ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 217
Скачиваний: 2
П р и м е р 1. Функция и = лг2 h есть однородная функция третьей степени относительно г и h.
Для упрощения письма ограничимся рассмотрением случая функции двух аргументов. Предположим, что однородная степени т функция / (X, у) имеет непрерывные частные производные по обоим аргументам. Имеет место тождество / (tx, ty) = tmf (х, у). Дифференцируем его по переменной t. Временно обозначив tx = = а, ty = ß, получим
/а (а, ß) at + f'ß(а і ß) ßj =- mtm~xî (x, у).
При t — і получим
xfx (x, ij)i-yfy(x, y) = mf(x, y). |
(29) |
Таким образом, доказано утверждение: сумма произведений частных производных однородной функции степени т на соответ ствующие независимые переменные равна произведению этой функ ции на т.
П р и м е р |
2. Если и = х2+ у2, то |
хи'х ~Ь yuÿ — 2и. |
129. |
Частные производные |
высших порядков. Частные |
производные функции нескольких переменных сами являются функциями тех же переменных, и мы можем определить их частные производные. Таким образом, мы получим частные производные второго порядка исходной функции, которые будут функциями тех же переменных, и их дифференцирование приведет к частным производным третьего и высших порядков.
Так, для функции и — f (х, у) двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные суще ствуют) две частные производные первого порядка и'х и ии и че
тыре частные |
производные |
второго порядка. Последние обозна |
|||||||
чаются символами |
д I |
ди \ |
|
„ |
д-и |
д ( |
ди ^ |
||
„ |
д^и |
|
|||||||
Uxx |
дх2 |
дх |
\ |
дх |
) ’ |
Uxy |
дх ду ^ |
ду \ |
дх ) ’ |
у, |
<92и |
д |
|
(■ ди |
\ |
„ |
д2и |
д ( |
ди \ |
Uyx |
дудх |
дх \ |
ду |
) ’ |
Uyy |
diß |
ду V ду ) ' |
||
Производные и'хУ и uÿx, |
отличающиеся порядком |
дифференци |
|||||||
рования, называются смешанными производными второго порядка.
Аналогичным образом |
определяются производные 3-го, 4-го |
||
и старших порядков. |
производные |
второго |
порядка равны, |
Теорема. Смешанные |
|||
если они непрерывны: |
|
|
|
fxy{x, y ) = fyx(x, |
У). |
(30) |
|
Для доказательства преобразуем двумя путями следующую функцию:
w = f( z + Ax, y+ Ay) —f(x, y + Ay) —f(x + Ах, y)+ f(x, у).
1. Если |
обозначить |
|
|
|
||
|
|
ф(я, |
2/) = /(я + Ля, y ) —f(x, У), |
(31) |
||
то IV = ер {х, у + |
Ау) |
— ф (X, у). Эта разность по формуле конеч |
||||
ных приращений может быть записана в виде произведения |
|
|||||
|
|
|
и>--=ц'у(х, |
у + ѲAy) Ay. |
|
|
В силу |
(31) |
имеем w = [/ ÿ (х + Ах, у -f 0 Ау) — fÿ (х, у -f- |
||||
-г ѲДу)] Ау. Применяя еще раз формулу конечных приращений, |
||||||
получим |
|
w = fyx(x + Q1 Ах, |
у + ѲАу)АхАу. |
(32) |
||
|
|
|||||
2. Если обозначить ф (х, у) = |
/ (х, у + Ау) — / (х, у), то, |
сле |
||||
дуя той же схеме рассуждений, последовательно получим |
|
|||||
w = ф (х -т- Аж, |
у) — ф(ж, |
у) = фі (ж + Ѳ2Аж, у) Ах = |
|
|||
|
|
= fxy(x -rQ2Ax, |
у + % Ay) Ах Ay. |
(33) |
||
Приравняем правые части равенств (32) и (33) и после деления на Ах Ау получим fÿx (х + Ѳ! Ах, у + Ѳу) = fxy (х + Ѳ2Ах, у + Ѳ3Ау).
Перейдем в этом равенстве к пределу при |
Ах -»-0, |
Ду ->■ О, |
|
согласно непрерывности f"xy и f"yx в |
точке (х, |
у) получим равен |
|
ство (30). Теорема доказана. |
|
высших |
порядков |
С л е д с т в и е . Смешанные производные |
|||
равны, если они н е п р е р ы в н ы |
и получены в результате диф |
||
ференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательности. Покажем это
на |
примере. |
ихху |
\(Цх)х)у =—■ЕІЦх) у\х — Еіру )л4л:і т. с. 1ххху == |
= |
u'xyif — Uyxx- |
Здесь мы дважды пользовались теоремой: первый |
|
раз применительно к функции их (мы изменили порядок ее диф
ференцирования), второй раз |
положили |
и"ху — и"ух. |
В |
общем |
|||
случае |
схема рассуждения |
аналогична. |
|
|
|
||
130. |
Полное приращение и полный дифференциал функции. |
||||||
Пусть функция и — f (х, у) независимых переменных х н у |
опре |
||||||
делена и непрерывно дифференцируема в области А. |
|
|
|||||
О п р е д е л е н и е . |
Частным дифференциалом функции и == |
||||||
= / (х, |
у) называется произведение соответствующих частной про |
||||||
изводной и приращения независимой переменной: |
|
|
|||||
|
dxu = /* (х, |
у) dx, |
dyu = fy(x, |
y)dy, |
|
|
|
где dx — Ах и dy = Ду суть приращения |
независимых перемен |
||||||
ных х н у . |
|
функции нескольких |
переменных |
||||
Полным дифференциалом |
|||||||
называется сумма его частных дифференциалов:
В случае функции любого числа независимых переменных полный дифференциал по определению также равен сумме его частных дифференциалов.
Полное приращение функции и — / (х, у) при переходе от точки М (X, у) к точке N (х +Дх, у + Ду) по обобщенной формуле конечных приращений может быть представлено в виде
Ди - /і (х + ѲДа:, у Ду) Ax + fy(x, у f Q1 Ay) Ay.
В силу непрерывности частных производных первого порядка имеем
/х(ж + ѳ Ах, у
p d v
V
р
Рис. 93.
Ах) f'x (x, у) -ja, |
fÿ(x, у |
■0, ,Ѵ/) |
jUx. |
у) |
ß, |
||
|
где а и |
|
|
|
|
(35) |
|
|
ß — бесконечно |
малые |
при |
||||
d p d v |
стремлении к нулю величины |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
vdp |
р = d{M, N) = V (Д*)2-г (Дy f . |
(36) |
|||||
Поэтому |
полное |
приращение функции, |
|||||
|
|||||||
|
имеющей |
непрерывные частные |
произ |
||||
|
водные, |
можно |
представить |
в |
виде |
||
|
суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Au = df(x, у) -г YPi |
|
(37) |
|||
где у = а — + ß — . При р ->■0 переменная у->-0, потому что ве-
P Р
личины Дж/р и Ау/р ограничены. Формула (37) связывает полное приращение и полный дифференциал функции.
П р и м е р . Уравнение состояния идеального газа рѵ = |
RT |
опре |
деляет величину RT как функцию независимых переменных ри |
ѵ, которую |
|
можно трактовать геометрически как площадь прямоугольника |
со |
сторо |
нами р и и. Если р и г; получат приращения dp и dv, то полный дифференциал d (RT) — vdp + pdv связан с полным приращением равенством Д (RT) =
= d (RT) + d p - d v .
Все слагаемые нашего дифференциала и полного приращения предста влены на рис. 93 площадями соответствующих прямоугольников.
С о д е р ж а н и е понятия полного дифференциала функции заключается в следующем: если f x2 + fx2 > 0, то полный диф ференциал есть главная частъ полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных.
Термин «главная часть» означает, что при стремлении р к нулю 1) разность Au ■— du есть величина бесконечно малая, т. е.
|
lim (Au — du) = lim ур = 0, |
|
|
(38) |
|||||||
|
p-i- 0 |
|
|
|
p->o |
|
|
|
|
||
2) разность Ди — du есть бесконечно малая высшего порядка |
|||||||||||
по сравнению с du, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
Ди — du |
= lim |
|
= lim |
|
Дж |
Ду |
0. |
(39) |
||
С-.0 |
du |
Р - о |
d u |
P |
- |
о |
и |
|
|
||
|
|
|
* --------Г и у |
Р |
|
|
|||||
Следовательно, du я Au — эквивалентные бесконечно малые (см. п. 19):
1Ш1—-- = І1ІН |
1 -: |
VP |
(40) |
||
1 . |
LAU' |
1 . |
|
|
|
Р-о du |
Р-0 |
|
du |
|
|
Из формулы (37) следует важная формула
Au ^ d u , |
(41) |
которая показывает, что полное приращение функции приближенно равно ее полному дифференциалу, причем равенство (41) тем точнее, чем меньше р. С уменьшением р уменьшается не только абсолют ная погрешность формулы (41), т. е. величина Au — du, но и от
носительная погрешность, т. е. величина ^ ^•
Теорема (об инвариантности формы первого дифференциала).
Предположим, что I) функция и = f (х, у) непрерывно дифферен цируема в области А плоскости Оху, 2) функции х ■-■=х (t, ѵ) и у = у (t, ѵ) непрерывно дифференцируемы в области В незави
симых переменных tu |
ѵ,Ъ) функции х (t, |
ѵ) и у ft, ѵ) принимают |
|
значения в области А |
при всех t, ѵ, принадлежащих В. |
Перемен |
|
ную и будем рассматривать как сложную функцию t |
и ѵ в В. |
||
По определению дифференциала функции имеем |
|
||
|
du = щ dt f u'vdv. |
(42) |
|
По правилу дифференцирования сложной функции получим |
|||
du ^=~- (uxxt —уuyyt) dt —t- (uxx-Ll |
uyyf) dv |
|
|
-= Ux (x't dt xv dv) -r u'y (y't dt -f y'v dv). |
(43) |
||
Величины, содержащиеся справа в скобках, являются полными дифференциалами соответственно функций х ft, ѵ) и у (t, ѵ). Поэтому
|
du=^ux d xJr u'ydy. |
|
(44) |
Итак, доказано утверждение: формула |
f44j имеет место как |
||
в том случае, когда х |
и у — независимые |
переменные |
(тогда àx |
и dy суть приращения этих переменных), |
так и в случае, когда |
||
X и у сами являются |
функциями других |
переменных |
(тогда dx |
иdy представляют полные дифференциалы этих функций).
131.Элементы теории приближенных вычислений. Ограни чимся рассмотрением двух задач.
З а д а ч а |
1. |
Вычислить значение функции |
и — f (х , у) |
|
в точке N (х + |
Ах, у |
+ |
Ау), если известно ее значение в близкой |
|
точке М (х, у). |
|
|
|
|
Приближенное решение задачи дает формула (41), которую |
||||
можно записать |
в виде |
|
|
|
f(x + Ах, |
y + A y )œ f(x , y) fd f( x , у). |
(45) |
||
В частности, при х = у = 0, обозначив Ах = |
х, Ау = |
у, получим |
||
|
|
f(x, y ) ^ f ( о, 0) + d/(0, 0). |
(46) |
|
Таким образом, значения функции в близких точках отли |
||||
чаются приближенно на величину df (х , у). |
|
|
||
П р и м е р |
1. Требуется вычислить значение |
функции |
и — хеу при |
|
ж = 2,03, у = |
0,1. Для этого рассмотрим точку М (2,0). Вычислим / (М) = |
|||
= 2е° = 2 и |
dj |
(М) = е^Дх + хеУ&.у. Здесь |
2, Удо= |
0, Ах = 0,03, |
Ау = 0,1 и d f (М) = 0,23. Следовательно, / (N ) я» 2,23.
Введем несколько понятий. Верхней границей числового множе ства {х} называется число М такое, что все х удовлетворяют соотношению х ^ М. Например, множество правильных дробей ограничено сверху числом единица или любым числом, большим единицы.
Пусть х0 — точное значение рассматриваемой величины, х — одно из ее приближенных значений. Абсолютной погрешностью приближенного числа х называется число \х — х0\. Предельной абсолютной погрешностью Ах приближенного числа х называется верхняя граница множества {\х — х0|}. Поэтому имеет место неравенство
\х —х0\ ^ А х. |
(47) |
Предельной относительной погрешностью величины х назы вается число
З а д а ч а 2. Найти предельную абсолютную погрешность результата вычисления величины и по формуле и = / (х, у), если известны приближенные значения х и у и их предельные аб солютные погрешности Ах и Ау.
Р е ш е н и е . |
Если принять |
приближенное равенство |
(41) |
|||
за точное и положить Au = |
и'хАх + |
иу Ау, то легко найти верхнюю |
||||
границу величины | Au | с |
помощью неравенства |
|
||||
I Au I |
I и'х I |
I Ах I + 1и’у ! I Ay I sc I их I Д*+ I и'у \ Ау. |
|
|||
Поэтому за |
Аи можно |
принять |
|
|
||
|
|
Аи = \их \Ах+ \и у \Ау. |
(49) |
|||
Формула |
(49) |
обобщается на случай функции любого числа |
||||
независимых |
переменных. |
|
|
|
||
Из основной формулы (49) вытекает, в частности, следующее утверждение.
Теорема. При сложении и вычитании предельные абсолютные
погрешности слагаемых с к л а д ы в а ю т с я : |
|
Ах±у = А*+ Ау. |
(50) |
