Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

ф" (t) ■ = fxxX* 2H- 2fxyX'y' +

fyyy’ 2== d2f (x

y),

. . .,

Ф(п) (l) = dnf (x, y), ф(п+1,( 0 ; dnnf(x,

y).

Заменив в последнем

равенстве

t на dt,

а в остальных положив

t = 0 , найдем ф (А) (0) = dkf (х 0,

у 0) при

к = 0 , 1,

. . п,

ф(п+п

__ ^п+1/ (хо

Ах, у0+ Ѳі Ау).

положить в нем t = 1, то получим для / (х, у)

формулу Тейлора

dkf(xо, уо) I

dn+1f(xо + ѲДх, Уо + ѲД!/)

(69)

f ( x > У ) =

f ( x Уo, о ) + 2

к !

(п+ 1) !

h=1

где

x =

ж0 4

Аж, у = у0 4 Ay. Ее

можно записать в

виде

f(M )= f( M 0) +

йи+1/ (М*)

(70)

4 4 1 )!

'

Л=1

где

М * (х 0 4

ѲАж, у 0 4

ѲАу). Формула

Тейлора

для

функции

любого

числа

независимых переменных имеет

такой

же вид.

136.

Экстремум функции нескольких переменных. Рассмотрим

функцию и

=

/ (ж, у), непрерывную в области А. По определению

функция / (ж, у) имеет в точке М 0 (ж0, у 0) максимум,

если выпол­

няется

неравенство / (ж,

у) < /( ж 0,

у0)

или

Au = f (М) — / (М0) < 0

(71)

в некоторой

окрестности

точки М 0, т. е.

при

условии

0 < р = d(M0, М) = У (Аж)24 (Ау)2< Ô.

(72)

ô-окрестности точки М 0 выполняется неравенство / (М) > /

(М „)

или

Д и Х ) .

(73)

Для обозначения максимума и минимума употребляется й

общий

термин — экстремум.

илй

Если

вместо (71) или (72) выполнено условие А и ^ 0

А и ^ 0,

то экстремум называется несобственным.

экстремум.

у 0) в точке ж0 имеет

экстремум (того же

Тогда функция / (х,

смысла), потому что неравенство (71) или (73) выполняется для

в с е х

точек ô-окрестности

точки М 0, в частности

оно

выпол­

няется

при условии у

= у 0.

Поэтому (см. необходимое

условие

экстремума функции

одной

переменной,

п. 39)

производная

ция / (ж0, у) при у =

у 0 тоже имеет экстремум, и поэтому f'y (х0, у)

в точке у 0либо равна нулю, либо не суще­

ствует. Теорема доказана.

П

р

и м

е р

1 .

z =

X 2

у 2 ,

z'x

=

2 х ,

z'y =

2 у .

Производные

равны

нулю

в

точке

х0 =

Уо =

О, гДе функция имеет минимум.

П р и м е р

2.

z =

X2 — у2.

Производные

первого порядка опять равны нулю в точке хп =

— i/o ~

О’ н0 экстремума эта функция не имеет

(поверхность

носит

седлообразный характер).

Теорема

(о

достаточном условии экс­

дважды

непрерывно

тремума).

Пустъ

функция

и — и (х,

у)

дифференцируема

в

некоторой

окрестности

точки М 0 (х0,

у 0) и в самой

точке

М 0

выполнено

условие

их (М0) = иу {М0) = 0.

(74)

Обозначим

А

=

ихх (М 0),

В

=

иху (М 0),

С — и"уу (М 0),

D =

— АС — В 2.

Тогда

в

точке

М 0

функция

и (х,

у) 1)

имеет

минимум,

если

D > 0

и

А

р> 0,

2)

имеет

максимум,

если

D > 0

и А

< 0 ,

3)

не имеет экстремума,

если D < 0 .

п

= 1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Формула

Тейлора (70) при

имеет

вид

и'уу (М%) = С +

а 3, где а г, а 2, а 3 — величины бесконечно малые

при стремлении

р к нулю (рис. 95). Поэтому из (75) следует

равенство

где

р = |/(Даг)2 (Аг/)2,

ар2—ах (Дх)2-|- 2а2Ах Ау + а3(Дг/)2.

Поло­

жив

в (76) Дх —pcoscp,

Дг/— р sin ф, получим

2 Аи =-- р2 {(А cos2ср -f 2В sin ф cos ф -j- С sin2ф) ;■а},

(77)

2 Ди = р2j [(И cos ф -{-В sin ф)2 f D sin2ф] • + aj

(78)

I 1. Если

,

0

и

П > 0 , то

в формуле

(78) имеем

[. . ,]> 0^

—д [. . .]> 0

Д и > 0

и в точке М 0 функция

имеет минимум,

2. Если

D > 0

и

0, то

[. . ,]> 0 ,

-j- [. . .]< 0 ,

Д и<0 й

в точке М0 функция имеет максимум.

слагаемые в квадратной

Заметим,

что

в

этих двух

случаях

второй член

равен

нулю при sin фх =

0, первый же член

равен

нулю

при условии

ф = ф2, где

,

=

А

,

tg ф2

— -g- , причем фх

Ф- ф 2.

За.

Если

D < 0

и

Л > 0 , то

экстремума нет, так как 1) вдоль

луча

ф = фх

имеем

[. . Л = А2cos2ф > 0 ,

{. . ,} > 0 и Д и> 0,

36. Если

Z> < 0

и А<^0, то экстремума нет, потому что 1) на

луче ф = фх Дг^-<0,

2) на луче ф —■ф2 Ди>0.

Зв. Если

D<Z0

и А = 0, то В =h 0.

Из (77) следует равенство

2 Ди = р2 (sin ф(2/3 cos ф+

(7sin ф) + а}.

(79)

Если величина | ф | достаточно мала, то сумма 25 cos ф +

С sin ф

с ним

и Ди,

будет иметь знак 5 , если ф > 0 ; оно

будет иметь

противоположный знак,

если ф < 0 . Следовательно, нет экстре­

мума

и в этом

случае.

Теорема доказана.

П р и м е р

3.

Требуется исследовать на экстремум

функцию и =

= ж3 +

у ъ — 3ху.

Ее частные производные первого порядка и'х = Зх2 — 3у,

производные равны ихх = 6х,

иху = —3, иуу = 6г/. В точке М0

имеем А

=

= С = О, В — —3, D — —9 и экстремума в этой точке нет.

В точке

Мг

имеем А = С = 6, В — —3, D =

27 и функция имеет минимум, равный / (Мх) =

значения разных знаков, а в самой точке и =

0.

П р и м е р 5. и — X*

уі. В точке х„ =

у 0 — 0, где D = 0, функция

имеет минимум, потому что в любой окрестности этой точки и

0 , а в самой

точке и = 0 .

экстремума функции любого

П р и м е ч а в и е. Достаточное условие

числа переменных состоит

в том, что второй дифференциал

этой функции

u ~ f ( x , у)

(80)

направляющей

же служит

кривая,

определяемая уравнением

<р (х, у) = 0 в

плоскости

Оху. Если

линия пересечения этих

поверхностей имеет внутреннюю точку с наименьшей

или

с наи­

большей аппликатой, то имеет место относительный

экстремум.

П р и м е р 1

. Функция и =

ж2 — у2 абсолютного экстремума не имеет,

но при условии у

= 0 она имеет

относительный минимум,

а при

условии

X = 0 она имеет относительный максимум в точке хп у п =

0.

u = f(x, у{х)) и Ф (ж, у (ж)) = 0.

(81)

Дифференцируя первое равенство по х, получим u'x =

fx + 'Уу'.

Эта величина

равна нулю в точке М 0, потому что по

условию

в этой точке

функция (80) ймеет относительный экстремум

/; + / > ' = 0.

(82)

относительно ж, верное, в частности,

при х 0:

Чх + ЪѴ' = о .

(83)

тельный множитель к. А именно умножим равенство (83)

на к

и, сложив

с (82), получим

fx + Wx + (fy + k % )y '=

(84)

Величину

к

выберем из

условия

f ’y + кц>'у = 0.

Тогда из

(84)

следует,

что

/(. + ксрх =

0.

Система

уравнений

(относительно

X, у я к)

f ’x + b ф* = 0,

/^ +

А,ср; =

0,

ср(х, у) = 0

(85)

представляет

необходимое

условие

относительного

экстремума.

В точке М 0 (х 0, у 0), где имеет место

относительный экстремум,

условия

(85) выполнены. Поэтому для нахождения

точек «подо­

искомых

точек.

в левых частях равенств (85)

стоят частные про­

Заметим, что

изводные

функции

Ф(х, у, k) = f(x, у) + кц>(х,

у),

(86)

ф ; 0, Фу = 0, Ф( = 0,

(87)

найдены точки Мк (хк,

ук), «подозрительные» на

экстремум,

4) выяснить наличие или отсутствие экстремума в

точках М к

путем дополнительного

исследования.

ция и = f

(xlt

. .

хп)

и условия связи

(рк (хх,

. . .,

хп) = 0

(к = 1, . .

., т < и ),

то

функция

Лагранжа

имеет вид

Ф = / + ^іфі +

• • • + ктц>т.

(88)

Необходимое условие экстремума представляет система

урав­

нений (относительно п +

т неизвестных х ъ . . .,

хп,

к г, .

. .,

кт)

Ф і,= 0 , ...,

ф ;п = 0,

Фя, = 0, ... ,

Фят = 0.

(89)

П р и м е р

2.

Для

исследования

функции и =

ху

на

экстремум

при

условии X +

у =

а

составим

функцию Лагранжа Ф =

ху +

X (х +

у

— а)

и напишем необходимые условия экстремума

Фі = г/+^ = 0,

Фу = х-{-К — 0, Ф{ = х-\-у —а — 0.