Данные линии пересекаются в точках с абсциссами .г, — о и х„
По формуле (1) получим
Я |
|
|
|
|
|
"і" |
|
|
|
|
|
г |
/ |
. |
2 |
\ |
dx = |
\ |
|
sin X --------- X |
) |
J |
\ |
|
л |
) |
|
0 |
|
|
|
|
|
тл
' |
х2 |
' |
\ = 1 |
л |
— COS X ----------- |
|
\ч |
я |
|
/ |
4 • |
|
|
|
0 |
|
В ы ч и с л е н и е п л о щ а д и в п о л я р н ы х к о о р
|
|
|
|
|
|
|
д и н а т а х . |
Требуется |
определить |
площадь |
сектора |
ОАВ |
(рис. 107), ограниченного |
лучами ф = |
а, |
ср = ß и кривой |
AB, |
заданной в полярной системе координат |
уравнением г ~ |
г (ср), |
где г (ср) — функция, непрерывная в |
промежутке |
а sg ср ^ |
ß. |
Р е ш е н и е . 1) Разобьем промежуток |
[а, ß] на п частей точ |
ками а = ср0 -< 4)! < ... <Ф„_і < ф„ — ß |
и обозначим ДсрА== |
= Ф* — Фй- ы а Я„ — наибольшее из чисел Дфг, |
. . , Дф„. |
Ра |
зобьем данный сектор на п частей лучами ф = |
(к — 1, 2, |
. . ., |
п— 1).
2)Заменим к - й элементарный сектор круговым сектором радиу
сом rk = г (gft), где \ k £ [cpfe_ фА]. Тогда площадь к-то элемен-
тарного сектора будет приближенно равна AFk — r% Дфь
а площадь всего исходного сектора
2 7'' Аср* = о„ k
3) За величину площади криволинейного сектора примем пре дел площади ступенчатой фигуры, составленной из указанных круговых секторов при стремлении Я„ к нулю, т. е. определенный интеграл
|
|
|
|
F : --lim ап = Т |
ß |
|
г2 (ф) гіф. |
(4 ) |
ял-о |
^ |
|
П р и м е р 3. |
Найти площадь области, ограниченной кардиоидой г = |
= а (1 + cos ф). Учитывая симметрию кривой |
относительно полярной оси, |
по формуле (4) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
F = |
я2 j |
(1 4 -cos ф)2 Лр = |
- | ля2. |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
158. Вычисление объема. Рассмотрим тело Z?, содержащееся |
между плоскостями х = |
а и х |
= |
5 (рис. 108). Пусть для каждого ж |
из промежутка |
[а, |
6] |
дана площадь сечения этого тела F (х), |
перпендикулярного оси Ох. Требуется найти объем V данного тела |
при условии непрерывности F (х) |
|
|
|
в [а, Ъ]. |
|
Делим |
про |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
|
|
|
межуток [а, Ъ\ на п элемен |
|
|
|
тарных частей и через точки де |
|
|
|
ления проводим плоскости, пер |
|
|
|
пендикулярные |
оси Ох. |
Эти |
|
|
|
плоскости разобьют В на эле |
|
|
|
ментарные |
слои. |
Рассмотрим |
|
|
|
к-й слой, ограниченный пло |
|
|
|
скостями |
X = xk_x |
и |
X = хк. |
|
Рио. 108. |
Объем этого слоя приближенно |
|
равен объему цилиндра с ос |
высотой |
Axk, |
так что AVk |
нованием, равным F (xk_x), |
и |
я» F (xk_Д Axk. |
Сумма |
объемов |
элементарных |
цилиндров при- |
|
|
ап = |
П |
F (xk-ù Axk■ |
|
|
ближенно |
равна |
2 |
|
|
|
|
|
|
h= l |
|
|
|
|
|
Объем тела В определим как предел величины ап при стремле нии Кп к нулю. Этот предел существует в силу непрерывности F (х) и равен определенному интегралу
а
В частности, если тело ограничено поверхностью вращения линии у = у (х) вокруг оси Ох в пределах изменения х от а до Ь,.
то F (х) = я у2 и
|
ь |
|
|
|
V = л j" у2 (х) dx. |
|
(6) |
|
а |
|
|
П р и м е р |
4. Вычислить объем шара радиусом |
R. По формуле (й> |
при у = Ÿ R Ï |
х‘ получаем |
|
|
|
R |
|
|
V = Я J (Д2—Ж2) dx = 2я {^R2X — |
I |
л/?3. |
159. Вычисление длины дуги. Пусть дуга AB задана уравне нием у = у (х), где у (х) — функция, непрерывно дифференциру емая в [а, 6]. График у (х) в этом случае есть так называемая глад кая кривая. Геометрически это условие значит, что кривая в каж дой точке имеет касательную, направляющие косинусы которой непрерывно зависят от х (см. п. 132).
Докажем, что гладкая кривая имеет длину дуги, и найдем эту величину. Для этого разделим кривую AB на п частей (рис. 109)
точками ІИ-!, М 2, |
. . ., |
М п_і с |
абсциссами х 1; х 2, |
. . ., |
хп_1и ор |
динатами у х, у 2, |
. . ., |
уп_х. |
Обозначим |
а = |
х 0, |
Ъ = |
хп, Axk = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
Vk~~ Vk~1 |
|
|
|
и Хп — наибольшую из |
ве |
|
|
|
личин 'Azl5 . . ., Ахп . |
|
|
|
|
Рассмотрим |
ломаную |
|
|
|
А М ХМ 2. . . В , вписанную |
в |
|
|
|
AB. |
Длину |
каждого звена |
|
|
|
ломаной |
|
найдем по теореме |
|
|
|
Пифагора |
и суммируя, |
по |
|
|
|
лучим |
периметр |
ломаной |
|
|
|
= S |
/(А**)* + |
(Лг/Д2. |
|
|
|
|
Положив |
здесь |
согласно |
формуле конечных приращений Ayk = у' |
(ck) Axk, |
получим |
|
|
|
V l ~ y ’2(ck) |
Axk. |
|
|
|
|
(7) |
|
|
/г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Длиной дуги кривой называется предел периметра |
вписанной |
в эту дугу ломаной при безграничном уменьшении всех ее звеньев, если этот предел существует и не зависит от выбора ломаной. В наших условиях величина о„ есть интегральная сумма в про
межутке [а, Ъ] функции У I + у'2 (х), которая непрерывна; по этому существует упомянутый в определении предел. Этим преде лом является интеграл, который и есть длина дуги AB
s = jь j / l 4- у’2 (х) dx. |
(8) |
а |
|
Если кривая AB задана п а р а м е т р и ч е с к и |
уравне |
ниями |
|
x=x(t), y = y{t) (asS£«Sß) |
(9) |
и кривая гладкая, т. е. существуют непрерывные х' (t) и у' (t), то путем замены переменной х = х (t) в (8) получим длину дуги AB
Р |
|
s = \ Ѵ х ' г + у ' 2 dt. |
(10) |
Формула (10) обобщается на случай гладкой кривой в про странстве, заданной уравнениями х = х (t), у = у (t), z = z (t) при а sç t sg ß. Длина такой дуги равна
|
|
|
|
ß |
_________ __ |
|
|
|
s — I Y х' 2-+у' 2 + з ' 2dt. |
(11) |
|
|
|
|
а |
|
|
Если плоская кривая AB задана в п о л я р н ы х |
к о о р д и |
н а т а х |
уравнением г = |
г (ср) при а ^ ср =5 ß, то параметриче |
ские уравнения |
этой |
кривой будут х = г (ср) cos ср, у = г (ср) X |
Xsin ф. |
Поэтому |
х' |
= |
г' COS ф — г sin ф, у' — г' sin ф -г Г COS ф, |
и по формуле (10) |
получим |
|
ß_______
|
s = |
j ] /r 2-f-г '2dq>. |
|
|
|
(12) |
|
|
а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р . Вычислить |
длину |
окружности радиусом |
R. |
Для |
этого |
напишем уравнение окружности в полярных координатах: г = |
R |
при 0 |
==:(рг£; 2я и по формуле (12) получим s = |
?х |
2яЯ. |
|
|
|
| R dtр = |
|
|
|
|
' |
|
|
о |
|
|
|
|
|
160. Площадь поверхности вращения. Пусть гладкая дуга |
AB |
задана уравнением у — у (х) в |
[а, |
6]. |
Требуется найти площадь |
FBр |
поверхности, образованной |
вращением |
дуги |
AB |
вокруг |
оси |
Ох. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадью поверхности, образованной вращением плоской дуги |
вокруг оси, лежащей в плоскости дуги, называется предел пло щади поверхности, образованной вращением вокруг той же оси вписанной в эту дугу ломаной, при неограниченном уменьшении
всех ее звеньев. |
М п_г на элементы |
Разделим дугу AB точками М г, М 2, . . ., |
и впишем в нее соответствующую ломаную. |
Поверхность, обра |
зованная вращением к-то звена ломаной, есть боковая поверх
ность усеченного конуса с площадью |
Fk = л (ук-і |
+ Ук) АД, |
где |
Аlk = |
V (Az*)2 -і- (АУк)2 = |
/ 1 + У’2 (ck) Axk, |
|
Хк-і < |
ck < xk, ук_г = у (хк^), |
Ук = У (xk). |
|
Площадь поверхности вращения ломаной равна |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
k=i я (ук- 1 + Ук) / |
1+ у'2(ck) Axk. |
|
|
Согласно определению FBp = lim |
при Хп ->0. |
Докажем, |
что |
если у (х) и у' (х) |
непрерывны в [а, |
Ъ], |
то |
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
^ Вр — 2л j г/ У 1 А у ' 2 dx. |
|
(13) |
