Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл (23,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 232

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

При п	оо второй множитель правой части стремится к минус	единице
(в чем	можно убедиться, например, по правилу Лопиталя).	Поэтому
/ = lim ап= еь — еа.
п-+■СО

V. Численные методы приближенного вычисления определенного интеграла основаны на приближенном представлении определен ного интеграла интегральной суммой ап или величиной, близкой

к <5„\

	V
	J / (X) dx :			(28)
Если / (ж) > 0 ,			то	этот оп	1
ределенный		интеграл		можно	1
трактовать		как площадь кри
волинейной		трапеции		АВЪа,	Уо Уі	У2	Уз	Уи
ограниченной сверху графиком
/ (х).	Интегральная сумма ап				а
представляет площадь				ступен	Рис.	102.
чатой	фигуры,		ограниченной		Рис.	102.
сверху	ломаной		L,	звенья

которой параллельны координатным осям. Эти площади приблизительно равны между собой при разбиении [а, Ъ] на до статочно малые части. Идея рассматриваемого способа геометри чески состоит в том, что график / (х) заменяется близкой к этому графику линией. В одном случае (при выводе формулы прямоуголь ников) график / (х) заменяется ступенчатой ломаной L (рис. 102).

В другом случае (при выводе формулы трапеции) график / (ж) заменяется ломаной, вписанной в этот график (рис. 103). Наконец, при выводе формулы Симпсона звенья упомянутой ломаной за меняются дугами парабол второй степени. Ниже используется обозначение yk = / (xk).

А. Составим интегральную сумму, соответствующую делению [а, Ы на п равных частей и выбору точек \ k = xk:

о п = А х ( у 1 + Уг + ... +У п) -

В соответствии с соотношением (28) приходим к приближенному

равенству

J / (х) dx « - t z l (Уі _1 Уг + . . . -- уп),

(29)

называемому формулой прямоугольников. При стремлении п к бес конечности в пределе приближенное равенство (29) переходит

вточное согласно определению интеграла (см. п. 152).

Б.Пусть криволинейная трапеция АВЪа (см. рис. 103) раз делена на элементарные трапеции, соответствующие делению [а, Ъ] на п равных частей. Заменяем к-ю элементарную трапецию пря

молинейной трапецией с		площадью	(г/*_х +	yk) Ах,	где Ах =
= Ь- а . Поэтому площадь всей фигуры под кривой AB будет
приближенно равна
		( B ± ä ! .+			(30)
	а
Это равенство называется формулой трапеций.
В. Делим промежуток		[а, Ь] на	2п равных частей точками
{жД, а	кривую AB на 2п соответствующих частей, ограниченных
точками	{Mk (xk, yk)}.	Рассмотрим	п троек	точек	А М гМг,

М 2М 3 Âf4, . . ., М 2п2М 2n_-ß. Ниже доказано, что через каждую

такую	тройку точек		проходит		единственная		парабола	второй
степени	вида у =	ах2 +	Ьх +	с	(см. лемму	1)	и что	площадь
к-й криволинейной трапеции равна (см. лемму 2)
		■ ^ — (Ук-і + іУк + Уш).						(31)
Поэтому в силу		(28) имеем приближенное				равенство
	b
	^ f ( x ) d x æ —		[у0	у2п-f 2 (y2.+ •		• • + J / 2 «-a) +
	a
		■f 4(г/х+		. • . -г */2л-і)Ь				(32)

называемое формулой парабол, или формулой Симпсона. Вывод формулы (31) состоит в доказательстве двух лемм.

Лемма 1* Через любые три точки А г, А 2, А 3 с различными абсциссами можно провести единственную параболу второй сте


пени у ~ ах2	+	Ьх + с (или прямую		у =	Ъх + с,	если	данные
точки лежат	на	одной прямой).			однозначно определя
Действительно,			коэффициенты a, b я с		однозначно определя
ются путем решения системы
ах\ + Ъх\ -)- с = ух,			ах% +Ьх2-\-с = у.г,	ах\ + Ъх3+		с = у3,	(33)

потому что определитель этой системы всегда отличен от нуля г

х\	Х1	1
х\	х2	1	(х.2— X]) (х3 — х2) (хх— х3) ф 0.
х%	Х3	1

Фактически искомые коэффициенты можно найти по формулам теоремы Крамера. При этом, если данные точки лежат на одной прямой, то получим а = 0.

Лемма 2. Площадь трапеции, ограниченной параболой второй степени (или прямой), проходящей через точки А г (—h, у х),А.2(0, у2),

A 3(-)-h,		у3) (рис. 104),		равна
		F = \ (Уі ААу.г + уд).			(34)
Действительно, в нашем случае си
стема	(33) имеет вид
	ah2— Ыіф с — ух,			с — у2,
		ah2 фЪЬф с ----- у3,
а из	нее	следует,	что 2ah2-J- 2с — ухф
+ Узу с~ Уг- Имеем
		h
F =		j (aa;2 +	+ c)dx = ~		(2ah2-f 6c) = y (yx -b 4y2+ y3).
		-h

Таким образом, выведена формула (31), а вместе с ней и (32), потому что площадь криволинейной трапеции не зависит от того, где эта трапеция расположена на плоскости.

П р и м е р		6, иллюстрирующий численные методы. Рассмотрим инте-
	К
	f
трал J	= I	sin X dx,		точное значение которого равно единице,
	о
По формуле			(29)	при п = 3 получим
	if 0/з Т Уі +Уг) = ^г ( sin\|- + sin y -f-sm -y ) я« 1,237.
По	формуле		(30)	при п = 3 получим

J ~ т ( - * 4 ^ + уі+ у *)= f (2+ V * ) ~ °'976-

По формуле (32) при п — 2 имеем

3 ** І2 [Уо+ Уі + 2уі + 4 + Уя)1 0,99951.

Заметим, что все три формулы (29), (30), (32) тем точнее, чем больше п, и их абсолютная погрешность при п -+■ оо стремится к нулю в соответствии с определением понятия определенного интеграла.

VI. Метод	статистических испытаний, или		метод	Монте-
Карло. Будем			F =	ь
	трактовать	определенный интеграл		J / (х) dx
при условии / (х) is 0 и а			а
		< b как площадь соответствующей кри

волинейной трапеции АВЪа (рис. 105). Рассмотрим прямоуголь

ник PQba с тем же основанием [a,	b]	и	высотой h, которая не
меньше		наибольшего		значения
/ (х)	в	[а,	Ь\. График	/ (х) делит

этот прямоугольник на две ча сти, одна из которых имеет пло щадь F.

Будем производить «обстрел» прямоугольника (случайный вы бор точек в прямоугольнике) при условии равной вероятности * «попадания» в любую его часть. Пусть произведено п «выстрелов», причем ниже линии AB оказа лось т «попаданий». Тогда при

достаточно большом п будет выполнено приближенное равенство

FJ(b — a) h ^ т/п. Следовательно,
ь
F = ^ / (z) dx >=» h (b — à).	(35)
а
Например, если т — 75 при п = 100, то F	0,75 (b — a) h.

§ 26. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА}

Мы переходим к рассмотрению некоторых приложений понятия

определенного интеграла — к вычислению площадей,	объемов
и других величин. При этом будем руководствоваться во	многом
наглядными соображениями. Точное определение площади	и объ

ема приводится в более подробных курсах **.

157. Вычисление площади. В п. 151 определена площадь криво

линейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у =				/ (х)
и отрезками прямых х = а,		х = Ъ, у = 0, как интеграл от функ
ции / (X) в промежутке	[a,	b] при условии, что / (х)	0.	b и
Площадь области,	ограниченной прямыми х = а,		х =

*См. главу XIV.

**См.: В. И. С м и р н о в. Курс высшей математики, т. II, § 9.

и двумя непрерывными кривыми у = / (х) и у = g (х) при условии

/ (х)	g (х), определим * как интеграл
	ъ
	F = \ [f(x) —g(x)]dx.	(1)

Это определение можно обосновать интуитивно следующим образом. Если обе функции / (х) и g (х) неотрицательны, то указанная площадь равна разности площадей криволинейных трапеций рассмотренного выше вида:

ьь

F = J / (х) dx — I g (x) dx.

аа

Если же / (х) и g (х) имеют произвольные знаки, то в силу их ограничен ности существует такая постоянная с, что ф у н к ц и и (х) — / (х)+с и gr (х) =

= g (х) +	с уже не отрицательны. Площадь области,					заключенной между
кривыми у	= /х (х)	и у — gi	(х)	и прямыми X — а и X -----		Ь, очевидно, совпа
дает с предыдущей площадью и равна
	b			b
	I	[il (х) ~	gl (*)] dx = j [/ (x) -		g (x)] dx.
	a			à
В частности,		криволинейная трапеция,			заданная равенствами
x = a, x = Ъ, у — 0 и у = / (х),				при условии / (х) ^		0 имеет площадь
			ь	ь
		F = -	\f( x) dx = f \f(x)\dx.			(2)
			a	a

Следовательно, площадь криволинейной трапеции в случае, когда / (х) может принимать в [а, Ъ] значения разных знаков, равна

ь
F = \ \ f ( x ) \ d x .	(3)

Заметим, что при а<^ b интеграл j / (x) dx дает алгебраическую

сумму площадей, в которой каждая площадь, расположенная под осью Ох, входит со знаком минус. Он может быть отрицательным, в то время как площадь области всегда положительна. Для вы числения площади области более сложного вида надо разбить всю область на части рассмотренного вида, найти площади этих частей и результаты сложить.

П р и м е р	1. Найти площадь области,	ограниченной графиком функ
ции у = sin x и осью абсцисс при условии 0		^ х ^	2я.
Имеем у	0, если О ^ і ^ л , и у ^ О , если я ^		х ^ 2л, и по формуле
(3) получим