164. Интегралы Эйлера« Гамма-функцией, или эйлеровым ин тегралом второго рода, называется следующий несобственный интеграл, зависящий от параметра р:
00 |
|
Г (р) = J erxxp~x dx, |
(20) |
о. |
|
Докажем, что интеграл (20) сходится при р ]> 0. Для этого рас смотрим соответствующие интегралы в промежутках [0, 1] и [1, оо]:
1 |
оо |
Л (р) — J |
dx и / 2 (р) = J е~ххР~х dx. |
о |
1 |
При 0 < р < 1 несобственный интеграл / х(р) от неограниченной функции (е^хР-1 -> оо при х + 0) сходится по теореме срав нения, потому что
|
1) 0 < |
е~ххР~х < хр~х при 0 <; X <; 1, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2) |
( хр-1 dx ———- ---->- — при а ->■-(- 0. |
|
' |
J |
|
р |
|
р |
|
При р |
|
1 интеграл J у (р) существует как определенный интеграл |
от |
непрерывной функции. |
несобственного интеграла |
|
Для |
доказательства |
сходимости |
/ 2(р) |
воспользуемся равенством |
|
|
|
|
|
|
|
lim хр+1е"х = О, |
|
|
|
|
|
х]-*- + оо |
|
из |
которого |
следуют |
|
неравенства |
х +1е~х < 8 и хв~хе~х < |
при всех X > |
X! > 1 , |
где х х зависит |
от е (е > 0 ). |
|
Представим / 2(р) |
в |
виде суммы |
|
|
|
|
|
|
зс, |
ОО |
|
|
|
|
/2(р) = |
J |
е~ххР~х dx-{- j* е-ххР-х dx. |
1X,
Вэтой сумме первое слагаемое есть определенный интеграл от не прерывной функции в промежутке [1, х х\, а второе слагаемое — несобственный интеграл, который сходится в силу признака Коши.
Д в а с в о й с т в а гамма-функции. 1°. Г (р + 1) = рТ (р). Можно доказать, что, применяя формулу интегрирования по ча стям, получим
ОО |
СО |
оо |
Г (р + 1 ) = j |
хре~хdx = — (хРе~х) | |
+ р J хР~хе~х dx = рТ (р). |
о |
о |
о |
Действительно, если р = п, то, применяя последовательно фор мулу Г (р + 1) = рг (р), получим
Г (/г -{- 1) = пТ (п) = п (п — 1) Г (п — 1) — . .. =
= п (п — 1) (п — 2) ... 2 • 1 = п ! Г (1).
СО
Здесь Г ( 1 ) = [ e~x dx-= lim (1 — е~ъ) = і.
Бета-функцией, или эйлеровым интегралом первого рода, назы вается несобственный интеграл, зависящий от параметров р и q,
определяемый равенством
1
|
В (р, g) = J жр_1 (1—x)i~l dx. |
(21) |
|
о |
|
|
|
|
|
Интеграл (21) сходится при |
р > 0, q > |
0; он связан |
с гамма- |
|
функцией равенством * |
|
Г(Р)Г(g) |
|
|
|
В(р, |
q) |
|
(22) |
|
г (p + q) |
• |
|
|
|
|
§28. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
165.Определенные интегралы, зависящие от параметра. Пусть
функция f(x, |
у) определена в прямоугольнике |
5, |
sg д, |
и интегрируема по х в [а, Ь] при каждом значении у из про |
межутка [с, |
д]. Тогда интеграл |
|
|
|
ь |
|
|
|
J{y) = \ f { x , y ) d x |
(1) |
|
|
а |
|
есть |
функция параметра у, определенная в |
промежутке [с, д]. |
Теорема 1. (о непрерывной зависимости интеграла от параметра).
Если функция / (х, у) непрерывна в прямоугольнике А, то инте грал (1) есть непрерывная функция параметра у в промежутке [с, д].
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из непрерывности / (х, у) как функции двух переменных в замкнутой области А следует ее не прерывность по X в [а, Ъ\ при каждом фиксированном значении у из [с, д] и существование интеграла (1). В силу теоремы Кантора,
/ (х, |
у) равномерно непрерывна в А. Это значит, что для каждого |
е > 0 |
существует такое ô (е), что для любых точек М 1 и М 2 из И |
при условии d (Mj, М 2) <;ô выполнено неравенство |
|
|
|/(М1) - / ( М 8) І < Т ^ 7 . |
• (2) |
В частности, это неравенство выполнено |
для |
точек |
М г (х, у) и |
М 2 (X, у + Ау), принадлежащих А и удовлетворяющих условию |
d (Мг, М 2) --= I Ар I < 0 . При этом приращение функции |
|
|
|
ь |
|
|
|
|
А |
I |
[/(ж, р + Ар) — f(x, |
y)]dx |
|
|
|
|
а |
|
|
|
удовлетворяет |
условию |
|
|
|
|
ь |
|
|
ь |
|
|
I А /| ^ j |
\f(x, |
p-f Ар) — /(х, у) I dz < j |
dx = е. |
а |
|
|
а |
|
|
Следовательно, |
величина А / бесконечно |
мала |
при |
стремлении |
Ар к нулю, а функция J (у) непрерывна в [с, д]. |
|
интеграла). |
Теорема 2 |
(о |
предельном переходе под знаком |
Если функция / (х, у) непрерывна в прямоугольнике А , то при лю бом р0 из промежутка [с, д\ имеет место равенство
ъь
lim j /( x , |
y)dx= [ [lim/(ж, y)] dx. |
(3) |
V -’■Vo а |
a V - Уо |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно обозначению (1), теореме 1 и непрерывности / (х, р) по р в точке р0 последовательно получаем
lim jь/ (х, |
р) dx |
lim J (у) = J (р0) -, |
V -+Vo а |
У ^ Vo |
Ъ |
|
b |
= f / (Ж- |
Р0) dx = |
f [ lim / (x, p)] dx. |
a |
a |
V ^ Vo |
Теорема 3 (о дифференцировании интеграла по параметру под знаком интеграла). .Если функции / (х, р) и f'y (х, р) непрерывны в прямоугольнике А, то существует в [с, д] производная интеграла (1) по у и имеет место формула
ъь
-57 J /(х, |
y)dx-^ l ^ - f ( x , |
y)dx. |
(4) |
a |
|
a |
|
|
Эта формула выражает |
так |
называемое |
п р а в и л о |
Л е й б - |
н и ц а. |
|
Фиксируем |
р и р + Ар |
в [с, д] |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
и преобразуем с помощью формулы конечных приращений (см. п. 34) разность / (х, у + Ар) — / (х, р) в интеграле
ь |
ъ |
A^ = j |
[/(ж, р + Др) — /(х, p)]dx = Ар | д ( х , p-f-ѲАр)dx. |
Разделим обе части равенства на Ау и, перейдя к пределу при стремлении Ау к нулю, получим согласно теореме 2 формулу (4)
dJ |
lim |
AJ |
ь |
lim \ f y ( x , y + Q/Ay)dx = |
dy |
A y - * |
О AУ |
Ay->0 " |
|
b |
|
b |
= / [lim fy(x, y + QAy)]dx= ffl(x, y)dx.
a ДУ "*■0 a
Рассмотрим интеграл, пределы которого и подынтегральная функция зависят от параметра у:
|
|
ь (У) |
|
|
|
|
|
К{у)= J |
f{x, |
y)dx. |
|
(5) |
|
|
О |
(у) |
|
|
|
Теорема 4. Если 1) / (х, у) и fy (х, |
у) непрерывны в А, |
2) |
а (у) |
и Ъ (у) дифференцируемы в [с, д] и принимают значения в |
[а, Ъ] |
при с ^ |
у «s д, то |
производная |
от интеграла К (у) по |
у |
суще |
ствует |
и равна |
|
|
|
|
|
|
ъ |
y)dx + f(b(y), у) Ь" (у) — /(а (у), у) а'(у). |
|
|
= |
(6) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Функция К (у) есть сложная функ ция у. К (у) = ф (у, b (у), а (у)). Согласно правилу дифференциро вания сложной функции имеем
|
|
dK |
дер |
|
дер |
db |
. |
дер |
da |
|
|
|
|
|
dy |
ду |
Ь |
db |
dy |
* |
да |
dy ' |
|
|
|
|
|
|
—■— |
fg {х, |
у) dx\ |
|
|
|
|
Согласно |
теореме |
3 |
J |
по |
теореме |
Барроу |
|
|
|
|
а |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем |
= f {Ъ, |
у) |
и | | |
= — ^ |
J |
/ (х, |
у) dx |
= —/ (а, |
у). |
От- |
сюда следует равенство (6). |
ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инте |
Теорема 5 (об интегрировании по параметру под знаком |
грала). Если функция f(x, |
у) |
непрерывна в прямоугольнике А, то |
имеет место следующая формула:
y)dx\^dy= <\j I J /(*, y)tfyjdr.
Докажем более общее равенство
при |
любом а |
из ]с, |
д]. Для этого'прежде всего убедимся в том, |
что |
равны производные по а от обеих частей равенства (8). |
Действительно, в силу теоремы Барроу, производная от левой |
|
|
ь |
|
Производная |
|
от правой части (8), |
части (8) равна J / (х, а) dx. |
|
|
|
а |
|
(4) и теореме |
|
Барроу, равна |
согласно правилу Лейбница |
|
|
Ъ I a |
] |
b I |
а |
1 |
Ь |
|
j/( * . |
v)dy\ |
d» = |
y)dy\ dx=\j f{x, a)dx. |
|
a ' - c |
‘ |
a ' |
c |
' |
a |
Поэтому обе части равенства (8) могут отличаться лишь по стоянным слагаемым. Но и это слагаемое равно нулю, потому что при a = с обе части (8) равны нулю. Этим доказано тождество (8).
При а = д из (8) следует равенство (7). Теорема доказана. Обе части формулы (7) представляют так называемые повтор
ные интегралы. В левой части (7) в н у т р е н н и й |
и н т е г р а л |
берется по Ï и является функцией у, в н е ш н и й |
и н т е г р а л |
берется по у в пределах от с до д и есть число. Это же число полу
чится, если интегрировать непрерывную в А |
функцию в другом |
порядке — сначала по у от с |
до д, а затем по ж от a до Ъ. |
Для повторных интегралов принято обозначение |
|
|
ь ( а |
\ |
|
ъ |
9 |
|
|
|
|
|
| П / ( ж , |
y)dy \ d x = §dx J /(ж, |
y)dy, |
|
|
o i e |
j |
|
a |
c |
|
|
|
|
|
d ( b |
\ |
|
d |
b |
|
|
|
|
|
J j J /(я, |
y)dx\ |
dy = {j |
dy § |
f(x, |
y) dx. |
|
|
c i a |
J |
|
c |
a |
|
|
|
П’р и м ер . |
Функция / (x, y) = 6x^y |
непрерывна |
в |
области: |
^ 3. |
Вычислим обе части (7), |
получим |
|
|
|
|
J |
dy j Çtx^ydx = |
xsy) |
J |
( |
2 |
|
3 |
|
|
= 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
J |
dx J |
6x*ydy= J |
(Зж2!/2) |
y=3 |
1 |
|
|
l |
|
d x = J I5x2dx = |
5x3 |
= 5. |
|
|
|
|
y=2 |
о |
|
|
о |
166. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Пусть |
/ (х, |
у) определена |
в полосе |
А: |
а ^ x |
оо, |
c ^ y ^ ô . |
Рассмотрим |
несобственный |
интеграл, зависящий |
от |
параметра: |
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
J(y) = l f{x, |
У) dx. |
|
(9) |
|
|
|
а |
|
|
|
|
Здесь |
сформулированы * |
некоторые |
достаточные |
условия |
* Доказательство см. в работе Г. М. Фихтенгольца «Основы матема тического анализа», т. II, пн. 304—306.
