Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

П р и м о р 2-

Среднее значение функции у — а sin х,

где а — постоян-

1

л

2а

ная, в промежутке

Г

я=*0,637а. Именно

[0, я] равно уСр = —

\ а sin х dx =

—

Л

J

я

и

и

\f { x ) g {х) dx = / (с) J g (х) dx.

(19)

Утверждение

это

доказы­

вается аналогично

10°а.

155.

Интеграл с переменным

верхним

пределом.

В

опреде­

ленном

интеграле

от интегри­

руемой

в

промежутке

[а, Ь\

функции

/ (X) пределы

по­

стоянны и сам интеграл есть

число. Если изменить величину

верхнего

предела

не выходя из

X

х+Ьх

[а, Ь], то изменится и величина

Рис.

101.

интеграла,

причем

каждому

значению

верхнего

предела

F (х) — [ / (t) dt (a sÇ X b).

(20)

a

~ ^ f ( t ) d t = f(x).

(21)

а

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Фиксируем х и х + Ах в [а, Ъ\

и найдем приращение функции F (х). С помощью свойств 6° и 10°

определенного интеграла получим

х + А х

X

X

х + А х

X

АF = j

f{t) d t - J f(t)dt=

j f(t)dt +

j

f (t) dt — J / (t) dt =

x+Ax

= J f (t)dt = f (c) Ax.

X

Таким образом, имеем AF = f (с) Ах, где с содержится

между x

и X + Ах. Следовательно,

существует

предел

dF

: lim

AF

- lim / (с)

:f(x).

(22)

dx

Дх-*0

Ах

А х-*с

С л е д с т в и е .

Непрерывная в промежутке Іа, Ъ)

функция

рывности подынтегральной функции.

место фор­

Теорема. Если / (х) непрерывна в

[а, Ъ], то имеет

мула

ь

j"/ (х) dx = ер (Ь) — ср(а),

(23)

а

где ф (х) — одна из первообразных /

(х) в промежутке

[а, Ъ\.

ным слагаемым, поэтому имеем F (х)

= ф (х)

+

с или jX

/ (t)

dt =

ф (х) +

с. При x = а имеем 0 =

ф (а) +

с,

а

т. е. с = —ф (а).

Отсюда следует

равенство

J / (t) dt = ф(а;) —ф(а),

а

которое при x =

Ъ дает формулу Ньютона — Лейбница (23).

Первые

156.

Способы вычисления определенного интеграла.

Ь

Ь

b

J и dv — (uv) I—Iу du,

(24)

a

a

a

где и = и (x) и V =

V (x) — непрерывно дифференцируемые в [a, b\

функции x.

Формула (24) получается путем интегрирования по х

в промежутке

[а, Ъ] тождества udv=d(uv)

— v du (см. п. 49),

ь

ь

при этом согласно

формуле

(23) имеем |

d (иѵ)

— J (uv)'dx

—

b

a

a

- (uv) I .

a

я / 2

Я / 2

J t / 2

П

Пример

2.

x cos x dx ~

{x sin x}

sm xdx — — — 1.

и

dv

'

Jt/2

П р и м е р

3.

Вычислить Jn=

| sin” a:dÆ. Интегрируя

по частям,

no-

лучим

d

Я / 2

0

/„ = —

j sinn_1 xd COS x —(sinn_1 X COS x) I

-J-

d

Jt/2

Я / 2

+

(ra —1)

f sin71“2 x (1 — sin2 x) d x = (n —

1) {Jn-i —Jn)-

Поэтому n jn~ ( n —1) / n- 2- В случае n = 2k имеем

T

2k — I

r

(2fr—l ) ( 2fc —3)

r

j 0 = ^

Jtk~

2k

гк~2-

2k (2k- 2 )

2fc"4’

Окончательно в 'этом случае получим

(2к—1) (2/с—3)-

•

- 3-1

л

(25)

2к (2к — 2) • •

- 4- 2

' 2 *

При п =

2к + 1

аналогично предыдущему получим

2 к ( 2 к - 2 ) - • - 4- 2

(26)

2к+1 ”

(2/c+ l) (24 --D - •

- 5- 3 ‘

Теорема. Если 1) / (ж)

определена и непрерывна

в а =ç х

b,

2) X = cp (t) непрерывно дифференцируема в а ^ t sg ß, при

эпголг

a sg ф (f) sg 6 и cp (a) = a, cp (ß) =

b, то имеет место

формула

ь

р

J / (ж) dx = I / (ф(<)) ф' (г) d£.

(27)

û

G6

X

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Функции

F (х) = § f (z) dz

при

x = ф (t}

и Ф(£)= J /(ф(г))ф' (z)dz имеют одинаковые производные. Дей-

С

согласно теореме Барроу, имеем

ствительно,

F t

=F'xx't

=

/

( Фф

<

( 0 =

)

ф/

'( ф ( 0

Поэтому

(х)

— Ф (/) -f с. Здесь

с =

0,

потому

что при

t — at,

имеем x = а и F (а) =

Ф (а) = 0.

Следовательно,

F (х) — Ф (t),

где x = ф

(t).

Отсюда при t

= ß следует формула (27).

Формула (27) называется формулой замены переменной в опре­

деленном интеграле.

х2

П р и м е р

4.

Найти

площадь

фигуры,

ограниченной эллипсом — -j*

а

4* -р -= 1 ,

т. е. вычислить интеграл F = ~ -

Y a 2 —x2 dx.

Положим

x

=

а sin t,

тогда

о

Переменная х

изменяется

dx = а cos t dt.

в промежутке

0 ^

х г=; а.

Значению хі

= 0

соответствует

согласно

подста-

новке значение tx =

TL

(27) имеем

0; х2 = а соответствует t2 = — . По формуле

Я / 2

Я / 2

F = Aab f

cos2 «d< =

2afc J (l +

cos2t)dt = nab.

о

6

П р и м е р 5.

Вычислить интеграл / = ) еХ dx.

а

Делим промежуток [а, I] на п равных частей, ограниченных точками я0—

= а, ж1 = а-(- Ах......... xk= a-\-kAx........... хп= Ь,

b—а,

где Ах = —- — . Выберем

в /c-м промежутке

\k = xk - i ~ aJc Y —1) Д®. Составим интегральную сумму

ап = 2 « Е*Да*==Д*е«[і +

еА* + . .

. + e*""1* ЛД =

і ~ е п&х

Ах

= еаАх 1 —еДж

{еа— еь)

1 —еДж ‘