Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 227

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Действительно, имеют место неравенства

Ь" Ь"

J / (х) dx I

J I / (х) I dx << е,

Ь'

Ь'

первое — при любых Ъ'и Ъ" Ъ' по теореме об оценке интеграла, второе — при Ъ" )> Ъ' > N в силу сходимости интеграла (6)

инеравенства (5). Следовательно, выполнено условие сходимости

(5)и для интеграла (1). Теорема доказана.

Заметим, что из сходимости интеграла (1) не следует сходи­

мости интеграла

(6).

Это

показывает пример.

 

 

 

 

 

СО

 

 

П р и м е р

4.

Интеграл

Г*

sin х

сходится, но не

абсолютно.*

\

-------- dx

 

 

 

 

0

 

 

 

Теорема 2

(теорема сравнения). Если функции / (х) и g (х) при

X ^ а непрерывны и

удовлетворяют

соотношению

 

 

 

 

 

1f{x )\^ g{ x)

(7)

(по крайней мере при всех достаточно больших х), то из'сходи­ мости интеграла

СО

 

f g (х) dx

(8)

следует абсолютная сходимость интеграла (1), а из расходимости интеграла (6) следует расходимость (8).

Действительно, если (8) сходится, то имеют место неравенства

 

Ь"

Ъ"

 

\ f ( x ) \ d x ^

f g(x)dx < е,

Ъ'

Ъ'

первое — при Ь" >

6' в силу неравенства (7), второе — при Ъ" >

> Ь' >ІѴ в силу

сходимости

(8). Следовательно, выполнено ус­

ловие (5) сходимости интеграла (6), и по теореме 1 интеграл (1)

сходится

абсолютно.

 

 

+ о о инте-

Если

(6) расходится, то при Ъ -► + о о стремится к

ь

 

а вместе с ним и интеграл

ь

dx,

что и до-

грал J I / (х) I dx,

[g (х)

a

 

à

 

 

 

называет расходимость интеграла (8).

 

 

 

 

Р

COS X

 

 

іI cos X I

П р и м е р 5. J

j -Çxï ^х СХ0ДИТСЯ абсолютно,

так

как

- 1+*2

1+Z2 и интеграл

*

См.: В. И. С м и р н о в . Курс высшей математики, т. II, § 8.

17

Заказ 114

Теорема 3. Пустъ f(x) непрерывна при х ^

а. Если имеет

место неравенство

 

l / w i < 4

(9)

при каких-либо постоянных А )> О и ос О 1 для всех достаточно больших X, то интеграл (1) сходится абсолютно. Если неравенство

ж > 4

(ю)

выполняется при каких-либо постоянных А > 0 исс sç 1 при всех достаточно больших х, то интеграл (1) расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполнено условие (9). Из

теоремы 2 при g (х) = ^

и примера 3 следует, что интеграл (1)

сходится абсолютно.

 

(10). Из второй части теоремы 2 при

Пусть выполнено условие

g (X) — и примера 3

при

а

1 следует расходимость инте­

грала (1).

Условие (9) называется признаком Коши абсолютной сходи­ мости интеграла (1).

Пример

 

6.

Иптеграл

Г

- ,7 ,

dx

 

 

 

 

абсолютно, так как

 

\

TJFT сходится

 

 

 

 

 

 

J

ж2 (! +

<?*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

при X ^ 1

имеет

место

неравенство

 

 

 

 

т.

выполнено

ж2(1+й*)

 

условие (9)

при

А = 1 и а = 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

„

 

СО

(l-bæ)dæ

 

 

 

 

 

Пример

 

 

(*

 

 

 

так как при х _> 1

 

7.

Интеграл

\

—----- —

расходится,

 

 

 

 

 

 

J

X У

X

 

 

 

 

 

 

1 +

X

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

>

 

т. е. выполнено

условие

(10)

при А = 1

имеем ----

 

——г ,

п а = — .

X У

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегралы

по промежуткам

(—оо,

è]

 

и (—о о, + оо) опреде­

ляются соответственно равенствами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ъ

 

 

 

ъ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

f(x)dx=

lim

f(x)dx,

 

 

 

 

 

-j-jсо f(x).dx— сj* f(x)dx-tr + jс о

f(x)dx.

 

 

 

 

— CO

 

— c o

 

 

c

 

 

 

 

 

163. Интеграл от неограниченной функции. Пусть функция /(х) определена и непрерывна в промежутке a sg х < Ъи неограничена вблизи точки 6. В частности, / (х) -*■ оо при х Ъ.

Интеграл от неограниченной функции обозначается символом

ъ

j' f(x)dx. (11)

Для выяснения содержания этого понятия рассмотрим инте­ грал с переменным верхним пределом b — ß, где b — а > ß > 0:

b-ß

 

/(ß) = I f(x)dx.

(12)

a

 

О п р е д е л е н и е З . Если существует конечный предел пере­ менной J (ß) при ß -> +0, то этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от неограниченной функции / (х) в про­ межутке от а до Ъ:

ь

ь-р

 

[f(x)dx--=

lim I f(x)dx.

(13)

a

0- + Oa

 

Если этот предел не существует (в частности, бесконечен), то говорят, что несобственный интеграл (11) расходится.

Если функция / (х) неограничена в окрестности точки а и в про­ межутке а <б X sg Ъ непрерывна, то по определению

 

 

 

 

ъ

 

 

 

 

 

ъ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ f (х) d x ----=lim

j

f(x)dx.

 

 

 

(14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a fcc

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

С

 

—

lim

f

=

2 lim

(l —V a) = 2,

интегрг

 

сходится.

 

 

nJ YГ x

ce->4-0 rJ-.

У х

 

a - to

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

2.

 

dx

 

lim

l n (b — x)

= oo, интеграл расходится.

\ - г — — =

П р и м е р

3.

аJ

Ъ-х

 

 

 

t

 

b-ß

 

 

 

 

 

 

Выяснить, при каких значениях параметра а сходится

 

b

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл

\ (Ь — х)а

.

Случай а —\ рассмотрен

в примере 2.

При а ^ 1

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b-ß

 

dx

__ (b —a)i-a —ß1-“

 

 

 

 

 

 

 

J « И

 

 

 

( оо

п р и а > 1 ,

 

4

 

х)а

 

 

1 —а

 

ß-+o

 

( const при а < 1 .

 

Следовательно,

данный

интеграл

сходится

при

a < 1

и

расходится при

Выясним условия сходимости несобственного интеграла (11).

Согласно общему

критерию

Больцано — Коши

для существова­

ния предела функции /

 

( приß стремлении)

ß

к нулю, необходимо

и достаточно,

чтобы

для

каждого

е > 0 существовало

соответ­

ствующее

ô(e)

такое,

что

при

любых

ß

'и

ß

" удовлетво,

­

ряющих

условию

0 <; ß

'

 

<;

Ô,4

имело

ßместо"

неравенство

( / ( ß ' ) - / ( ß " ) j < е .

b-ß'

В нашем случае J (ß') — /(ß*) = j f (x) dx. 6-ß"

Таким образом, мы приходим к следующему критерию Коши сходимости несобственного интеграла от неограниченной функ­ ции: для сходимости интеграла (11) необходимо и достаточно,

чтобы для каждого 8

0 существовало такое ô

0,

чтобы при

всех ß' и ß ”І, удовлетворяющих условию 0<

ß '<

ß”-< ô, выполня­

лось неравенство

 

 

 

 

 

b-ß'

 

 

 

 

J / (x) dx < 8.

 

 

(15)

 

ь-ß'

 

 

 

О п р е д е л е н и е

4. Несобственный

интеграл

(13) назы­

вается абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

 

ь

 

 

(16)

 

$ \ f ( x ) \ d x .

 

 

 

а

 

 

 

Сформулируем теоремы, которые доказываются так же, как соответствующие теоремы и. 162.

Теорема 1. Из сходимости интеграла (16) следует сходимость

интеграла

(И).

Теорема

2 (теорема сравнения). Если функции / (х) и g (х)

непрерывны в промежутке а ^ х <; Ъ, неограничены в окрестности точки b и удовлетворяют соотношению | / (x) | sg g (х) по крайней мере для всех значений х из промежутка (а, Ъ), достаточно близких

к

Ъ, то из сходимости интеграла

 

 

ь

(17)

 

\ g { x ) d x

 

а

 

следует абсолютная сходимость интеграла (11).

b непрерывна

и

Теорема 3« Если / (х) в промежутке а ^ х <

удовлетворяет соотношению

 

 

\f(x)\ <

dB)

при каких-либо постоянных А > 0 и а < 1 , то интеграл (11) сходится абсолютно. Если в этом промежутке выполняется не­ равенство

<19>

при каких-либо постоянных А ]>0 и а ^ 1, то интеграл (11) расходится.

Смотрите также файлы