Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 224

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

непрерывности,

дифференцируемости

и

интегрируемости

инте­

грала

(9).

 

1.

Если

 

і)

/

(х, у)

определена

и

непрерывна

(как

Теорема

 

функция

двух

переменных)

в

полосе

А,

2)

<р

(х)

интегрируема

в промежутке [а, оо), 3) \f(x,y)\

sg tp

(х) для всех х ^

а при всех

значениях у из

[с, д), то интеграл (9) является непрерывной функ­

цией у в [с, д].

 

1) / (х, у)

в полосе А

определена,

непрерывна

Теорема

2.

Если

и имеет непрерывную производную f'y(x,

у), 2) интеграл (9) сущест­

вует

для

всех

у

из

[с, д],

3)

ф (х) интегрируема

в промежутке

ta,

оо), 4)

Ify (х, г/)|

^

ф (х) для

всех

х ^

а

при

всех

значениях

у из

[с, öl,

то при любом у из

[с, д1 имеет место формула

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/(*>

y)dx = ^

 

 

y)dx■

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

o o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sm ax

 

 

П р и м е р

1.

Требуется

вычислить J (a)

 

 

 

Здесь

 

 

1

«

X

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выполнены все условия теоремы 2- Несобственный интеграл J (а) существует

в силу теоремы 3 п. 162, так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

е х,

---------smai

<_ е~х.

I a„.I, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) fa (х, а) = е х cos ах и | f’a (х, а) | sç е~х.

Согласно формуле (10) получим

 

 

 

ОО

 

00

 

1

 

 

 

/ ' (а) =

Ц

fâ (х, a) dx = J

е~х cos axdx

 

 

 

1+ a2

’

 

 

 

 

о

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно ,

/(a)=J -

da

— arctga + c.

Здесь

с= 0 , потому что при

а = 0

данный интеграл обращается в

нуль. Окончательно

имеем J (а) ~

= arctg а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

2.

Интеграл

J (а) =

с sism ах

сходится

при любом

У —

dx

а ф О

и равен /(<*) =

—

при

а > 0 * .

Но его

дифференцировать по фор-

 

 

 

 

 

 

 

 

о о

 

о о

 

муле

(10) нельзя, так как расходится интеграл

[ fa ( x , a ) d x = ^

cosax dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

(і

 

о

 

Теорема 3.

При

условиях теоремы 1

имеет место

формула

 

 

д

о о

 

 

с о

д

 

 

 

(11)

 

 

J dy

[

f(x,y)dx = J

dx J f(x, y) dy.

 

у

Теорема

4«

Если 1) / (х, у) определена и непрерывна при х 32 а,

^ с, 2) |/

(ж,

г/)|

<< ф (х) для всех

х ^

а при всех значениях у ^

с,

I/

(х, у) |< г() (у) для всех у ^

с при всех значениях х ^ а, 3) ф

(ж)

интегрируема в промежутке

[а,

оо),

г|з (у) интегрируема в проме­

жутке [с,

оо),

4)

существует хотъ один из интегралов

 

 

 

ОО

 

ОО

 

оо

оо

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

то имеет место формула

 

 

 

 

 

 

 

СО

оо

 

со

оо

 

 

 

 

с

а

 

а

с

 

Глава X

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В этой главе дано обобщение понятия определенного интеграла на тот случай, когда областью интегрирования является некото­ рая область плоскости, или некоторая область трехмерного про­ странства, или вообще область n-мерного пространства. При из­ ложении настоящей главы мы будем пользоваться интуитивным представлением площади и объема и не будем останавливаться на обосновании некоторых рассуждений, связанных с переходом к пределу.*

§29. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

167.Задачи, приводящие к двойному интегралу.

Задача о массе плоской пластины. Пусть плоская область А заполнена веществом с известной плотностью р (М). Требуется найти массу (количество вещества) всей материальной области — «пластины». Под плотностью вещества в точке М понимается предел средней плотности бесконечно малой части А, содержащей точку М.

Решение задачи состоит в выполнении следующих действий. 1) Разобьем область А произвольными гладкими линиями (рис. 111) на п элементарных частей ААХ, . . ., АА п, площади ко­ торых обозначим через AF x, . . ., AFn, диаметры — dlt . . ., dn, а наибольший из/диаметров обозначим Хп. Под диаметром области здесь и всюду ниже понимается наибольшее расстояние между

граничными точками этой области.

2) Желая получить приближенное выражение искомой массы, предположим, что в пределах каждого элемента плотность по-

стоянна и равна р (Nk) для элемента AA k, где N k — произвольная фиксированная точка этого элемента. При таком условии масса /с-го элемента будет приближенно равна Amk р (Nk)AFk.

3) Для массы всей пластины получим приближенное выраже­

ние

т ^ S P (Nk) &Fk.

h-l

Точность этого равенства тем выше, чем боль­ ше число элементов п и чем меньше диаметр каждого элемента; оба эти условия можно объединить в одном — чем меньше вели­ чина кп.

4) Масса пластинки (по определению) равна пределу суммы (1) при стремлении %п к нулю:

т = lim

2

P (N k) Ai'* =

J j P (М) dF.

^•п

0

f t - = l

А

(1)

(2)

Пределы такого

рода называются двойными интегралами

и обозначаются так,

как указано в правой части равенства (2).

П р и м е ч а н и е .

Точно так же, как эта задача, решаются

задачи о суммарном заряде, распределенном в области А с задан­ ной плотностью р (М), о давлении жидкости на дно сосуда, о коли­ честве световой энергии, падающей на

площадку А,

и

многие другие.

 

 

 

Задача

об

объеме

цилиндрического

бруса.

Пусть

дана

функция

/ (х , у),

непрерывная и

положительная

в пло­

ской области А, ограниченной гладким,

контуром I.

Требуется

найти объем те­

ла

В,

ограниченного

поверхностями

z — О,

z =

/ (х, у)

и

цилиндрической

поверхностью

с

образующими,

парал­

лельными

оси

 

Oz,

направляющей

ко­

торой

служит

контур I

области

А

(рис. 112). Такое тело называется ци­

линдрическим

брусом.

 

 

 

 

Ниже не только содержится решение задачи, но и дано опре­

деление понятия объема цилиндрического бруса.

 

 

 

 

Разобьем область А произвольными гладкими линиями на п

элементарных частей АА г,

ЛМ2, . . .,

АА п,

площади^ которых

обозначим соответственно через AF lt AF2,

. . .,

AFn,

диаметры —

di, d2, . . ., dn, а наибольший из диаметров обозначим символом Построим цилиндрические поверхности, направляющими ко­ торым служат линии деления области А, а образующие параллель­ ны оси аппликат. Эти цилиндрические поверхности разобьют

цилиндрический брус В на п элементарных

частей А В 1, А В 2, . . .

.... АВп.

. . ., АВп цилиндром

Заменим каждый из элементов А В г,

с плоскими основаниями, параллельными плоскости Оху. Нижнее основание цилиндра пусть совпадает с основанием соответству­ ющего элемента, а высота цилиндра равна одной из аппликат

элемента. Объем А-го цилиндра

будет равен / (Nk)AFk,

где

Nk — любая фиксированная точка AA k.

 

Просуммировав объемы всех' цилиндров, получим объем сту­

пенчатого тела, составленного из этих цилиндров:

 

a n - ^ iN ^ A F ^ r

. . . -\-f(Nn)AFn.

(3)

Н частности, если в каждой

из

замкнутых областей АА к вы­

брать наименьшую из аппликат тк, а затем наибольшую из ап­

пликат Мк, то можно

составить еще два ступенчатых тела с объ­

емами,

соответственно

равными

ѵп и

Ѵп, где

ѵп-

m1 АFx J- ... -і- тпAFn,

Vn -

М г AFy -1- ... + М п AFn.

Первое из этих тел содержится в области В, а второе содержит В,

причем ѵп ^ ап ^ Ѵп.

Желая сблизить величины ѵп и Ѵп, будем увеличивать число п, уменьшая при этом диаметры в с е х элементарных площадок

АА к. Пользуясь

непрерывностью

/ (М ), можно доказать,* что

существуют и равны между собой

пределы переменных ѵп и Ѵп

при Хп ->- 0 и эти

пределы не зависят от способа деления области

А на элементы. Следовательно, переменная оп имеет тот же предел:

Jim ѵп =

lim Vп = lim оп.

 

 

 

 

0

К -*0

-

0

 

 

 

 

Под объемом цилиндрического бруса В будем понимать предел

суммы объемов цилиндров оп при стремлении Кп к нулю:

 

 

F =

lim

2

f (iïk) AFk =

/(Af) dF.

(4)

 

 

 

0

 

A

 

 

168.

Понятие

двойного

интеграла.

Пусть

функция

f (х, у)

определена в некоторой конечной замкнутой области А,

ограни­

ченной гладким или кусочно-гладким контуром I.

 

Разобьем А произвольными гладкими линиями на п элемен­

тарных

частей АА ъ

. . .,

АА п с площадями

AFlt . . ., AFn

соответственно. Множество этих элементарных частей области А назовем разбиением 8п. Обозначим через \ п наибольший из диа­

метров элементов АА г,

. . .,

АА п.

Последовательность разбиений {ô„} будем называть нормальной,

если lim Хп = 0.

 

 

 

* См.: В.

А.

И л ь н ы

и Э.

Г. П о з н я к. Основы математического

анализа, гл.

11, §

2.

 

 

Смотрите также файлы