Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

П р и м е р .

Составим

уравнение

касательной к

винтовой линии,

за­

данной

уравнениями х —

а cos m г,

у

=

a sin <вг,

z =

kt

в точке,

где

t =

= t 0— jt/2(o

(рис. 94).

х'

=

—аа

sin

at,

у' — асо

cos

иг,

г'

к.

При

г =

Р е ш е н и е .

Имеем

г0 получим хп = 0 , у 0

—

a,

z0

— кп/2ш, х'й = —аш,

у'0 =

0 ,

z'0 =

к.

Подставив эти величины в соотношения (55), получим уравнение касатель­

ной

Х_ Y - a

Z —ZQ

аи

0

к

133.

Касательная плоскость и нор­

маль к поверхности. Пусть поверхность

S

задана уравнением

ф(х,

у,

z) —0,

(57)

в котором функция

ф (X, у,

z)

предпо­

лагается

непрерывно

дифференцируе­

мой,

причём

ф(? + фу2 +

фг2 ]> 0 на S.

Рассмотрим

на

поверхности S

точку

М 0 (х оі Уо> zo) и произвольную гладкую

кривую I, проходящую через М 0. Пусть

х

= х (t),

у

= у (t),

z

= z (t) — пара­

метрические уравнения линии I, кото­

рые при

t =

t0 дают

X = х 0,

у

=

у 0,

z = z 0. Линия I принадлежит поверхности

S, поэтому имеет место тождество ф (х (t), у (t), z (t))

~ 0 . Дифферен­

цируя

это тождество по переменной t, получим

4>х (Щ Х' -I- фУ(М) у'

г фг (M)z’ ~ 0 .

При

=

t0 имеем

ФІ (М 0) xf (t0) +

Фy(M0) y' (t0) +

ф; (M O) Z' (t0) = 0.

(58)

Рассмотрим векторы N (ф*0, Фггю

фго) и s (•rô> Уоі zo)• Эти век­

торы

ортогональны,

потому

что

согласно (58)

их

скалярное

произведение равно нулю. Заметим, что вектор N не зависит от

выбора линии I на поверхности, а вектор s согласно (55) направлен

по

касательной

к I

в

точке

М 0. Отсюда

следует утверждение:

касательные в точке М 0 ко всем принадлежащим поверхности

&

гладким линиям вида I лежат в одной плоскости, которая перпен­

дикулярна

вектору

N.

через

точку

М 0 перпендикулярно

Плоскость,

проходящая

вектору

N,

называется

касательной плоскостью

к поверхности

прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке

М 0.

Выведем уравнение касательной плоскости. В уравнении пло­

скости

А (х — х0) t- В (у — уо) + С (z — Zo) = 0,

(59)

Ц>'х {Мо) {х — х0) + еру(М0){у —у0) 4- фг (М0) (z —z0) -==0.

(60)

X— х0

у —i / o

z — z о

( 61)

т

п

р

х— хо

У— Уо

2

zo

(Р>2)

ФІ Шо) ~

ф у (ЛГо)

ф; (Л?о) ‘

Ѵ '

П р и м е р .

Составить уравнение

касательной

плоскости

и нормали

к поверхности, заданной уравнением z = х2 4“ у 2 в точке М 0 (1 , 1 , 2).

Р е ш е н и е .

Здесь

ф =

хг +

у2 — z,

(pÿ =

2х,

(pÿ = 2у,

фг= —1-

В точке М 0 имеем ф* =

Фу =

2, (р'г

= —1. Поэтому в соответствии с равен­

ствами (60) и (62) получим уравнение касательной плоскости 2ж +

2у — z —

■у — I

у_I

2_2

- 2 = 0 и уравнения нормали — -— =

Л—— =.■-----— .

cos а = _____ фі______

COS ß

%

Ѵф^т-фуН-фг*

’

/ф і 24-ф;2 + Фг 2 ’

непрерывно;

такие

поверхности

называются

кусочно-гладкими.

О

г е о м е т р и ч е с к о м с м ы с л е п о л н о г о д и ф ­

ф е р е н ц и а л а .

Если

поверхность задана

уравнением z =

= / (х >У,) то

уравнение

касательной плоскости

будет получено

как

частный

случай

уравнения (60) при ф =

/ (х, у)

— z. Тогда

Ч>Х =

Гх,

фу =

/у, Фг = — 1 и уравнение (60)

примет

вид

fx(xо, Уо)(х — хо)+Гу(хо,

Уо)(у —Уо) — (z— 2о) = 0.

Обозначив здесь х — х 0 — Ах, у — у 0 —

Ау, z — z0 =

Az,

получим

y0) = Az,

(63)

fx (x0, y0)Ax + fy (x0, y0)Ay = Az и df(x0.

(Pu = d(dn~1u).

(64)

Исходя из равенства du = uxdx +

uydy, определяющего

пер­

вый дифференциал,

последовательно

выведем

d-u — d (ii'xdx -f- u'y dy) = (u'x dx -|- uy dy)x dx -f-

-r {uxdx + Uydy)ydy,

(65)

d2u =

,

uxx (dx)2-f- 2uxy dx dy -j- uyy (dy)2.

после чего показатели степеней у

и

надо считать указате­

лями порядка производных по а: и у от функции и.

135. Формула

Тейлора для функции нескольких переменных.

Пусть функция и

=

f

(х, у) непрерывно дифференцируема п + 1

раз в

некоторой

окрестности точки

М 0 (х0,

у 0).

Пусть

точка

М (х0

Ах, у о +

Ау) принадлежит этой окрестности. Вспомога­

тельную функцию ф (t) определим в промежутке 0 sç

t sg 1 равен­

ством

Ф (t) = f(x,

у),

(67)

где X

= х 0

t

Ах,

у = у 0 + t Ay. Согласно

п. 51 составим фор­

мулу

Тейлора

для

ф ( t ) :

ф (t) =

Ф

( п

> ( 0

)

е +

(П+1)

т

fn+l

(68)

ф

( 0

)

+

ф t' +( 0 .)

п

!

ф

(«+D!