + Pt — c(x0 + mt) (уо+ nt),
где z0 = сх0у 0, и после сокращения на і придем к условию
р = с (х0п + у0т + mnt ).
Это условие выполнено в двух случаях: 1) т — 0, р = cxQn, где п — произвольное число, и 2) п = 0, р = су0т, т — произвольное число.
Этим случаям соответствуют две прямолинейные образующие, проходя щие через точку М 0; их уравнения суть
X —Хр __ У— Ув _ |
Z ZQ |
X — |
ж0 __ у — у0 __ z — Zp |
||
0 |
п |
сх0п ’ |
т |
0 |
су0т |
118. Конус второго порядка. Конусом второго порядка на зывается поверхность, определяемая в декартовой системе коорди нат уравнением
ж2 |
- |
у2 |
( 12) |
|
а2 |
' |
Ь2 |
||
|
Поверхность симметрична относительно координатных плоско стей. В плоскости X = 0 имеем пару прямых z = ±cyjb. В пло
скости у = 0 |
имеем пару |
прямых |
л = |
±сх/а. |
В плоскости |
z = |
||
= |
h(h=^= 0) имеем эллипс |
х 2/ а + |
у2/Ъ\ |
= |
1 с |
полуосями |
а* = |
|
— |
a\h\/c, Ь*= |
b\h\/c, которые возрастают |
с ростом h (рис. 90). |
|||||
119.Цилиндры второго порядка. Цилиндры второго порядка
определяются в декартовой системе координат уравнениями:
а) — — — = 1 — уравнение эллиптического цилиндра,
б) |
— ----2— = 1 — уравнение гиперболического цилиндра, |
||
в) |
у 2 = |
2рх — уравнение параболического цилиндра (рис. |
91). |
Можно |
доказать, что собственно поверхностями второго |
по |
|
рядка являются только поверхности рассмотренного в § 19 вида. Но они могут быть иначе расположены относительно координат
ных осей. Например, уравнения z2 = |
2ру и х 2 — 2ру определяют |
ту же поверхность — параболический |
цилиндр, что и уравнение |
у 2 = 2рх. |
|
