Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл (23,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 228

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Для этого рассмотрим интегральную сумму а^ функции

2пу У I - f у '2, соответствующую нашему		разбиению		дуги	Hi? и
такому выбору	промежуточных точек:	=	cÄ. Оценим разность
	71
0 » - < =	я 2 lîk-i -f-Ук— 2у (ск)] ]/1 +		У" 2 (С) Да.		(14)
	fc=i
Согласно теореме Вейерштрасса об ограниченности функции,
непрерывной в замкнутом промежутке, имеем О <С / 1				+ у '2 < М.

Согласно теореме Кантора, функция у (х) равномерно непрерывна

в промежутке		[а,	Ь].	Поэтому	для каждого е > 0				существует
0(e) > 0	такое,		что	\| ук_г — у (ck) \| <			е,	\yk — у (cj \| < е		и
I Ук-х^г Ук — 2у (ck) \ <				2е при	< 6 . Следовательно,				при Ял <	ô
выполняется неравенство \|ст„ —					\|	<<2леМ (Ь — а),			которое по
казывает,	что	разность		оп — а'п есть бесконечно малая при стре
млении Хп к нулю и что переменные ап и о'п имеют									одинаковые
пределы,	равные		величине (13).
П р и м е р .		Найти площадь шарового					пояса,	образованного враще
нием вокруг оси Ох дуги окружности X2 +						у2 =	R 2, соответствующей измене
нию ж от а до 6. Здесь у =				V R 2 — ж2,	у'	= — —, 1 + у' 2 =			и по фор-
							У		У

муле (13) получим

Fвр = 2лЯ J dx = 2nR (Ь — а).

В частности, при а = —Д, Ь = R имеем площадь всей сферы:

^вр = 2лЛ • 2R = 4яД2.

161.Статические моменты и координаты центра тяжести.

Статическим моментом материальной точки, находящейся в пло скости Оху, относительно координатной оси Ох (или Оу) назы вается произведение массы этой точки на ее ординату (соответ ственно — абсциссу). Статическим моментом системы таких точек Му, . . ., М п относительно координатной оси называется сумма статических моментов всех точек системы относительно этой оси.

Центром тяжести системы материальных точек с массами

ту, . . ., тп называется точка С, обладающая тем свойством, что

если в ней сосредоточить всю массу системы т — т х -(-... + тп, то ее статический момент по отношению к любой оси равен стати ческому моменту системы точек относительно той же оси. Поэтому, если обозначить через Sx и Sy статические моменты системы точек относительно координатных осей Ох и Оу, то координаты хс и ус центра тяжести С удовлетворяют соотношениям

тхс = Sy = тхху -Ь тпхп, тус = SX = тхух+ .. . + т„уп, (15)

где xk, yk — декартовы координаты точки с массой mk.

Следовательно, центр тяжести данной системы материальных точек имеет координаты

„	__ T O l æ l +	• ■ • -\-т пх п			, , __ т \Ух~\- . . .			+	піпУп	и а \
Х С		п		’	У		П		•
Статические моменты и координаты центра тяжести дуги
плоской линии. Пусть			гладкая дуга AB				задана		в промежутке
[а, Ь] уравнением у		—	у (х) и на ней непрерывно					распределено ве
щество с	плотностью		р (х). Разделим			дугу AB на п элементов
M k_1Mk (к = 1, . .			п).	Сосредоточим		массу		каждого		из эле
ментов Mk_1Mk в одной его точке N k (xk, yk). При этом										условии
получим	приближенные			выражения		элемента			массы	Аmk ^
(хк) Ask и элементарных статических моментов относительно ко
ординатных осей АSxk ^				укАтк,	АSyk t=&хкАтк.
Суммируя и переходя к пределу при Хп							0, получим выраже
ние массы материальной дуги
				ъ
			т-= [ р ]/1 + У’2 dx							(17)
и ее статических моментов относительно координатных осей
	ъ					ъ
	Sx = § p y \ f l + y ' 2dx,				Sy=	J рх Y i		+ у’ 3 dx.		(18)
	а					а

Для нахождения центра тяжести С (хс, ус) материальной ду ги AB в соответствии с определением этого понятия составим равенства тхс = Sy и тус = Sx, из которых следует, что

Xс	PJL	(19)
	т

где т, Sx и Sy определяются формулами (17) и (18).

Первая теорема Гульдина *. Пустъ дуга AB и прямая а лежат в одной плоскости и не пересекаются. Площадь поверхности, обра зованной вращением дуги AB вокруг оси а, равна произведению длины дуги sAB на длину окружности, которую описывает ее центр тяжести. Если а есть осъ Ох, то

F bp^r-2nyc -sAB.		(20)
Действительно, если умножить	равенство	тус — Sx на 2я,
то получим
2яуст = 2яjъру Y	1 + у' 2 dx.

* Пауль Гульдин (1577—1643) — швейцарский Математик.

Здесь в левой части т =	при р = 1, а правая часть		равна FBpt
согласно (13). Отсюда следует (20).
П р и м е р 1. Найти	координаты	центра тяжести полуокружности
радиусом R с центром в начале координат, симметричной относительно оси Оу
при условии р = 1. Из соображений		симметрии заключаем,	что хс = 0.

Для нахождения ус полагаем в формуле (20) FBp = 4яR 2 и sAB = лЯ. По-

2ft

лучим равенство 4лR2 = 2яус -яЯ, из которого следует ус = —-я«0,637R.

Статические моменты и координаты центра тяжести пло ской фигуры. Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями X = а, X = Ь, у = 0 и у = у (х), и на ней распределено вещество с плотностью р = 1. Разделим промежуток [а, Ь] на п элементарных частей, а криволинейную трапецию на п соответ ствующих частей. Заменим каждую элементарную трапецию прямо угольником с основанием, равным Axk, и высотой, равной yk_t =

= у ixk_i). Получим	элемент массы Ат ^ у Ах я элементарные
	Л
статистические моменты ASX«=* —у Am, ASy ^ x A m .
Отсюда следуют выражения массы и статических моментов
всей фигуры:
ь	ь	ь
m=--\ydx,	Sx — ~ Y \ y 2dx,	Sy= \ x y d x .	(21)
а	а	а

Координаты центра тяжести хс и ус определяются, так же как и для материальной дуги, формулами (19), в которых под т, Sx и Sy следует понимать величины (21).

Если	умножить	равенство тус = Sx на 2л, то согласно (21)
	2яуст =	ь
получим	2яуст =	л j y2dx, где т = F, а правая часть согласно

(6) есть объем тела вращения. Таким образом, доказано следующее утверждение.

Вторая теорема Гульдина. Пустъ плоская фигура А и прямая а лежат в одной плоскости и не пересекаются. Объем тела, обра зованного вращением плоской фигуры А вокруг оси а, равен произведению площади FА фигуры на длину окружности, которую описывает ее центр тяжести. Если а есть осъ Ох, то

VBp = 2nycFA.

(22)

П р и м е р 2- Найти координаты центра тяжести полукруга, симмет ричного относительно оси Оу с центром в начале координат при условии, что р = 1. Из симметрии фигуры следует, что хс = 0. Для нахождения ус пола

гаем в формуле (22) Увр = - \| лі?3 и FA = -^-лЛ2; получим ус = -f- • — ^0.42Л .
и	2à	о ^

При изучении определенного интеграла от функции / (х) в про межутке [а, b] мы предполагали этот промежуток конечным, а функцию в нем ограниченной. При нарушении любого из этих условий нельзя построить определенный интеграл; так, в случае бесконечного промежутка нельзя разбить промежуток на п частей

конечной длины;	во втором случае оп не имеет предела. Однако
в естествознании	встречаются интегралы по бесконечному про

межутку и интегралы от неограниченных функций. Но это уже интегралы не в смысле определенного интеграла. Ниже рассмот рены эти новые понятия.

162.Интеграл по бесконечному промежутку. Пусть / (а;) непре

рывна при X ^ а. Интеграл				от	функции		/ (х) в	промежутке
й 5g л < о о обозначается		символом
			СО					(1)
			J	f(x)dx.				(1)
			а
Для каждого 6, большего а, существует интеграл с перемен
ным верхним пределомірис. 110)
					ь
		J(b) = $f(x)dx.						(2)
				а
О п р е д е л е н и е		1.	Несобственным				интегралом от функ
ции / (я) по бесконечному			промежутку a				х<С. оо	называется
предел интеграла (2)	при		стремлении			b к + о о -.
со					Ъ
J	f(x)dx=				lim \	f{x)dx.		(3)
а				^ -»■-foo а

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный инте

грал (1) сходится. Если же интеграл (2) при стремлении b к + о о не имеет предела, то интеграл (1) называют расходящимся.

Заметим, что согласно (3) сходящийся несобственный интеграл есть повторный предел, т. е. предел от предела, так как интеграл

(2) при каждом фиксированном		b сам является пределом соответ
ствующей интегральной	суммы.
со	lim	Ь
П р и)м е р 1. Г e~xd x ~	lim	[ e~xd x ~ lim [1— е~ь] — 1.
Q	Ьсо Q	h -*•-{- оо

В этом случае несобственный интеграл сходится. Его можно принять за вели чину площади фигуры, ограниченной линиями х = 0, у — 0 н у = е~х.

ооb

П р и м е р 2. Г	— =	lim 1 — =	lim lnö = + oq.
1J	Æ	£>->■-)-oo J1	b-»--co

Следовательно, данный интеграл расходится.

Рис. ПО.

П р и м е р 3. Выяснить, при каких значениях параметра а сходится

		СО
интеграл / =	р	d x			рассмотрен в		примере	2. При а=^= 1
интеграл / =	\	—. Случаи а = 1			рассмотрен в		примере	2. При а=^= 1
имеем	1
имеем						+ 00	при	а < 1 ,
		х і-а,	ь	іі—“_ 1		+ 00	при	а < 1 ,
J ( b ) =		х і-а,	ь	іі—“_ 1
J ( b ) =	1 — а		г	1—а	с о	—î—— при		а > 1 .
						а —1
Следовательно, данный интеграл сходится при							и расходится при

asg 1.	Исследование интеграла (1) на сходимость .можно за
П р и м е ч а н и е .	Исследование интеграла (1) на сходимость .можно за
менить исследованием	на сходимость интеграла от			/ (х)	в	промежутке
	(aJ, оо),	где ах )>	а.	Действительно, из ра
	венства
	b	(lx			b	/ (X) dx (4)
	j1/ (x) d x — J		f (x) dx -\|- J			/ (X) dx (4)
	a	a			a,
	следует,	что интегралы			в промежутках
	(a, оо) и («!, оо) вместе сходятся или рас
	ходятся.

Выясним условия сходимости несобственного интеграла по бес конечному промежутку. Согласно общему критерию Больца

но — Коши (см. п. 20), для существования предела функции J (Ь) при стремлении b к бесконечности необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > 0 существовало число N (г) такое, чтобы вы полнялось неравенство | J (Ь") — / ( 6') |<( е при b" > V ^>N.

Принимая во внимание (2), имеем

Ь"	Ь'		Ь”
J (Ь") — / (b') = j* / (x)dx —		J/ (а:) dx =	j f (x) dx.
a	a		b*

Таким образом, мы приходим к следующему утверждению:

для сходимости интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы для каждого е )>0 существовало такое N (е), чтобы при всех Ь' и Ь", удовлетворяющих условию Ь" )> Ъ' Д> Л' (е), выполнялось неравенство

Ь”