Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

которое позволяет последовательно вычислить J mдля любого т.

В. И н т е г р и р о в а н и е п р а в и л ь н ы х д р о б е й . Для вычисления интеграла от правильной рациональной дроби надо эту дробь разложить на простейшие согласно теореме 3 п. 57 и найти интеграл от полученной суммы простых дробей.

Следовательно, интеграл от любой правильной рациональной дроби есть функция элементарная, потому что представляет сумму элементарных функций, которые получаются в результате инте­

Условимся в следующем — будем называть функцию интегри­ руемой в элементарных функциях, если ее первообразная есть функция элементарная. Выше установлено, что всякая рациональ­ ная функция имеет первообразную в классе элементарных функ­ ций. Этот важный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Всякая рациональная функция интегрируема в эле­ ментарных функциях.

П р и м е ч а н и е . Всякая элементарная функция, как из­ вестно, непрерывна там, где она определена. Поэтому она имеет первообразную. Но не всегда эта первообразная принадлежит классу элементарных функций. Например, интегралы от элемен­ тарных функций

мер, с помощью рядов.Итак,интегрирование элементарной функ­ ции может привести к неэлементарной функции. Заметим, что опе­ рация дифференцирования элементарной функции не выводит из класса элементарных функций.

147. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Введем обозначение рациональной функции нескольких пере­ менных, т. е. функции, над аргументами которой выполняются

целые числа (они могут быть и отрицательными), с помощью под­ становки x = tm, где т — наименьшее кратное чисел | (7і Ь ' - * *» I qn |, приводится к интегралу от рациональной функции относи­ тельно t.

и поэтому интегрируема в элементарных функциях. Переход от t

гочлен степени n, можно вычислить способом неопределенных коэффициентов. Представим ответ в форме

/ ІП = Qn-i (х) V ах2+ Ъх + с + К dx

Y аж2+ Ъх+ с ’

где Qn_ ! (X) — многочлен степени п — 1. Неопределенными яв­ ляются п коэффициентов Qn_ 1 и X. Интеграл / ш может быть пред­ ставлен в указанной форме, потому что в результате дифференци­ рования и сравнения коэффициентов получается система, имеющая единственное решение относительно указанных коэффициентов. Покажем это на примере.

Дифференцируя это равенство, получим

ров имеем окончательный результат

JVх%+ 1 dx = ~ К-т2+ 1 + -|- In (■£+ V x iJr і ) + с .

148.Интегрирование некоторых тригонометрических выраже>

ний.

Из подстановки t = tg у следует, что х — 2arctg і и dx =

где R 2 (t) — рациональная функция t. Теорема доказана. Следовательно, интеграл вида / ІѴесть функция элементарная.

\COS X

J sin (1 - * )

Применение универсальной подстановки t — tg у часто свя­

зано с громоздкими вычислениями. В некоторых случаях интеграл может быть вычислен проще — как указано в теоремах 2, 3 и 4.

Теорема 2. Если подынтегральная функция в / ІѴ нечетна отно­ сительно cos X, т. е. R (и, —ѵ) = —R (и, ѵ), то подстановка t = sin X приводит / ІѴ к интегралу от рациональной функции относительно t.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию функция — R (и, ѵ) четна

относительно ѵ и поэтому содержит ѵ = cos х лишь в четных сте­ пенях. Имеем V2 = 1 — sin2х = 1 — і2. Поэтому

/ , ѵ ----- J ^ " Г з x ° S ^ cos х ~ ^ ж) ^ s^n х ~ § (^) dt,

m. e. если подынтегральная функция в J IV нечетна относительно sin x, то подстановка t = cos х приводит J iy к интегралу от ра­