Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 216

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Все основные теоремы о бесконечно малых и о пределах, сфор­ мулированные в главе I для функции одной переменной, обобща­ ются и на случай функций нескольких переменных. Например,

имеет место следующая теорема.

 

функций

а г(М)

и

Теорема. Сумма

двух

бесконечно малых

а 2(М) при М

-> М й есть функция бесконечно малая.

 

 

 

е >

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Фиксируем

произвольное

По условию теоремы для

существует число ô j >

0

такое, что

выполняется

неравенство

 

g

при

0 <

d (М0, М) <С

| а х (М ) |

< б 1, и

существует

б2 > 0

такое, что

\<х2(М)\

 

 

при 0 <

C d ( M 0,

М)

< ô2.

Тогда

|а г{М) -f

а 2(М) |

^

\^ЛМ)\

+

+ \а2(М)\

< е

при

условии

0 < i d ( M 0, М)

< 6, если

ô

 

и ô < 0 2. Теорема доказана.

существования

предела

функции

П р и м е ч а н и е .

Для

/ (М ) при М -> М 0 требуется

(согласно определению этого поня­

тия), чтобы при любом способе стремления М к М 0 существовал предел функции / (М ) и он был равен одному и тому же числу. Поэтому для существования упомянутого предела может оказаться

недостаточным

существование таких

пределов:

lim / (х, у) =

при X

х 0, у = у о и lim / (х, у) =

Ъ2 при х =

х 0, у

у0 и их

равенство Ьг =

Ъ2. Поясним это положение примером.

 

П р и м е р 1.

Функция задана равенством / (х, у) =

ху

при усло­

Xï + ÿl

вии х* +

у2 > 0.

Пусть х0 = у Q= 0. Следовательно, bj = Ь.г =

0. Однако

предел функции при стремлении М к М 0 не существует. Действительно, на прямой у = кх функция сохраняет постоянное значение / (х, кх) = ^ к ,

которое зависит от к. Следовательно, в любой окрестности точки М0 функция

принимает любые значения из промежутка ^

. Поэтому усло­

вие (2) не может быть выполнено и функция не имеет предела.

 

123« Непрерывность функции нескольких переменных. Пусть

функция и = / (х, у) определена в

области А и

М 0(хй, у 0)

есть

внутренняя точка А.

Функция

и = / (х, у)

называется

не­

О п р е д е л е н и е .

прерывной функцией в точке М 0, если выполнено условие

 

lim

/ (х, у) = / (х0>у0).

 

(5)

Х-+0С©

 

 

 

V-+Vо

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е .

Функция

и = / (х, у)

называется

не­

прерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой

области.

__

Непрерывность

функции в замкнутой области А означает,

что она непрерывна в области Л, а в точках границы этой области

имеет место непрерывность при дополнительном условии, что точка М стремится к М 0, оставаясь внутри области А.

Рассмотрим в области А две точки М 0(ж0, у 0) и М (х, у). Обо­ значим X — х 0 ~ Аж, у — у о = Лу. Полным приращением функ­ ции и = f (х, у) при переходе от точки М 0 к точке М называется разность значений функции в этих точках, а именно Аи = f (М ) —

— / (Л/о), т. е.

Au = f(x,

у) — / (х0,

у0).

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

Условие (5) непрерывности функции в точке М 0 равносильно

условию

 

 

 

 

lim

Агг = 0,

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которое означает, что бесконечно малому расстоянию

между

точками

М

и М 0

соответствует бесконечно

малое приращение

функции.

Действительно,

из

условия

(5)

 

следует

равенство

lim

[/ (М ) — / (М0)] = 0 и равенство (7). Из условия

(7)

в свою

м -*■м„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

очередь следует предыдущее равенство и равенство (5).

 

 

П р и м е р

2. Функция и = ж2 + у2 непрерывна

в любой

точке пло­

скости. Действительно, при любых значениях х н у

величина А и =

2жДж +

+ 2уАг/ +

(Да;)2 + (Ау)2

стремится

к нулю при

Дж-*- О, Ау

0.

Таким

образом, выполнено условие (7), что и доказывает наше утверждение.

П р и м е ч а н и е .

Непрерывность функции

двух переменных

х и у

п о с о в о к у п н о с т и

п е р е м е н н ы х

ж и у

есть нечто большее, чем

непрерывность этой функции по ж и по у порознь. Функция / (х, у)

может быть

непрерывной отдельно по х (в точке ж0 при у =

у0) и отдельно по у (в точке у №

при X =

х0) и вместе с тем не быть непрерывной в точке М 0 (х0, у 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ху

 

 

П р и м е р

3. Рассмотрим функцию и =

f (х,

у)

+ У2 при

+ г/2 Г> 0, и =

0 при X =

у =

0. Эта функция определена на всей плоскости.

Пусть х0 =

у 0 = 0. Функция / (ж, у 0) = 0 непрерывна по ж в точке ж0. Функ­

ция /(ж0, у) =

0 непрерывна по у вточкег/0. Однако А к=/ (ж, у)—/ (ж0, у 0) =

= / (ж, у)

не имеет предела

при ж->- ж0, у

у 0 (см. пример 1), и поэтому

данная

функция не непрерывна в точке (ж0, у 0) по совокупности переменных ж

и У-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Сумма,

разность,

произведение

и частное

непрерыв­

ных функций нескольких переменных есть функции непрерывные

(в

случае

частного

предполагается,

что знаменатель

не равен

нулю).

 

 

Пусть

lim / (М) =

f(M0) и

Д о к а з а т е л ь с т в о .

lim g (М ) =

 

 

 

м^ма

 

g (М 0). Тогда в силу теоремы о пределе суммы имеем

M-JM,

 

 

 

 

 

lim

If(М) + g (М)] -

lim f(M)+ Hm

g (M) = / (М0) + g(M0). (8)

М - * М О

_ М ^ М о

М - і И о

 

Таким образом, для суммы данных функций выполнено усло­ вие непрерывности (5) и теорема доказана. Аналогично доказы­ вается теорема в остальных случаях.

Множество точек пространства Еп назовем ограниченным, если это множество содержится в некотором гипершаре: (зц — ,rl0) 2 +

+

----- (хп — ХпоѴ ^ Л 2.

 

 

 

 

Примем без доказательства следующие три теоремы.

 

 

Теорема Вейерштрасса. Если в ограниченной замкнутой области

А

функция

и = / (М ) непрерывна,

то она достигает в А

своего

наибольшего

и своего наименьшего

значений.

 

 

 

Это значит, что в А существуют точки

и М 2 такие, что для

всех М из

А выполняются соответственно

неравенства / (М ) «S

-

/ (.М ,) и / (М) S&/ (Л/2).

 

 

 

 

Теорема Коши* Непрерывная в области А функция и =

/ (М),

переходя от одного своего значения к другому, необходимо проходит

через каждое промежуточное значение.

 

называется рае-

О п р е д е л е н и е .

Функция

и — f (М)

номерно непрерывной в области А , если для каждого

е ]> 0 су­

ществует не зависящее от М число ô >

0 такое, что выполняется

неравенство

| / (М) — / (М0)\ <

е для

всех пар

точек М и М 0

области А,

удовлетворяющих условию

d (М0, М) <Z$.

Теорема Кантора. Если в ограниченной замкнутой области А

функция и — f (М ) непрерывна, то она равномерно

непрерывна

в А.

 

 

 

 

 

 

 

Например, функция и =

х2 — у2

равномерно непрерывна в замкнутой

области, определяемой неравенством

х2 +

у 2 ^ R 2.

 

 

§ 21. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

124, Понятие частной производной* Пусть функция и = f(x, у) определена в области А . Одной из основных задач теории функций нескольких переменных является задача исследования данной функции. Метод сечений, с помощью которого в аналитической геометрии проводилось исследование формы поверхности по ее уравнению, нашел своеобразное отражение и в математическом анализе при решении указанной задачи.

Рассмотрим произвольную точку М 0(х0, у0) области А. Если переменная у сохраняет постоянное значение у — z/0, то перемен­ ная и становится функцией одной независимой переменной х, именно и = f (х, у0). Заметим, что график этой функции в трех­ мерном пространстве представляет сечение поверхности, опреде­ ляемой уравнением и — / (х, у), плоскостью у = уй. Найдем производную функции / (х, у0) в точке ха. Для этого дадим х приращение Ах, функция получит приращение

Axu = f(x0 + Ax, y0) —f(x0, уо),

(1)

называемое частным приращением функции и по переменной х.

О п р е д е л е н и е .

Частной

производной функции и =

= / (х, у)

по переменной х в точке М 0(х0, у0) называется предел

(если он

существует)

отношения

соответствующего частного

приращения функции Ахи к вызвавшему его приращению неза­

висимой переменной Ах,

когда Да; стремится к нулю:

 

 

 

 

 

дхди =

lim

Да;

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

Ллг-ч-0

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначается частная производная

в

этом случае

любым из

символов

, и'х,

Іх {х0,

уо).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из

определения

следует

геометри­

 

 

ческий смысл

частной

производной

 

 

функции

двух

переменных

по х\

ча­

 

 

стная

производная

/* {х0, у0)

равна

 

 

тангенсу

угла

наклона касательной к

 

 

линии

пересечения

поверхности

и =

 

 

—- / (х, у)

и

плоскости

у — у0 в соот­

 

 

ветствующей точке (рис. 92).

 

частная

 

 

Аналогично

определяется

 

 

производная функции по переменной у:

 

 

lim

 

Ауи

 

iü. =

и'

 

(х

Уо),

 

 

Ау^о

 

~д7

 

ду

ду

— иУ~- Ту

1Z 0’

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О)

AyU = f(x0, y0 + Ay)—f(x0, Уо).

 

 

 

(4)

 

 

 

 

Подобным образом определяются частные производные функ­

ций любого числа независимых переменных.

переменной

(см.

Пользуясь

понятием

скорости

изменения

п. 28), можно

сказать,

что частная

производная

f'x (ж0,

у0)

есть

скорость изменения функции / (х , у) относительно х при постоянном у; аналогично fÿ (х0, уа) характеризует скорость изменения функции при изменении у и фиксированном х.

Правило вычисления частной производной функции несколь­ ких переменных следует из ее определения и состоит в следующем: частные производные вычисляются по правилам дифференцирова­ ния функции одной переменной, при этом все независимые пере­ менные, кроме той, по которой выполняется дифференцирование, следует считать постоянными, соответствующими точке дифферен­ цирования.

П р и м е р 1.

Если и =

хг — у2, то и'х =

2х,

uÿ =

—2у.

П р и м е р 2-

Если

и =

xyz, то их — yz,

и'ц =

xz,

иг — ху.

П р и м е р з .

Если

р =

R T

R **

 

RT

—- , то р'Т = — * р'ѵ =

— — .Величинар^

называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

125. Обобщенная формула конечных приращений. Пусть функция и = f (х, у) в области А определена, непрерывна и имеет производные их и и'у. Рассмотрим две точки этой области М (х, у)

и N {х~\-Ах, у -f-Aу), а также соответствующее полное прираще­ ние функции

Au = f{x + Ax, у-\-Ау) —f(x,

у).

(5)

Запишем его в виде суммы двух разностей

 

 

Au = [f(x-'r Ax, y + Ay) —f(x, y + Ay)] + lf (х,

y + Ay) — f(x,

у)}.

Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции, т. е. приращение функций при изменении одного аргу­ мента и неизменном значении другого. Преобразуем каждую из этих разностей по формуле конечных приращений Лагранжа для функции одной переменной, получим формулу

Au = f ’x (х -f ѲАх, у {- Ay) Ах+ fÿ(x, у -\-Ѳ1Ау)Ау.

(6)

Она называется обобщенной формулой конечных приращений для функции и — f (х, у). Здесь Ѳ и Ѳ( — числа из промежутка (0,1).

126. Дифференцирование сложной функции. Условимся в сле­ дующем: будем называть функцию нескольких переменных не­ прерывно дифференцируемой в области А, если существуют и не­ прерывны в А ее частные производные по каждой из независимых

переменных.

 

 

д в у х

независимых пере­

 

А. Рассмотрим сложную функцию

менных. Пусть

1) функция и = f

(х, у) определена, непрерывна

и

непрерывно

дифференцируема

в

области

А

плоскости

Оху,

2)

функции X — X (t, и) и у = у (t, ѵ) определены, непрерывны

и

непрерывно

дифференцируемы

в

области

В

плоскости

Otv

3) области А и В согласованы, т. е., если точка (t, ѵ) £ В , то соот­ ветствующая точка (X, у) Ç А . При этих условиях переменную и можно рассматривать как сложную функцию независимых пере­

менных t

и V в области В: и = f (х (t, v), у (t,

v)).

Требуется найти ее частную производную, например, по пере­

менной

t.

Для этого рассмотрим в области В

две точки (t, ѵ)

и (t

At,

ѵ). Соответствующие частные приращения функций

X (t, v),

у

(t, ѵ) ж f

(х, у) будут

 

Atx = x(t+ At,

v) —x(t, v), Aty = y{t + A*,

v) — y(t , v),

Atu = f(x + Atx, y + Aty) —f{x, y).

Преобразуем A< u по обобщенной формуле конечных прираще­ ний и, разделив на At, получим

- ^ - = f x ( x + QAtx, y + Atu ) ^ - \ - f y (x, г/ -f Ѳі Aty) — .

Смотрите также файлы