ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 231
Скачиваний: 2
Поскольку sin X = cos X tg x, то подынтегральная функция ра циональна относительно cos а; и tg ж и поэтому согласно условию содержит cos х лишь в четных степенях. Следовательно, эта функ ция является рациональной функцией только tg х (так как cos2 х =
= l + tggæ ) |
т' е‘ |
^ |
(s*n х ' cos |
|
= |
(tg х)• |
Поэтому имеем |
|
Л ѵ = j R i (tg *) dx == j |
R 4 « ) |
|
= |
J /?5 (0 A . |
|
|||
П р и м е р |
5. |
/ = |
[ s in 2xdx = |
|2 |
s i n s cos жйа: = |
|
||
|
t |
|
i |
dt |
|
|
t |
— cos2 г -}- c. |
|
>Л1 + г2 |
|
t + i2 |
|
c= |
|||
|
|
|
l + <2 |
|
||||
П р и м е ч а н и е . |
Интеграл |
J |
можно вычислить несколькими другими |
|||||
путями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J —2I s in z d |
sin .r = |
sin 2 x-\-c, |
|
|||
J = — 2 | cos xd cos X= —cos2 ж+ c,
1 |
Î sin 2xd (2x) — — —cos 2ж + c. |
2 |
Интеграл от одной и той же функции допускает различные представления, но они отличаются лишь постоянными слагаемыми.
V. Интеграл вида / ѵ = J sinp х cos9 х dx, где р и q — целые
числа, есть частный случай интеграла вида / ІѴ. Поэтому к нему относятся все четыре теоремы об интегралах вида / ІѴ, и мы прихо
дим к |
следующему |
заключению. |
Рекомендуется подстановка: |
|||||||
t = sin X, |
если |
q — нечетное число, |
t = cos х, если р |
— нечетное |
||||||
число, |
t |
tg X, |
если р + |
J |
q — четное |
число. |
j sin ax |
|
||
VI. |
Интегралы |
вида |
sin ах cos |
bxdx, |
sin bx dx, |
|||||
j cos ax cos bx dx при любых а я b приводятся к алгебраической
сумме табличных интегралов путем представления произведения тригонометрических функций соответствующей суммой по извест ным формулам тригонометрии (см. пример 8 п. 142).
149. Интегрирование некоторых трансцендентных функций
Вспомним, что трансцендентной называется всякая неалгебраиче ская функция (см. п. 9).
VII. Интеграл вида / ѵп = |
(ах) dx, где R — знак рацио |
нальной функции, вычисляется путем замены переменной ах = t, которая приводит к интегралу от рациональной функции относи
тельно t: / ѵп = |
R (0 у dt. |
п Р и м е Р 6- J Т+І5Г = J ï + 7 ? • 7 d* = arctgÉ* + c.
VIII. Интеграл вида / ѵш = J P (In x) dx, где P — знак много
члена относительно своего аргумента, вычисляется путем замены переменной In х — t. При этом получим интеграл, рассмотренный
вп. 144.
150.Задачи, приводящие кпонятию неопределенного интеграла.
1. З а д а ч а о р а д и о а к т и в н о м р а с п а д е . Дадим математическое описание процесса распада радиоактивного ве щества. Обозначим через x (і) количество этого вещества, еще не распавшегося к моменту времени і, через х 0 — начальное его количество, отнесенное к моменту времени і0 = 0. За промежуток
времени (i, t + Ai) количество |
распавшегося вещества опреде |
ляется приближенно формулой |
|
x (і\ — x (i + |
Aі) ßz (t) Ai |
или Аж = —f>x (t) At, где ß — некоторая положительная постоян ная. После деления на Ai и перехода к пределу при стремлении Ai к нулю получим соотношение
x |
-ßz, |
( 8) |
которому удовлетворяет искомая величина х (і). Уравнение (8) представляет пример дифференциального уравнения первого по-
dx (t)
рядка. Из (8) следует тождество — = —ß dt, интегрируя обе
X \ 1 )
части которого по і, получим ln х (і) = ln с — ßi. Отсюда следует, что
x(t) = ce~ß*. |
(9) |
Функция (9) удовлетворяет уравнению (8) при любом значении постоянной с; она представляет общее решение уравнения (8).
Из условия x = х 0при і = 0 найдем с помощью (9), что с = х 0.' Следовательно, окончательное решение задачи дается формулой
x (і) — ж0е_Рі.
Периодом полураспада радиоактивного вещества называется время Т, за которое его количество уменьшится вдвое. Поэтому
имеем |
1 х 0 = х 0е~&т. Отсюда следует, что Т = 1 In 2. |
|
2. |
Х и м и ч е с к и е р е а к ц и и |
п е р в о г о п о р я д к а . |
Основным законом химической кинетики |
является закон действу |
|
ющих масс, заключающийся в том, что скорость, с которой веще ство вступает в реакцию, пропорциональна концентрации этого вещества (т. е. числу грамм-молекул этого вещества в единице
объема).
Согласно закону для мономолекулярных реакций или так назы ваемых химических реакций первого порядка имеет место
уравнение |
|
х' = к (а — х), |
(Ю) |
где |
а — количество вещества |
а, имевшееся к началу реакции; |
X {t) |
— количество вещества а, |
вступившее в реакцию к моменту |
времени t, отсчитываемому от начала реакции. |
||
В ы в о д у р а в н е н и я |
(10). Для рассматриваемых реак |
|
ции можно принять приближенно, что количество вещества Ах, вступившее в реакцию в промежуток времени (t, t -г At), при ма
лом |
At пропорционально At |
и величине а — х, т. е. |
количеству |
|||
вещества, |
которое |
к моменту |
времени не вступило |
в |
реакцию: |
|
Ах |
= к (а |
— х) At. |
Разделим |
это равенство на At |
и, |
перейдя |
к пределу при стремлении At к нулю, получим дифференциальное уравнение (10).
Интегрируем уравнение (10) при начальном условии х = 0 при t= 0. Для этого разделим обе части (10) на а. — х и умножим
на dt, получим равенство g dx |
= |
к dt, интегрируя которое прихо |
||
дим к |
соотношению —In (а |
— х) |
= kt — In с. Отсюда следует, |
|
что X |
(t) |
= а — се~ы. |
0, поэтому с = а и |
|
При |
t = 0 имеем а — с = |
|||
x(t) — а (1 — e~kt).
3. Х и м и ч е с к и е р е а к ц и и в т о р о г о п о р я д к а . Для бимолекулярной реакции или так называемой химической реакции второго порядка согласно закону действующих масс имеет место соотношение
х' ~ к (а — х) (b — х). |
(11) |
В этом случае в растворе имеются два вещества а и р , |
количества |
которых к началу реакции (т. е. к моменту времени t |
= 0), выра |
женные в грамм-молекулах, соответственно равны а и Ь. Предпола гается, что к моменту времени t в реакцию вступают равные коли чества обоих веществ, которые обозначим х (t); количества остав шихся веществ будут а — х и b — х соответственно. Согласно закону действующих масс скорость течения реакции пропорцио нальна произведению этих оставшихся количеств, т. е. х (t) удо
влетворяет уравнению (И). |
х = 0 при |
|||
t = |
Находим |
решение уравнения (11) при условии |
||
0. |
Для |
этого разделим (11) на (а — х) (Ь — х), |
умножим на |
|
dt |
и, |
интегрируя, получим |
|
|
Если а =h b, то разлагаем подынтегральную функцию на про стейшие и, выполнив операцию интегрирования, получим
|
1 |
, |
Ъ— х |
kt -р с. |
|
т----- ІИ ------ |
|||
|
о— а |
а— X |
|
|
Следовательно, |
е{Ь |
a)kt. |
|
|
4. |
З а д а ч а о к о л и ч е с т в е с о л и в р а с т в о р е . |
|||
В сосуде емкостью а литров находится Ъкг соли, которая полностью растворена, и раствор тщательно перемешан. Каждую минуту в раствор поступает с литров растворителя и удаляется с литров раствора (при этом раствор все время перемешивается так, что кон центрация соли во всем сосуде одинакова). Требуется найти закон изменения количества соли х (t) в растворе.
Р е ш е н и е . В промежуток времени (t, t + dt) из сосуда будет удалено cdt литров раствора; это количество раствора заменяется растворителем. Найдем количество соли, которое при этом будет удалено из сосуда. Концентрация соли в растворе в момент вре
мени t равна |
кг/л. Следовательно, в объеме cdt содержится |
количество соли, |
равное dx — — cdt кг. Знак минус указывает |
на убывание соли в растворе. Таким образом, мы пришли к урав нению
|
** = |
- ! * |
• |
|
(12) |
Требуется найти его решение |
при |
условии х = Ъ при |
t = 0. |
||
Из (12) последовательно выводим |
|
|
|||
dx |
-----dt, |
Inx — |
et |
|
|
X |
a |
|
|||
|
|
|
|
||
Здесь cx = ln b в силу начального условия. Поэтому имеем окон чательно
Глава IX
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Здесь речь идет о важнейшем понятии математики; о мощном методе решения многих задач естествознания, а также о способе представления многих величин, встречающихся в физике, химии, математике и других науках.
§25. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
151.Задачи, приводящие к определенному интегралу. К поня тию определенного интеграла приводят многие задачи. Вот неко торые из них.
1.Задача о массе прямолинейного стержня. Рассмотрим очень тонкий стержень длиной I, масса которого распределена неравно мерно с плотностью р (х). Требуется найти массу всего стержня.
Уточним постановку вопроса. Под очень тонким стержнем мы будем понимать отрезок прямой, ограниченный точками а и Ъ данной числовой оси. Слово «масса» здесь понимается в смысле количества вещества. Под плотностью вещества стержня в данной
точке понимается предел средней плотности рср = |
, где Д т — |
||
масса отрезка |
[х, х + Ах], |
при стремлении Ах к нулю. |
|
Р е ш е н и е |
з а д а ч и . |
(Следует обратить особое внимание |
|
на метод решения задачи.) 1) Разобьем весь стержень по длине на п
равных или неравных частей точками деления |
х 1( х2, . . ., хп_х |
|||
при |
условии |
а = х0 < х 1< х 2 <С • • • |
<C.xk < . |
. . <С |
< хп_ 1 |
<іхп = |
Ъи положим Axk = xk — xk_ х при к = 1 ,2 ,. |
. ., п. |
|
Наибольшую из этих разностей будем впредь обозначать кп.
2) Желая найти хотя бы приближенно массу стержня, предполо жим, что в границах каждого элемента плотность стержня посто
