ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 248
Скачиваний: 3
В этом равенстве можно перейти к пределу при At -> |
0. В силу |
||||||||||
непрерывности f x’ |
и |
f'y |
получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
Щ = Гх(х, |
у) x't (t, v)+fy(x, y)y’t (t, |
v). |
|
(7) |
||||||
Аналогично |
можно |
вывести формулу |
|
|
|
|
|
||||
|
u’v ^ ix ix , |
y)x’v(t, v)-irfy(x, y)y’v{t, |
v). |
|
(8) |
||||||
Формулы (7) и (8) встречаются в таких обозначениях: |
|
||||||||||
ди |
_ ди |
дх . |
ди |
ду |
ди __ |
ди |
дх . |
ди |
ду |
|
|
dt |
дх |
dt |
’ |
ду |
dt ’ |
ди |
дх |
дѵ ' |
ду |
дѵ |
^ |
Отсюда |
следует |
п р а в и л о |
дифференцирования |
сложной |
|||||||
функции: для того чтобы получить частную производную сложной функции, надо найти производные первого порядка «внешней» функции по каждому промежуточному аргументу, домножить их на производные соответствующих аргументов по переменной дифференцирования и полученные парные произведения сложить.
Г1 р и м е р. |
Если |
и = |
ху, где х = |
t cos 2ѵ, у |
= г2 -f- sin2 |
ѵ, то |
и[ = |
= у cos 2ѵ -р x2t, |
и'ѵ = |
у (—2t sin 2ѵ) + |
х sin 2ѵ. |
|
|
|
|
Б. Рассмотрим сложную функцию л ю б о г о ч и с л а |
не |
||||||
зависимых переменных. |
Пусть 1) |
функция |
и — / (у 4, |
. . ., |
ут) |
||
определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема в обла
сти А |
m-мерного пространства, 2) функции у і = Уі (хи . . ., хп) |
. . ., |
ут = ут (хи . . ., хп) непрерывны и непрерывно диф |
ференцируемы в области В «-мерного пространства, 3) области А
и В согласованы, т. е. если (хи |
. . ., |
хп) 6 В , ю { у х, |
. . ., |
ут) £ А . |
|||||||
Так же, как в случае А, |
получим при s = |
1, 2, |
. . ., |
п |
|||||||
ди _ |
ди |
дуу . |
ди |
ду2 |
, |
|
і |
ди |
дут |
|
( 10) |
dxs |
дух |
dxs T" glj2 |
QXS |
т |
• |
' |
дут dxs |
|
|||
|
|
||||||||||
Правило дифференцирования сложной функции сохраняется.
В. Рассмотрим |
сложную |
функцию |
о д н о й |
независимой |
|||
переменной. Пусть 1) и — / (t, |
х, у, ъ) |
определена и непрерывно |
|||||
дифференцируема |
в |
области А, |
2) х — x (t), у = |
у (t), |
z = z (t) |
||
дифференцируемы |
в |
промежутке |
В , 3) |
области А |
и В |
согласо |
|
ваны. При этих условиях и можно рассматривать как сложную
функцию одной независимой переменной и — / (t, |
х (t), у |
(t), z (t)), |
||
причем величина и зависит от t |
как непосредственно, |
так |
как |
|
ее первым аргументом является |
t, так и через |
посредство |
х, у |
|
и z. По правилу дифференцирования сложной функции (случай Б)
имеем |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du _ |
ди |
I ди |
dx |
|
ди |
dy |
. |
ди |
dz |
,. .. |
|
dt |
dt |
дх |
dt |
' |
ду |
dt |
' |
dz |
dt ' |
' |
Здесь |
называется |
полной, |
или |
материальной, |
производной, |
||||||
— частной, или локальной, производной. Название «локальная
производная» связано с тем, что при ее вычислении величины х, у и z (координаты точки пространства) фиксируются.
127. Дифференцирование неявной функции. А. Случай неяв
ной функции о д н о й |
независимой |
переменной. |
О п р е д е л е н и е . |
Функция |
|
|
у = ц>(х) |
(12) |
называется неявной функцией независимой переменной х в проме жутке а <Сх << Ъ, если она задана уравнением
f(x, у) = 0, |
(13) |
неразрешенным относительно у. Это знаяит, что каждому х из (a, b)
соответствует такое |
у, что пара чисел х, |
у удовлетворяет урав |
|
нению (12). Следовательно, имеет |
место тождество |
||
|
f(x, ([ (.г) |
0 |
(14) |
относительно х в промежутке (а, Ъ). |
|
||
З а м е ч а н и е |
1. Не всякое уравнение вида (13) определяет |
||
неявную функцию в вещественной области. Например, уравнение
X2 |
+ у 2 + |
1 = |
0 |
не определяет никакой вещественной функции, |
||||||||||
а |
уравнение у2 — х2 = |
0 |
определяет |
несколько функций: у = |
||||||||||
= |
±х, у = И |
и др. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
З а м е ч а н и е |
2. Термин «неявная» относится не к существу |
||||||||||||
функции, а к способу ее |
задания. Например, функция у = |
х2 |
||||||||||||
становится неявной, |
если |
она задана |
уравнением |
х2 — у — О, |
||||||||||
не разрешенным |
относительно у. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ниже сформулирована теорема существования неявной функ |
|||||||||||||
ции одной независимой переменной. |
|
|
|
(х, у) непре |
||||||||||
|
Теорема 1. Дано уравнение (13). Пустъ 1) функция / |
|||||||||||||
рывно дифференцируема |
в |
окрестности А |
точки |
М 0 (х0, уД, |
||||||||||
2) |
/ (х0, у0) = |
0, |
3) |
fy (х0, уg) =Н 0. |
Тогда существует, и притом |
|||||||||
единственная, |
функция |
у — ф (х) |
со |
следующими |
свойствами'. |
|||||||||
1) |
ср (х) определена и непрерывна в некоторой окрестности (а, |
$) |
||||||||||||
точки хя, |
2) <р (х0) = |
у0, 3) / |
(х, <р (х)) |
0 в (а, ß). |
|
|
||||||||
= |
И р и м е р і . |
Если |
/ (X, |
у) |
= |
еху — х — у н |
х0 = 0, у 0 |
= 1, то ] ’у |
= |
|||||
хеху — 1 -=Д 0 в точке М0 (О, 1). Выполнены и другие условия теоремы 1. |
||||||||||||||
Поэтому существует одна и только одна |
функция у — ср (х), непрерывная |
|||||||||||||
в окрестности точки хя = 0, |
удовлетворяющая уравнению еху — х — у = |
0 |
||||||||||||
и |
условию |
ф (0) = |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1, то существует |
|||||||||||||
производная неявной функции, |
и она может бытъ выражена фор |
|||||||||||||
мулой |
|
|
|
|
|
dy |
|
fx (Х> У) |
|
|
/4 с\ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
“ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
йх |
Гу (х, у) |
|
|
у |
' |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме 1 существует в про межутке (а, ß) функция у = ц>(х) с указанными в заключении теоремы 1 свойствами. Рассмотрим две точки х и х 4- Ах
промежутка |
(а, ß) |
и |
соответствующее приращение Ау = |
|
= фД-г-гДя) — ф (ж). Имеет место равенство |
|
|||
|
/(ж + Дж, |
у Л //)-/(ж , у) = 0, |
(16) |
|
потому что |
согласно |
(14) / (ж, у) — 0 и / (ж + Ах, |
у ф Ду) = 0. |
|
Левую часть равенства (16) преобразуем по обобщенной формуле конечных приращений. Получим
/*(ж-|-ѲДж, y + Ay)Ax + fy {x, у г Ѳх Ay) Ay = 0, |
(17) |
где fÿ (х, у 0tAy) ф 0, что следует из первого и третьего усло вий теоремы 1. Найдем из (17) отношение ^ и, перейдя к пределу
при Ах -к 0, получим формулу (15). Вместе с тем доказано суще ствование упомянутого предела.
Заметим, что формула (15) может быть выведена из тождества (14) короче, но при этом не доказывается факт существования производной. Именно, если в уравнении (13) под у понимать ф(ж),
то получим тождество (14) относительно х. |
Дифференцируя его |
||||||||
по X согласно правилу дифференцирования сложной функции, |
|||||||||
получим |
і'х (х, |
у) |
+ fy (х, у) у'х = |
0, где у = |
ф (х). |
Отсюда непо |
|||
средственно следует формула (15). |
|
|
|
|
|||||
П р им е р 2. |
Производная неявной функции, определяемой уравне |
||||||||
нием |
ехУ — X — у = 0, в окрестности точки хд = 0, |
согласно формуле (15), |
|||||||
Равна |
, |
1 — уе*У |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П р и м е р |
3. Неявная функция |
задана |
равенством |
х2 + |
у2 — П2. |
||||
Дифференцируя |
его |
по х при условии у = у |
(х), получим 2х |
2уу'х = 0. |
|||||
Следовательно, |
у' = |
X |
|
|
|
|
|
||
------ . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
Б. |
Случай неявной функции |
н е с к о л ь к и х |
независимых |
||||||
переменных. Рассмотрим уравнение, например, с тремя перемен ными
/(я, У, z) = 0 |
(18) |
и предположим, что оно определяет в некоторой области А пло скости Оху неявную функцию
2 = ф(х, у), |
(19) |
так что имеет место тождество f (х, у, ф (ж, у)) = |
0. |
Не останавливаясь на рассмотрении условий |
существования |
неявной функции и ее частных производных по ж и у, дифферен цируем последнее тождество по ж; получим равенство
fx(x, у, z) + f2{ж, |
у , |
z)zx = 0, |
(20) |
из которого следует формула |
|
|
|
Іх(х, |
у, |
г) |
|
Ѵг (х > У> О
Аналогично получим
г |
f'y ( х , У, |
z) |
(22) |
|
t'z(х>У, |
z) |
|||
|
|
Конечно, здесь предполагается, что f'z Ф 0, это одно из условий существования неявной функции.
П р и м е р 4- Из курса термодинамики известно, что физическое со стояние однородной жидкости, находящейся в равновесии, определяется за данием двух из трех параметров: давления р, объема ѵ, температуры Т. Между этими величинами существует зависимость / (р , ѵ, Т) — 0, называемая урав нением состояния. Установим формулу
|
|
др |
дѵ |
дТ |
|
|
|
|
(23) |
|
|
|
дѵ |
дТ |
др |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно (21) и (22) |
имеем |
|
]р |
дѵ |
= |
— 1і- |
й1 |
■ |
||
|
|
дѵ |
I f |
|
tv |
’ dp |
f'T |
|||
Перемножив эти равенства, получим (23). |
|
|
|
|
|
|||||
В. С и с т е м а |
неявных функций, |
Пусть |
дана система, |
на- |
||||||
пример, |
двух уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(z, у , |
z) = 0, |
|
g(z, у, |
z) = 0, |
|
(24) |
||
которая |
определяет две неявные |
функции у = |
<р (х) и |
z = ф (х) |
||||||
одной независимой переменной х, так что имеют место тождества
f(z, ф(ж), ф(х)) = 0, ,g(x, ф(ж), ф(ж)) = 0. |
(25) |
Для того чтобы найти у'х и z'x, дифференцируем тождества (25); получим систему линейных уравнений относительно у'х и zx:
fx -L ГуУх / А - 0, gx + gÿy’x + gzZx = 0. |
(26) |
Коэффициентами при неизвестных ух и z'x служат частные произ водные fy, Д, gy, g'z. Если определитель системы (26) не равен нулю, то система имеет единственное решение. Этим определителем служит функциональный определитель
|
|
|
fy |
fz |
_ |
D (/, g) |
|
|
(27) |
|
|
|
gy |
g'z |
|
D Ü’ z) |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
называемый также |
определителем Якоби *, |
или якобианом. |
|||||||
128. |
Теорема |
Эйлера |
об |
однородных |
функциях. |
Функция |
|||
/ (х! , . . . , |
хп) от п аргументов называется однородной функцией |
||||||||
степени т, если при умножении всех ее аргументов на множитель |
|||||||||
t функция приобретает этот же множитель в степени т, т. е. если |
|||||||||
имеет место тождество |
относительно t, |
х і, . . ., хп |
|
||||||
|
/(te l5 |
. . ., |
te„) = |
im/(;r1, |
. . ., |
хп). |
(28) |
||
Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851) — немецкий математик.