Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

в виде суммы соответствующих интегралов, предварительно раз­ ложив подынтегральную функцию на слагаемые.

143. Способ подстановки. Способ подстановки, или способ за­ мены переменной, есть один из сильнейших приемов интегриро­

так как % • t'x — 1 (см. п. 29). Производные получились равными. Поэтому, в силу следствия из теоремы Лагранжа (см. п. 34), обе части равенства (8) могут отличаться лишь постоянным слагаемым. Именно в этом смысле надо понимать равенство (8). Заметим, что в этом рассуждении условия теоремы использовались следующим образом: непрерывность / (х), ф (t) и ф' (і) обеспечивает существо­ вание интегралов, монотонность непрерывной х = ф (t) обеспе­ чивает существование обратной функции t (х) (см. п. 25). Тео­ рема доказана.

Примечания к способу подстановки. 1. Иногда вместо подста­ новки X = ф (t) лучше выполнить замену переменной вида t = = ф (х). 2. Вопрос о выборе подстановки решается на. основе сле­ дующего положения: целесообразна та подстановка, которая при­ водит к интегралу более простому в вычислительном отношении, чем исходный интеграл.

П р и м е р 2. ^ sin3 X d x = — J (1 — cos2 x) d cos x = cos3 x —cos z-f-c.

Фактически мы здесь пользуемся подстановкой t = cos х, хотя резуль­ тат получен прямо по табличной формуле 2°.

144, Способ интегрирования по частям. В основе этого способа лежит тождество относительно х

которое имеет место при любых непрерывно дифференцируемых

Ч ' - u v

Применение способа интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда в правой части (9) интеграл окажется более простым в вычислительном отношении, чем исходный интеграл. Этот способ интегрирования можно рекомендовать, например, для вычисления интегралов вида

JРп(х) Inxdx, ^ Рп(х)еах dx, j P„(x)sinxdx,

где Рп (X) — полином степени п от х. Здесь во всех случаях, кроме первого, надо принять и = Рп (х).

Иногда полезно повторное интегрирование по частям.

— I (2xJr ÿ)ex dx = (pflAr xAr \)ex -\-c.

на еах равен произведению того же вида J Рп (х) eaxdx = Q (х) еах -f-

+ с, где Q (х) — многочлен степени п, возможно, не совпадающий с Рп {х). К этому результату можно прийти путем повторного при­ менения формулы интегрирования по чартям.

145. Способ неопределенных коэффициентов. Этот способ интегрирования может быть рекомендован, когда известна форма ответа и остается найти лишь значения параметров этой формы. Тогда искомые величины могут быть найдены путем дифференци­ рования и решения системы алгебраических уравнений первой степени.

Покажем, как применяется этот метод на примере 3 и. 144. Напишем ответ с неопределенными коэффициентами а, Ъ и с

J (х2-f 2>х-f- 2) е*dx = (ах2+ Ьх~\-с) ех + С.

Дифференцируя обе части по х, получим после умножения на е~х следующее тождество: х2 + Ъх + 2 = ах2 + (2а + Ъ) х + Ъ + с. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, придем к системе уравнений: а = 1, 2а + b — 3, b + с = 2, из которой следует, что а = b = с = 1. Остается подставить найденные зна­ чения коэффициентов в исходное равенство.

§ 24. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Выше рассмотрены общие способы интегрирования функций, причем не было указано, какой из методов предпочтительнее дру­ гого при вычислении данного интеграла. Теперь мы приступим

к систематическому рассмотрению способов интегрирования неко­ торых классов элементарных функций.

146.Интегрирование рациональных функций. Интегрирование

целой рациональной функции / (х) = а0 + яре + . . . + апхп выполняется путем разбиения интеграла на слагаемые; в резуль­ тате интегрирования / (х) получится многочлен степени п + 1.

теореме 1 п. 57) выделить целую рациональную часть и предста­ вить исходную дробь в виде суммы целой рациональной функции P (X) и правильной рациональной дроби:

Следовательно, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию целой рациональной функции и правильной рациональной дроби:

В свою очередь интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей, потому что в силу теоремы 3 п. 57 всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей.

суммы получим окончательно

J = ji< ( - J ? p [ - j ) d x = l n( x 2+ l ) - l n x + c = ln (* + 4)