ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 234
Скачиваний: 2
Суммируя эти равенства, получим
П |
|
ф(&) —Ф (a )-= h f(c k)/±xk. |
(9) |
Левая часть равенства (9) есть постоянная, не зависящая от способа деления промежутка на части. Его правая часть есть ин
тегральная сумма оп для |
функции / (х) в промежутке [a, fe] при |
||
некотором специальном |
выборе чисел |
\ к в элементарных проме |
|
жутках. Именно в качестве %к взято |
значение ск из |
промежутка |
|
(xk - i , xk)- По условию функция / (х) |
интегрируема |
в [а, Ь], по |
|
этому предел интегральной суммы при Хп -> 0 существует и не зави
сит от выбора чисел |
Поэтому в результате перехода в равенстве |
|||
(9) к пределу при |
стремлении |
Хп к |
нулю получим формулу (8) |
|
|
|
П |
|
Ь х к = J / {х) dx. |
ф (Ь) — ф (а) = П т |
2 |
/ Ы |
||
|
Хп -*0 |
h = l |
|
|
Значение доказанной теоремы состоит не только в том, что она дает удобное правило вычисления определенного интеграла. Кроме того, она устанавливает связь между определенным интегралом и неопределенным интегралом (точнее, первообразной функцией). Остановимся на этом подробнее.
Правило вычисления определенного интеграла, согласно фор муле Ньютона — Лейбница, заключается в выполнении следу ющих действий: 1) найдем первообразную ф (х) для подынтеграль ной функции, 2) вычислим приращение ф (х) при переходе от а к Ъ,
т. е. выполним так называемую |
д в о й н у ю п о д с т а н о в к у |
b |
|
ф(*)| ==ф(*)—ф(«)- |
|
а |
|
Согласно (8) получим |
|
b |
h |
J / (х) dx —ф (х) J = ф (b) — ф (а). |
|
а |
а |
Заметим, что в формуле (8) можно взять любую из первообраз ных для / (X), потому что двойная подстановка дает результат, ко торый не зависит от с:
ь
[ф (х) + с] I= Ф (Ь) + с — ф (а) — с = ф (Ь) — ф (а).
а
Ьb
II р и м е р 1. J е* dz = е* | = е&—
а |
а |
|
Ъ |
b |
|
П р и м е р 2. J2xdx —хЪ | = Ь2 — я2 . |
(10) |
|
аа
Связь между определенным и неопределенным интегралами иллюстрируем геометрически на примере 2. Левая часть формулы (10) равна площади трапеции, заштрихованной на рис. 98. Неопре деленный интеграл х 2 + с геометрически представляет семейство парабол у = ж2 + с, изображенных на рис. 99 при различных зна чениях с. Правая часть (10) есть приращение ординаты любой из этих парабол при переходе от а к Ъ. Равенство (10), таким образом, показывает численное равенство двух величин — площади трапе ции (см. рис. 98) и приращения ординаты параболы (см. рис. 99).
154. Свойства определенного интеграла. Все свойства дока зываются на основании определения понятия определенного инте грала в предположении, что речь идет о функциях, интегрируемых в соответствующих промежутках. *
1°. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
а
J / (х) dx = 0.
. а
2°. При перемене пределов интегрирования определенный инте грал меняет лишь знак:
a |
b |
J / (х) dx = — J / (х) dx.
bа
Всущности свойства 1° и 2° суть дополнения к определению
понятия определенного интеграла, данному в'п. |
152 для |
случая |
|
a <Cb, |
т. е. распространение этого понятия на |
случаи |
а = h |
и а |
Ъ. Важно, что эти дополнения не противоречат определению. |
||
Так, в случае а = Ъ все kxk (из определения) получатся рав
* При изучении сокращенного курса высшей математики свойства опре деленного интеграла можно вывести с помощью формулы (8).
ными нулю. В случае а Д> b (нумерация точек деления идет попрежнему от а к Ь) получим Ахк < 0 и интегральную сумму, кото рая будет лишь знаком отличаться от интегральной суммы, соот ветствующей случаю а < b (при этом под кпнадо понимать наиболь шее из чисел I ЛяД, . . ., | Àæ„|). Поэтому и пределы соответству ющих интегральных сумм будут отличаться лишь знаком.
3°. Величина определенного интеграла не зависит от названия (обозначения)переменной интегрирования, что прямо следует из определения (см. п. 152)
ьь
J / (х) dx = j / (t) dt.
a a
4°. Постоянный множитель можно вынести за знак определен ного интеграла:
ъb
j* cf (х) dx = с j" / (X) dx.
a |
a |
|
Действительно, постоянный множитель можно вынести за знак |
||
предела. Поэтому, перейдя к пределу при А, „ О |
в равенстве |
|
'£ cfkAxk — c'2i fkAxk, мы |
получ&м доказываемое |
предложение. |
5°. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен соответствующей сумме интегралов от слагаемых:
b |
b |
b |
j" {i + g)dx= |
§ f d x + |
j gdx. |
a |
a |
a |
Действительно, предел суммы двух переменных (имеющих пределы) равен сумме их пределов. Поэтому, перейдя к пределу
прикп -> 0 в сумме £ (Д + |
gk) Axk = '2ifkAxk - У gkAxk*, мы полу |
чим доказываемое соотношение между интегралами. |
|
6°. Если промежуток [я, |
b] разбит точкой с на части, то инте |
грал по всему промежутку равен сумме интегралов по его частям:
b |
с |
b |
|
j fd x — J/ dx -f |
j / dx. |
(11) |
|
a |
a |
c |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно интегрируемости j(x) вели чина определенного интеграла не зависит от способа деления про межутка интегрирования на части. Примем точку с за неиз менную точку деления [я, Ъ] в каждой из интегральных сумм оп, получим
Ь [ с b \ с ь
|
\f{x)dx = lim ( 2 |
fk àxk+ 2 |
Ik bxk J = f fdx + |
j fdx*. |
a |
*7,-0 V « |
c |
l a |
c |
* Смысл обозначений ясен сам собой.
Заметим, что формула (11) верна при любом расположении точек а, Ь, с на числовой оси. Например, в случае а < b <<с
сb с
согласно доказанному имеем |
J ^ |
1 + |
f- Для получения фор- |
о |
|
a |
b |
мулы (11) надо переменить пределы у последнего слагаемого (одно временно переменив его знак) и перенести ото слагаемое в другую часть равенства.
7°а. Интеграл от нечетной функции в симметричных пределах интегрирования равен нулю:
J/ (х) dx = 0.
-а
Действительно, разобьем [—а, а] на симметричные относи тельно начала элементы и выберем в них числа \ k тоже симметрично; тогда сумма
f{lk)Axk+ f { - \ k)Axk |
(12) |
будет равна нулю, так как / (—х) = —f(x). Вся интегральная сумма состоит из таких пар, поэтому оп = 0 и lim ап = 0.
7°б. Если / (х) четна в промежутке [—а, а], то
а |
а |
J / (х) dx = |
2 J / (х) dx. |
- а |
0 |
Действительно, рассуждая так же, как в случае 7°а, получим в силу четности подынтегральной функции, что сумма (12) равна
2/ (E,k)Axk и оп = |
2У / (lk) Axk. Отсюда прямо следует свойство 7°б. |
||||||
8°а. |
|
о |
и положительна в |
промежутке |
|||
Если / (х) |
непрерывна |
||||||
а ^ X ^ |
Ъ, то и интеграл omf(x) в пределах от а до b положителен: |
||||||
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
j* f(x)dx > |
0. |
|
(13) |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
Действительно, |
согласно теореме Вейерштрасса |
(см. п. 24), |
|||||
в промежутке [a, |
b] существует точка х 0, в |
которой функция / (х) |
|||||
достигает наименьшего значения. Поэтому |
выполнено неравенство |
||||||
/ (х) ^ |
/ іх о) > 0 |
для всех X из |
[а, |
Ь]. Отсюда следует, что инте |
|||
гральные суммы |
для f (х) и / (а:о) |
удовлетворяют |
соотношению |
||||
2 |
/ (®о) Д«й= /( « о) (Ь — а) > 0 . Перейдя в этом неравенстве |
||||||
к пределу при |
-►0, получим неравенство (13) |
|
|||||
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
j |
/ (х) dx Sa f (x0) (b — a )> 0. |
|
|||
a
8°. Если а <i b, функции f (x) |
и |
g (x) |
непрерывны в [а, Ь\ |
|
и удовлетворяют соотношению / |
(х) |
g (х), |
то |
|
b |
|
b |
|
|
j f ( x ) d x > |
j |
g(x)dx, |
(14) |
|
aa
T.e. неравенства можно интегрировать, причем большей функции
отвечает больший интеграл. Действительно, функция со = |
/ — g > |
||||
|
|
b |
b |
|
b |
> 0 |
в [a, Ъ]. Поэтому в силу (13) имеем J a>dx = |
j / d r — j |
g dx |
||
O |
|
a |
a |
a |
|
0. Отсюда следует формула (14). |
|
[а, |
Ъ] функ |
||
Можно доказать, что если а < |
b и непрерывные в |
||||
ции |
/ (х) и g (х) удовлетворяют |
соотношению |
/ (х) |
>= g (х), то |
|
ьь
j f dxЗг J g dx. |
. |
a a
9°. Теорема (об оценке интеграла). Если a <lb,mo абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подынтегральной функции:
|
|
|
|
и |
и |
|
|
|
|
|
|
Jf (x)dx |
< JI / |
(x) ] dx. |
(15) |
Действительно, если интегрировать в промежутке [a, b] |
нера |
||||||
венство |
— |/ | < / |
< |
|/|, то в |
силу 8° получим |
|
||
. b |
|
b |
|
b |
|
|
|
—J(/ I dx < |
J/ dx < |
j"[ / 1dx. |
Отсюда |
следует неравенство |
(15). |
||
a |
|
a |
|
a |
|
|
|
Пример |
J. |
Ç cos x dx < 2 ‘ 10-11, потому что при 1 0 < 2 < 3 0 |
имеем |
||||
|
|
J |
1+*12 |
|
|
|
|
cos2 x |
|
1 |
<10-12. |
|
|
|
|
1+ЖІ2 |
1 + 1012 |
|
|
|
|||
10°а. Теорема (о среднем значении в интегральном исчислении).
Если / {х) непрерывна в [а, 6], то интеграл от / (х) в пределах от а до b равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке с из [а, 5] на длину промежутка интегрирова
ния:
ь
j / (x)dx~-f (с) (b — а). |
(16) |
a
Действительно, |
в силу теоремы |
Вейерштрасса (см. п. 24), |
|
в промежутке [а, |
Ь\ функция |
/ (х) имеет наименьшее значение р |
|
и наибольшее значение q, так |
что р < |
/ (x) < q. Интегрируя это |
|
неравенство по ж в пределах от а до Ъ, в соответствии со свойством 8° получим (если а <ib)
|
ь |
, ъ |
|
p(b — a) |
Jf(x)dx ^ |
q Jf (z)dx |
|
|
a |
a |
|
и после деления на b |
а получим р |
р «S q, |
где |
|
ь |
|
|
|
1 |
dx. |
(17) |
|
|
Здесь р (в силу теоремы Коши п. 24) есть одно из значений функ
ции / (я) в промежутке [а, |
Ы; поэтому в la, |
b] существует точка с |
|||||||||||
|
|
|
|
такая, |
что |
р = / (с). |
Теперь |
из |
|||||
|
|
|
|
(17) непосредственно |
следует фор |
||||||||
|
|
|
|
мула (16). |
Теорема |
доказана при |
|||||||
|
|
|
|
а < |
Ъ. В |
случае |
а > b теорема |
||||||
|
|
|
|
доказывается аналогично. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
Теорема |
о |
среднем имеет про |
|||||||
|
|
|
|
стое геометрическое истолкование. |
|||||||||
|
|
|
|
Если обе части (16) рассматривать |
|||||||||
|
|
|
|
как |
площади |
(рис. |
100), то со |
||||||
|
|
|
|
гласно |
(16) |
криволинейная |
тра |
||||||
|
|
|
|
пеция |
АВЪа равновелика |
прямо |
|||||||
|
|
|
|
угольнику |
|
с основанием, |
равным |
||||||
П о н я т и е |
|
|
|
b — а, |
и |
высотой, |
равной /(с), |
||||||
с р е д н е г о |
з н а ч е н и я |
|
ф у н к ц и и |
||||||||||
в п р о м е ж у т к е . |
Под средним значением п чисел у х, |
|
Уп |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
уп). |
Но что |
понимать |
под |
||||
понимают число у = — (ух |
|
|
|||||||||||
средним значением / (ж) в |
[а, |
6]? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для ответа на этот вопрос разобьем [a, |
b] на п |
равных частей |
|||||||||||
длиною Дж - b — |
а ■Допустим, что функция / (X) в каждом элемен |
||||||||||||
тарном промежутке |
[xk_ |
хк] |
постоянна |
и равна / (жД. Среднее |
|||||||||
значение чисел / |
(жх), . . ., |
/ |
(хп) равно |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уп = |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А=1 |
|
|
|
А=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Определим среднее значение функции f (х) в промежутке [a, b] как предел уп при стремлении п к бесконечности:
ь |
|
уср = lim уп = -гЛ— Ç/ (ж) dx. |
(18) |
Л-*ОО U а V |
|
а |
|
Заметим, что в формуле (16) величина / (с) есть среднее значе ние / (ж) в промежутке [а, 6].
