ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 145
Скачиваний: 2
концентрация |
будет |
равна с2 = сх — ксг ■— = сг |
= |
|
= с0^ 1 — ^ “) 2 • |
К концу последнего |
элементарного промежутка |
||
времени будем иметь |
сп — сп_1- к с п_1 |
-^- — с0 ^ 1 -— |
. |
|
По условию задачи скорость концентрации убывает не скач ками, а непрерывно. Поэтому для получения точного ответа надо устремить п к бесконечности; при этом длительность каждого
элементарного промежутка времени ^ устремится к нулю. Таким
образом, получим
с (t) = lim |
cn = с0 |
|
|
п-*- со |
|
|
|
|
kt |
-kt |
|
= с0 П т |
о—kt |
|
|
п-> СО |
|
|
|
Окончательный ответ |
дает функция |
c(t) — c0e~kt, |
представля |
ющая решение дифференциального уравнения (20). |
встречается |
||
Этот же закон (показательный, с основанием е) |
|||
в ряде других процессов и явлений. Например, при изучении рас пада радия, размножения бактерий, изменения атмосферного давле ния с высотой и др. В финансовом деле — это закон сложных про центов.
19. Сравнение бесконечно малых. Рассмотрим две бесконечно малые при х -> а функции а (х) и ß (х) и их отношение. Пусть существует предел этого отношения при стремлении х к а. Воз можны следующие случаи.
1.Если lim ~ = с, где с — отличное от нуля число, то беско
нечно малые а и ß называются бесконечно малыми одного порядка.
В частности, если с = 1, то бесконечно малые а и ß называются
эквивалентными бесконечно малыми, что обозначают символом а ~ ß. Например, при стремлении х к нулю sin х и х суть эквива лентные бесконечно малые.
2. Если lim 0, и, следовательно, lim ß _ оо. то а назы
вается бесконечно малой высшего порядка по сравнению с беско нечно малой ß, а бесконечно малая ß — величиной низшего по рядка по сравнению с бесконечно малой а.
Например, если а = схР1(с Ф 0), ß = хР, где ш и н — положи тельные числа и X 0, то при т ~р>п бесконечно малая а высшего порядка по сравнению с ß.
Теорема 1. Для того чтобы бесконечно малые а и ß были экви валентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой высшего порядка по сравнению с любой из них
Д о к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть lim -jp = l.
Тогда lim ( |
— |
1 ^ =0 . Следовательно, |
->■ 0 и |
V |
р |
/ |
р |
бесконечно малая высшего порядка относительно ß.
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Пусть lim .CT~ ß = (). Тогда |
|
ß |
и -р—у1. Рассуждая |
так же, выведем из условия |
а—8 есть
—Т^ -»-О
«—Р а 1
эквивалентность а и ß.
Теорема 2. Если существует, предел отношения двух бесконечно
малых а и ß, |
то он равен пределу отношения соответствующих им |
|||||
эквивалентных бесконечно малых. |
|
|
|
|||
Действительно, если |
а ~ а 1, ß ~ ßx |
и существует |
то, |
|||
|
|
|
|
|
|
Р |
перейдя |
к |
пределу в |
равенстве |
= 7 L . |
— PL |
получим |
lim |
: Н т |
|
Р |
Рі |
р |
|
|
|
|
|
|
||
РPi
Например, lim |
sin (ж+ За:2) |
lim — : 1, так как при х —>0 имеем |
Х - + 0 |
х-\-х3 |
X |
sin (аг-РЗж2) — х и х^-х3 ~ х .
20.Дополнительные сведения о пределах. Выше, в пп. 10, 13
и14, было дано понятие предела функции при стремлении аргу мента к числу или к бесконечности, а также было дано понятие предела последовательности. Здесь сформулировано единое опре деление предела функции, охватывающее все указанные случаи.
Пусть функция / (х) определена на множестве X одного из следующих видов — это либо конечный промежуток, либо беско нечный промежуток, либо множество натуральных чисел. Пусть а
(где а — число или символ |
оо) есть точка сгущения множества X |
|
(см. пп. 10 и 14). |
7. |
Число b называется п р е д е л о м f (х) |
О п р е д е л е н и е |
||
п р и с т р е м л е н и и |
х к а, если для каждого е > 0 существует |
|
соответствующая окрестность Х а точки а такая, что выполняется
неравенство \ f (х) — Ъ \ <<е для всех х, |
удовлетворяющих условию |
х £ Х Х а, |
(21) |
за исключением, может бытъ, х = а.
Определение 7 заключает в себе оба наиболее важных'для ана лиза случая: 1) предел функции от аргумента, который, стремясь к числу или к бесконечности, может принимать все промежуточные значения, и 2) предел последовательности. В случае предела по следовательности переменная х принимает только натуральные значения, X есть множество натуральных чисел и условие (21) принимает вид п > N.
Эта точка зрения на предел функции позволяет построить еди ную теорию пределов для всех указанных случаев изменения аргу
мента. Все теоремы теории пределов, содержащиеся в пп. 11, 12, 14 и 15, оказываются верными для всех этих случаев.
Докажем, например, теорему о сумме двух бесконечно малых: сумма двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая.
Пусть а (х) и ß (X) — бесконечно малые при стремлении х к а, где а — число или символ оо. Фиксируем любое е > 0. По усло
вию имеем: неравенство |а (х) | < ~ выполнено на некотором мно-
жестве Хг, а неравенство | ß (х) | выполнено на Х 2, где Х г
и X ; суть окрестности точки я, из которых исключена точка а. Рассмотрим множество Х гХ 2, т. е. пересечение множеств Х х и Х 2.
Тогда, если х £ Х 1Х 2, то будут выполнены неравенства! а (х) I
и Jр |
(х) |
а вместе с ними и неравенство |а (х) + ß (х) j < е . |
||
Этим |
доказано, |
что для |
каждого |
е > 0 существует окрест |
ность |
Х хХ 2 точки а такая, |
что при х |
£ Х ЛХ 2 (х -ф а) имеет место |
|
неравенство | а |
+ ß | < е . |
|
|
|
Аналогично могут быть доказаны все остальные теоремы тео
рии пределов. |
|
|
|
Обратимся к выяснению условий с у щ е с т в о в а н и я |
п р е |
||
д е л а . |
Не всякая |
переменная имеет предел. Например, |
его не |
имеют |
переменная |
Л |
х -*■0, |
у = cos х при х -> оо, у — sin — при |
|||
Уп = (—1)" при п -> ОО.
Вопрос о существовании предела функции имеет в высшей математике существенное значение. Прежде чем ставить вопрос о величине предела функции, необходимо предварительно выяс нить, существует ли предел функции. Пренебрежение этим поло жением может привести к ошибочному выводу. Это показывает следующий пример.
П р и м е р 1. |
Рассмотрим переменную уп = q |
при условии q |
1. |
|
Здесь уп+і = |
уп ■ q- |
Если пренебречь фактом существования предела пе |
||
ременной у п |
при п |
со и обозначить предел у п через Ь, то в результате пре |
||
дельного перехода в равенстве уп+1 = ynq получим b — |
bq, из чего следует, |
|||
что 6 = 0, так как |
1. В действительности же при |
условии g Г> 1 пере |
||
менная уп предела не имеет; это бесконечно большая переменная (см. п. 14).
Некоторые достаточные условия существования предела даны в пп. 13 и 15. Другие даны ниже.
Пусть функция / (х) определена на числовом множестве X
= {х}. |
Функция / (х) |
называется |
возрастающей |
(убывающей) |
|||
на X , если для любых х х £ X и х 2 £ X таких, что хх < х 2, выпол |
|||||||
няется неравенство / (х2) > |
/ (xj (соответственно / |
(х2) |
< / (хх)). |
||||
Если же |
для таких х х |
и |
х2 выполняется неравенство |
/ (х2) ^ |
|||
Sz f (хі) |
[/ (х2) |
/ (хj)], |
то |
функция называется |
неубывающей |
||
(невозрастающей). |
|
|
|
|
|
||
Функции всех этих типов носят название монотонных. В част |
|||||||
ности, числовая |
последовательность |
{уп} называется монотонно |
|||||
возрастающей, если большему значению аргумента п соответствует большее значение уп.
Теорема 1 (о существовании предела монотонной ограничен ной последовательности *). 1. Монотонно возрастающая последова
тельность, ограниченная сверху, имеет предел, т. е. если |
для всех |
||
п (хотя бы начиная с некоторого места) выполняются |
неравен |
||
ства уп+1 ^ |
уп и уп < іМ (где М |
— постоянная), то существует |
|
предел этой |
последовательности |
П т уп. |
|
П- + со
2.Монотонно убывающая последовательность, ограниченная
снизу, имеет предел.
П р и м е р |
2. |
Докажем, |
что |
последовательность |
|
|
бесконечно |
||||||||
мала при любом х, |
т. е. |
|
|
|
ГП |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
П т |
—г = 0. |
|
|
|
|
( 22) |
|||
|
|
|
|
|
|
П->со |
п |
! |
|
|
|
|
|
|
|
гг |
|
|
|
\х |
|
удовлетворяет |
соотношению ут-і = |
|
Iх I |
||||||
Переменная уп— — j— |
Уп —— — . |
||||||||||||||
При п > |
I X I — 1 |
п 1 |
гс + 1 >> | лг|, и |
поэтому уп+і<ІУп, |
т. |
fi -Ь 1 |
|||||||||
имеем |
е. пере |
||||||||||||||
менная |
уп |
монотонно |
убывает, |
|
оставаясь |
положительной. |
|
Следова |
|||||||
тельно, по теореме 1 переменная |
уп при любом фиксированном х имеет |
||||||||||||||
предел; |
обозначим |
его |
b = lim уп. |
Для |
нахождения |
числа |
Ъ перейдем |
||||||||
в равенстве, |
связывающем |
П-* |
оо |
|
|
пределу при |
п |
со, |
получим |
||||||
уп |
и уп+1, к |
||||||||||||||
Ъ= b ■0. Отсюда следует, что |
b = |
0, а также |
формула |
(22) (см. следствие |
|||||||||||
из определения бесконечно малой). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теорема |
2. |
Пустъ |
|
функция |
/ (х) определена и |
монотонно |
|||||||||
возрастает (или не убывает) в области X , имеющей точку сгуще ния а такую, что все значения х меньше а. Если при этом функция
ограничена сверху, т. |
е. / |
(х) |
< |
М для |
каждого х изХ, |
то при |
|
и - й функция |
имеет |
конечный |
предел. |
когда а — число. |
|
||
Докажем эту |
теорему |
для |
случая, |
Пусть |
|||
е — любое фиксированное положительное число и п — натуральное
число, |
большее — . |
|
|||
1. |
Члены |
последовательности |
іа — М ^где - і- < е, и поэтому |
||
а — 8 |
< |
а — |
принадлежат промежутку (а — г, а), и поэтому |
||
согласно |
определению предела |
последовательности существует |
|||
lim (а — — У |
равный а. |
|
|||
п-. с о V |
п |
J |
|
|
|
2.Последовательность j / ^ a — — при п > —: 1) не убываю
щая, потому что с ростом п величина |
убывает, а — |
воз |
растает, а не убывает, так как по условию f(x) не
* Доказательство см. в работе Г. М. Фихтенгольца «Основы математиче ского анализа», т. I, п. 44.
убывает, 2) ограниченная, так как f(x) ограничена сверху. По
этому по теореме 1 существует l i m / — |
^ = b при п -> оо. |
|||||||||
3. |
Если число X достаточно близко к |
а, |
то существует такое |
|||||||
|
|
1 |
— |
1 |
, и в силу монотонности f(x) |
|||||
п = п(х), что а-— —<^х<^а |
|
|||||||||
имеем f ( a — |
=5 / (х) ^ / (^а— --у--- ^ . |
По |
теореме |
о |
сжатой |
|||||
переменной при стремлении х к а (при этом |
п —> оо) существует |
|||||||||
1іт/(х), равный Ъ. Теорема 2 доказана. |
|
промежутков) |
||||||||
Последовательность отрезков (замкнутых |
||||||||||
|
|
К , ^ІІі [^2> |
|
• |
• •> [®я> |
|
• • |
• |
|
(23) |
называется стягивающейся, |
если |
1) каждый |
последующий отре |
|||||||
зок |
целиком |
содержится |
в предыдущем: |
аа |
ял+і<^л+і ^ Ьп, |
|||||
2) длины отрезков (23) стремятся |
к нулю: lim (Ъп— ап) = 0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
п - + ОО |
|
последова |
||
Лемма. Если множество (23) есть стягивающаяся |
||||||||||
тельность отрезков, то существует единственное число а, |
прина |
|||||||||
длежащее всем этим отрезкам. |
|
|
|
|
{ап) |
монотонно |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Последовательность |
|||||||||
возрастает и ограничена сверху (ап <б.Ь1 при всех п). Согласно
теореме |
1 |
существует lim ап = а, |
причем ап ^ |
а. Последователь |
|
ность {Ъп} |
монотонно убывает |
и |
ограничена |
снизу {Ъп Д>а при |
|
всех п), |
поэтому существует lim |
Ъп = ß и Ъп^ |
ß. Если в неравен |
||
стве ап <С Ъп перейти к пределу при п -►со, то согласно теореме 4
п. 15 получим а ^ ß. Таким |
образом, при всех п имеем |
|
ап ^ |
а sS ß «S bn. |
(24) |
По условию длины отрезков (23) стремятся к нулю. Поэтому а = ß и число а принадлеяшт всем отрезкам последовательности (23), что прямо указано в неравенстве (24). Лемма доказана.
Докажем фундаментальную теорему Больцано — Коши, содер жащую необходимое и достаточное условие существования пре дела. При этом мы будем пользоваться общим понятием пре дела функции, определенной на множестве X, с точкой сгуще ния а (см. определение 7). Формулировку теоремы дадим парал лельно для случая конечного а и для случая а = оо.
Теорема Больцано — Коши *. Пустъ функция / (х) определена на множестве X, имеющем точку сгущения а, где а — число (или символ оо). Для того чтобы функция / (х) при стремлении х к а имела конечный предел, необходимо и достаточно выполнения сле дующего условия: для каждого числа е > 0 существует такое число
Ô > 0 ( А > 0 ), |
что имеет место неравенство |
|
|
I / ( * ') - / ( 0 1 < е |
(25) |
лишь только 0 < |
| х' — а \< б, 0 < | х" — а |< ô [| х' | > |
Д, | ж" | > А]. |
