Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

промежуток

изменения

аргумента

[0, 1], потому

что любой

промежуток

[а, b] путем линейного

преобразования х

= а +

+ t (b — а) можно свести к промежутку

[0, 1]. Если / (х) непре­

рывна в [0, 1], то можно подобрать по любому е > 0

соответст­

вующее число п такое, что полином Бернштейна * Вп (х)

будет

удовлетворять условию

равномерного

приближения

(12).

Поли­

ном Вп (х) определяется

равенством

П

(13)

П р и м е р .

Найти многочлен В г (х)

для

функции y = sin лх в про­

межутке [0, 1]. По формуле

(13) получаем

2

В2(X)= 2

i2-fe = 2х (1 — х).

Sin "у- C2xk (1“ ХУ

Ф'(*) = /(*),

(1)

П р и м с р і .

Функция / (X) =

2х является, очевидно, производной для

функций

срх = X 2 и ф2 = X 2 + 1.

П р и м е р 2.

Можно доказать, что функция Дирихле (см. и. 7) не яв­

ляется производной ни для какой функции.

О п р е д е л е н и е 1. П е р в о о б р а з н о й ф у н к ц и е й

д л я д а н н о й

ф у н к ц и и

f (х)

(или, короче,

первообраз­

ной данной функции) в п р о м е ж у т к е

(а, Ъ)

называется

функция

ф (х),

производная которой

равна

данной

функции,

ции ф (х) =

X3 имеем ф '

(х) — Зх2 =

/ (х).

ѵ =

И р и м е р 4. Если

точка движется прямолинейно со скоростью

= ѵ0 -f gt,

то величина пути, пройденного точкой за время /, есть первооб-

разная для

ѵ (t) и равна s (t) = s0 +

Л

v (t).

v0t + — gt2, потому что (t) =

ростью V (х) так,

что у' (х) =

ѵ(х),

то у

(х)

есть первообразная

для ѵ (х).

Теорема

\.

Если <р (х) есть

первообразная

для / (х)

в

проме­

жутке (а,

Ъ),

то сумма ф (х) и произвольной постоянной с

Ф (х) = ф (х) + с

(2)

тоже является первообразной / (х)

в

(а,

Ъ).

Действительно, по условию выполнено тождество

(1). Диф­

ференцируя

(2),

получим

Ф' (X) =

[ф (X) +

с]' = ф'(ж) = / (х).

Следовательно,

функция,

имеющая

одну

первообразную,

имеет их

бесчисленное

множество.

ф (х),

Теорема

2.

У функции / (х), имеющей первообразную

нет иных первообразных, кроме тех,

которые содержатся

в фор­

муле (2).

пусть

ф (х)

и

ф (х) — первообразные

/ (х),

Действительно,

поэтому

ф' (х)

=

ф' (х) =

/ (х). В

силу

следствия

из

теоремы

Лагранжа (см. п. 34) имеем ф (х) =

ф (х) + сх в (а,

Ъ).

Следова­

тельно, первообразная

ф (х) может

быть

получена

по

формуле

(2) при

с = сх.

РІз теорем 1 и 2 следует, что функция Ф (х), определяемая

формулой (2), представляет с а м о е

о б щ е е

в ы р а ж е н и е

п е р в о о б р а з н о й

для

/ (х).

О п р е д е л е н и е 2. Н е о п р е д е л е н н ы м и н т е г ­

р а л о м

о т

д а н н о й

ф у н к ц и и

f (х)

называется

самое

общее выражение для первообразной этой

функции.

Он обозна­

(4)

т. е. производная от

неопределенного интеграла

по

переменной

интегрирования равна

подынтегральной функции. Поэтому диф­

ференциал от интеграла равен подынтегральному

выражению.

Вышеизложенное позволяет сформулировать следующие д в а

п р а в и л а . 1. Для

получения неопределенного

интеграла от

I*/ (и (х)) du (х) = J / (и (X)) и' (х) dx = ф(и (х)) + с.

(7)

Действительно, дифференцируя правую часть (7) по х,

полу­

чим [ср (и (х)) +

с]' = cp'и-и'х =

f (и) и'х — подынтегральную функ­

цию из левой части (7), так как du (х) = и' (х) dx.

оста­

Следовательно, каждая из двенадцати формул таблицы

нется верной, если в ней заменить

х любой

дифференцируемой

функцией и (х)

с соответствующей

областью

изменения.

В частности,

обобщением

формулы 2 является формула 2°:

Ç [и (х)]т du (х) = —

[и (х)]т+1 + с при т Ф

J

т Т 1

Пример 3.

J tg x dx = ^

d cos x

— ln I COS X l + C.

cos x

Результат получен по обобщенной формуле 3 при и == cos х.

Пример

4.

^ ctg x dx =

Г d sin x

+ c .

\

—;------ = ln s im

J

sm x

Пример

5.

J 2xe~x2dx =

— J e~x*d ( — x2)—

c.