Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 210

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Глава VII

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§20. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

120.Арифметическое «-мерное пространство. Систему из двух чисел х и у геометрически можно интерпретировать как точку

плоскости, а функцию одной переменной у = / (х) можно геоме­ трически представить ее графиком. Желая распространить геометрические методы на теорию функций любого числа пере­ менных, в анализе введено понятие «-мерного пространства при любом натуральном п.

Точкой

п-мерного

пространства

называется система веще­

ственных

чисел

х х,

х г, . . ., хп\

она обозначается символом

М (xlf х 2,

. . ., хп).

Множество всевозможных таких точек образует

так называемое п-мерное пространство, которое иногда называют арифметическим.

Точку «-мерного пространства в случаях в = 1 , « = 2 и « = = 3 можно представить геометрически как точку прямой, пло­

скости или трехмерного пространства

соответственно.

 

Арифметическое «-мерное пространство называется эвклидо­

вым

пространством

Еп,

если

между

любыми

его

точками

М 0 (х1й,

. . ., хп0) и

М (хг, . . .,

хп)

определено

расстояние по

формуле

d{M0>M) = V (*і — хю)2+

 

 

 

 

 

 

... + (*/. — хпй¥-

(1)

В частности, эвклидово пространство

называется координат­

ной

прямой, а Е 2 — координатной плоскостью.

 

 

Множество точек

{М}

пространства

Еп, удовлетворяющих

условию

d (М о, М) < е,

где е — положительное

число, назы­

вается г-окрестностъю точки М 0 этого пространства. В частно­ сти, при « = 1 е-окрестность точки М 0 образует открытый про­ межуток с центром в точке М 0, длина которого равна 2е, при

п = 2 — круг радиуса е с центром в точке М 0 без ограничивающей его окружности.

Рассмотрим некоторое бесконечное множество >4 точек простран­ ства Еп. Точка М 0 пространства Еп называется внутренней точкой множества А, если она принадлежит А вместе с некоторой окрестностью точки М 0. Множество А называется открытым, если каждая его точка внутренняя. Примером открытого множе­ ства пространства Е 2является множество точек, удовлетворяющих условию х 2 + у 2 < 1 . Однако условие х 2 + у2 sg 1 определяет множество, не являющееся открытым, потому что, например, точ­ ка (1,0) нашему множеству принадлежит, но она не является внутренней точкой рассматриваемого множества.

Множество А называется связным, если любые две его точки можно соединить «ломаной», состоящей из точек множества А. При этом под «отрезком ломаной» в пространстве Еп понимается множество точек этого пространства, удовлетворяющих условию

xk = а* + ß**

при а C t < ß ,

где к = 1, 2,

. . ., в, и

а, ß ,ab

ß* — постоянные.

называется

открытое

связное

Областью

пространства Еп

множество точек этого пространства. Например, множество точек,

удовлетворяющих

условию

| х — х 0 | < а ,

| у — у 0\ <

Ь, есть

область пространства Е 2.

Еп называется

граничной

точкой

Точка М 1 пространства

области А, если

в любой окрестности этой точки имеются точки

Еп как принадлежащие А, так и не принадлежащие А. Совокуп­ ность всех граничных точек множества А называется его границей. Область А пространства Еп вместе с ее границей называется

замкнутой областью пространства Еп\ она обозначается символом

А.

 

 

 

окружности х2 +

у2 = 1 яв­

П р и м е р

ы.

Каждая

точка

ляется граничной

точкой

области,

определяемой неравенством

х 2 + У2 < 1 -

Неравенство

х 2 +

у2 sç 1 определяет

замкнутую

область пространства Е.г.

 

 

 

 

Точкой сгущения, или предельной точкой множества А, назы­

вается точка

Р пространства Еп,

в

любой окрестности которой

имеются точки множества А, отличные от Р. Каждая предельная точка области является либо ее внутренней точкой, либо ее граничной точкой.

Многомерная геометрия есть средство математического описания реаль­ ных явлений. Например, зависимость давления от объема для данной массы газа при данных условиях изображается некоторой кривой. Так, при по­ стоянной температуре для идеального газа эта кривая — гипербола в соот­ ветствии с известным законом Бойля — Мариотта. Но если мы имеем более сложную физическую систему, состояние которой задается уже не двумя (как объем и давление в случае однородного газа) исходными данными, а большим числом, то геометрическое представление ее изменения нуждается в про­ странстве большего числа измерений. Например, пусть речь идет о сплаве трех металлов или о смеси трех газов. Состояние смеси определяется четырьмя данными: температурой Т, давлением р н процентным содержанием с , и сг

двух газов. Состояние такой смеси может быть представлено четырьмя чис­ лами: Т, р, щ и с2, т. е. точкой четырехмерного пространства. Каждому воз­ можному состоянию смеси соответствует своя точка пространства Е±.

Такими представлениями фактически пользуются в химии. Применение методов многомерной геометрии к задачам химии разработано школой совет­ ских физико-хнмиков академика Курнакова и американским ученым Гиббсом.

«Пусть состояние какой-либо физико-химической системы определяется п величинами (так, состояние газовой смеси определяется давлением, темпера­ турой и концентрациями составляющих ее компонентов). Тогда говорят, что система имеет га степеней свободы, выражая этим, что ее состояние может меняться, так сказать, в п независимых направлениях с изменением каждой из определяющих это состояние величин. Эти величины, определяющие со­ стояние системы, играют роль как бы его координат. Поэтому совокупность всех ее состояний рассматривают как га-мерное пространство — так называ­ емое фазовое пространство системы.

Непрерывные изменения состояния, т. е. процессы, происходящие в си­ стеме, изображаются линиями в этом пространстве. Отдельные области со­ стояний, выделяемые по тем или иным признакам, будут областями про­ странства. Состояния, пограничные для двух областей, образуют поверхности в этом пространстве.

...Понятие фазового пространства применяется не только к физико-хими­ ческим, но и к механическим системам. В кинетической теории газов рассма­ тривают, например, фазовые пространства системы материальных частиц — молекул газа. Состояние движения одной частицы в каждый момент опре­ деляется ее положением и скоростью, что дает всего шесть величин: три коор­ динаты и три составляющие скорости (по трем осям координат). Состояние п частиц задается 6га величинами, и так как молекул очень много, то 6га —огром­ ное число. Точка в этом пространстве изображает состояние всей массы моле­ кул с их координатами и скоростями. Движение точки изображает измене­ ние состояния» *. Такое абстрактное представление оказывается очень полез­ ным во многих глубоких теоретических выводах термодинамики и статисти­ ческой физики.

121. Понятие функции нескольких переменных. В нашем курсе наиболее подробно рассматривается случай функции двух неза­ висимых переменных. Однако все введенные понятия и полу­ ченные результаты могут быть соответственно обобщены на случай функции любого числа независимых переменных.

Пусть А есть

область изменения независимых переменных х

и у. Переменная

и

называется

ф у н к ц и е й

н е з а в и с и м ы х

п е р е м е н н ы х

х

и

у на м н о ж е с т в е А,

если каждой паре

чисел X, у из А

соответствует

определенное

значение и. Пере­

менные X и у называются также аргументами функции и.

Множество А пар чисел х , у, на котором определена функция, называется областью определения, или областью существования функции. Областью А определения функции двух переменных может быть область плоскости (открытое связное множество точек эвклидова двумерного пространства £ 2), но может быть и зам­ кнутая область плоскости. Ею может быть линия или какое-либо иное множество точек плоскости Е 2.

Приведем несколько примеров функций, заданных аналитиче­ ски с указанием областей их определения.

* А. Д. А л е к с а н д р о в . Математика, ее содержание, методы и значение, т. III, Абстрактные пространства. М., АН СССР, 1956, с. 117—149.

1.

Функция

задана

формулой

и — ln (1 — х2 — у2) внутри

круга, определяемого неравенством

х 2 + у2 < 1.

2.

Функция задана формулой и= ] /г 2 — х 2 — у 2 внутри и на

границе круга, определяемого неравенством х 2 -f у2 s£ г2.

3.

Функция

задана

формулой

и — х — у на эллипсе х 2 +

+ V

= 4.

 

 

 

В

общем случае тот факт, что и есть функция аргументов х

и у,

изображается символом и — /

(х, у), или и = и (х, у) и т. п.

Понятие функции двух независимых переменных легко обоб­ щить на случай функции любого числа независимых переменных.

Переменная и называется

функцией п н е з а в и с и м ы х п е р е ­

м е н н ы х жІ5 х г, • • -, хп

на м н о ж е с т в е В (п-мерного прост­

ранства), если каждой точке этого множества соответствует

определенное значение переменной и.

 

через

М,

то

функцию

Если

точку (хг,

. . ., хп)

обозначить

и = / (xlt . . ., хп) от этих переменных иногда называют функ­

цией точки М и обозначают так: и = / (М ) или и =

и (М ).

 

Функция и =

и (М ) с областью определения В есть отображе­

ние множества В на множество U, представляющее область изме­

нения переменной и.

 

 

 

 

 

 

 

 

хп)

Геометрическим образом функции п переменных u = f (хг,

является

множество всех

точек

(xlt

. . .,

хп,

 

и),

для

которых выполнено соотношение и = / (хг, . . ., хп).

В частно­

сти,

функции

двух

переменных

и =

f (х, у) в

трехмерном

про­

странстве соответствует, вообще говоря, поверхность. Напри­

мер,

функции

и = X 2 + у2 соответствует

параболоид

вращения

(см.

п. 116).

 

 

предела функции.

Теория пределов.

Пусть

122.

Понятие

функция и = / (х, у) определена в области А и

М 0 — точка сгу­

щения множества А. Число Ъ называется п р е д е л о м

ф у н к ц и и

f (х, у) при с т р е м л е н и и т о ч к и М

(х, у) к точке М 0(х0, у0),

если для каждого числа е )> 0 существует

соответствующее число

8 > 0

такое,

что

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ f ( x , y ) - b \ C E

 

 

 

 

(2)

выполняется при

условии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 < d ( M 0tM)<8 .

 

 

 

 

(3)

Этот

факт

записывают

символически

 

 

 

 

 

 

 

lim / (х, у)= b

или

lim

f(M) — b.

 

 

 

(4)

 

 

X

-*• * 0

 

 

 

М

М о

 

 

 

 

 

 

 

У

^Уо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие (3) означает, что точка М принадлежит б-окрестности точки М0 и не совпадает с М 0.

Функция и = f (М ) называется бесконечно малой при стремле­ нии М к М 0, если lim / (М) = 0 при М -> М0.

Смотрите также файлы