Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Выбрав произвольную нормальную последовательность раз­ биений {ô„} и составив для каждого разбиения ô„ соответствующую интегральную сумму ап, получим последовательность сумм {<?„}. Для данной последовательности разбиений {б„} можно получить разные последовательности сумм {ст„} в зависимости от того, какие точки I выбраны.

О п р е д е л е н и е . Функция / (х) называется интегрируемой в промежутке [а, Ь], если для каждой нормальной последователь­ ности разбиений {бл} соответствующая последовательность ин­ тегральных сумм {а„} имеет конечный предел, не зависящий от способа деления промежутка [а, б] на элементы и от выбора точек

Этот общий предел последовательности {сг„}, соответствующий нормальным последовательностям разбиений, называют определен­

Числа а и Ъназывают пределами интегрирования, х — переменной интегрирования, / (х) — подынтегральной функцией, / (х) dx — подынтегральным выражением.

Ввиду сложности введенных понятий обратим внимание на следующее.

1.В определении речь идет о нормальной последовательности разбиений, когда не только п -ѵ оо, но и наибольшая из длин эле­ ментарных промежутков стремится к нулю. При этом не исклю­ чено, что разбиению бл+1 соответствуют точки деления х г, . . ., хп, не входящие в число точек деления в разбиении 8п.

2.Определенный предел есть число, именно предел любой из последовательностей интегральных сумм {сг„}, которая соответ­ ствует нормальной последовательности разбиений и какому-либо выбору точек g.

3.Не всякая функция интегрируема. Например, не интегри­ руема в смысле Римана функция Дирихле, равная нулю в ирра­ циональных точках промежутка [0, 1] и единице в его рациональ­ ных точках. Действительно, в этом случае при любом разбиении интегральную сумму можно сделать нулем или единицей путем выбора чисел g.

Теорема *. Функция / (х) интегрируема в промежутке \а, Ь], если выполнено любое из следующих условий'.

вэтом промежутке лишь конечное число разрывов первого рода, или

3)/ (х) определена и монотонна в замкнутом промежутке

[а, 6].

4. Интегрируемая в промежутке [а, Ь] функция необходимо ограничена в нем. Действительно, если функция неограничена в [а, Ь], то при любом разбиении есть элементарный промежуток, где эта функция неограничена. Тогда можно построить неограни­ ченную последовательность интегральных сумм, что противоречит условию интегрируемости. *

5. Определенных! интеграл допускает различное физическое

Формула (8) носит название формулы Ньютона — Лейбница

и формулируется так: определенный интеграл в пределах от а до b равен приращению первообразной для подынтегральной функции при переходе от а к Ь; при этом в качестве первообразной может бытъ взята любая из множества первообразных.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Разобьем промежуток [а, è] произ­ вольно на п элементарных частей а < іхг < . . . <Lxn_ x <Lb. Соста­ вим приращения функции ф (х) в каждом из элементарных проме­ жутков и преобразуем их сначала по формуле Лагранжа (см. п. 34), а затем с помощью формулы ф' (х) = / (х)\

ф( * і ) — ф (а) = Ф * (сД (хг — a) = f (щ) Ьхл,

ф(х2) — ф (жД = ф' (с2) (х2— жД = / (с2) Аж2,

ф (Ь) — Ф = Ф* (сД (Ь— ж„.Д = / (сД Ьхп.

* См.: С. Б а н а х . Дифференциальное н интегральное исчисление.