Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

^

а тт

Следовательно, экстремум может быть лишь в точке х0 — у 0 =

—. По смыслу

а2

потому что при

задачи имеем в этой точке относительный максимум и = -г - ,

4

, т. е.

и(х„+ Ах, у 0 + Ау) < и (ж0, уо).

(1)

содержащая приближенные значения величин х и у.

Для нахождения функции у = f

(х)

табличных

данных (1)

недостаточно, но можно поставить вопрос о нахождении функ­

ции,

приближенно

представляющей

/ (х),

причем

это

при­

ближение должно

быть наилучшим

в каком-то смысле,

т. е.

должно удовлетворять

некоторому

условию.

Возможна различ­

ная постановка вопроса о наилучшем приближении

функции.

Рассмотрим

некоторые

из них.

138.

Интерполяционная формула Лагранжа. Дана таблица (1).

Требуется найти многочлен Ln (х) степени п, принимающий в точ­

ках

х 0, х х,

. . ., хп соответственно

значения

у 0,

у 2, . . ., уп\

L n{xk) = yk при к = 0,

1, ... ,

п.

(2)

Геометрическая постановка вопроса

такова — требуется

найти

многочлен, график которого проходит через точки,

координаты

которых заданы таблицей (1).

в

виде

Запишем

искомый

многочлен

L n{x) = c0(x —x1) .. . [х — хп) + сх (х — х0)( х ~ х2) . . . (х — хп) +

+ . . . + С п(х — х0)(х — хг) . . . (х — хп_г),

3

( )

где

с0, сх,

. . ., сп — неопределенные

коэффициенты.

Полагая

в (3) последовательно

х = х0, х

=

х г, . . .,

х = хп,

получим

согласно (2) систему

равенств

иа =

=

+

=

(9)

и'ъ = 2

2 (axé+ 6— ук)= 2а 2 х* -f 2 (га

1)6 — 2

*/* = О,

где индекс суммирования А изменяется от 0 до п.

системы

Введем обозначения для коэффициентов полученной

уравнений 2 Х1 =

Iх , x h 2 х* =

Ы , 2 z/fe == Ы , 2 хкѴп =

tx>ÿl.

Эти постоянные могут быть найдены непосредственно по

исход­

ным данным (1).

системе

Необходимые условия экстремума (9) приводят нас к

двух алгебраических уравнений с известными постоянными

коэф­

фициентами

[X,

х]а -г {х)Ъ=[х, у],

[х]а + (і-{-іі)Ъ=-[у},

(10)

которая называется нормальной

системой

метода

наименьших

квадратов.

а0,

b = Ъ0 — решение системы (10). Можно дока­

Пусть а =

нений и (а0, Ь0). Эту эмпирическую

формулу

можно

улучшить

так, чтобы уменьшилась сумма квадратов уклонений.

Для этого

положим

у = а0х + Ь 0 + сц>(х),

(И)

где с — искомый коэффициент, а ф (х)

— любая

данная функция

(например, х 2 или sin х), удовлетворяющая

условию 2 ф2 (хк) ^

Ф 0. Составим сумму квадратов уклонений функции (11)

П

П

V (с) = 2 К х* + &о+ сф Ы —г/*]2= 2

[ссры + 8*]2-

h=o

h-o

этого составим необходимое

условие экстремума

П

= 2 2 и

ы + гк\ ф ы = о,

h=о

из которого следует, что с = с0 = —

При этом

Z.ф2(**)

у =

а 0х +

&о +

с0 ф (ж).

сумма квадратов

уклонений

меньше

Если

с0 ф. О,

то новая

прежней:

ѵ (с0) •< и (а0, 60). Действительно,

ѵ" =

2 ^

фа (^) > 0 ,

поэтому

V (с)

в точке с0 имеет именно минимум.

Других

точек

экстремума функция

ѵ (с) не имеет, при с =

0 она имеет значе­

ние

V (0)

=

и (а0,

b0).

Отсюда следует

наше утверждение.

Процесс улучшения эмпирической формулы может быть про­

должен

по

рассмотренной

схеме путем

добавления

новых

сла­

гаемых.

140.

О

равномерном

приближе­

нии

функции многочленом. Иногда

целесообразна

постановка вопроса о

наилучшем

приближении в

смысле

равномерного

приближения.

Пусть дана функция

/ (х). Гово­

рят,

что

функция

ф (х)

в

проме­

жутке

[а,

Ъ\

равномерно

прибли­

жает

функцию /

(X) с точностью до

е, если

для

всех

х из

[a,

b]

выпол­

нено

условие |/ (х) —

ф (х) I

<Г е.

Тейлора

Тп (х)

Можно

доказать (см. п. 216), что многочлен

функции / (х) при достаточно большом

п

равномерно

прибли­

жает / (х) в промежутке \х

— х 0| <; г, если

/ (х)

имеет производ­

Ниже сформулирована более сильная теорема

(налагающая

меньшие требования на функцию) о равномерном

приближении

функции многочленом.

в промежутке

Теорема Вейерштрасса. Если f (х) непрерывна

[а, 6], то для любого е

> 0 существует соответствующий много­

член Рп (х) такой,

что для всех х

из [а,

б]

выполняется условие

I f ( x ) - P n(x )\< z .

(12)

Геометрически

условие (12)

означает,

что график функции

Рп (х) не выходит

из

пределов

полосы

(рис. 96)

многочленов

создана П.

Л. Чебышевым *.

Способ

построения

многочленов,

равномерно приближа­

ющих данную непрерывную / (х), был

предложен в частности