Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 221

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рассмотрим

произвольное разбиение 8п.

Выберем в каждом

элементе AAk разбиения ô„ произвольную

точку N k. Составим

произведение / (Nk)AFk.

 

('умма всех

таких произведений

 

 

* „ - £ / ( # * ) АП

(5)

 

k=l

 

называется интегральной суммой функции / (М), соответству­ ющей данному разбиению области А и данному выбору точек N.

О п р е д е л е н и е . Функция / (М) называется интегрируе­ мой в области А , если для каждой нормальной последовательности разбиений {б„} соответствующая последовательность интеграль­ ных сумм {оп} имеет конечный предел, не зависящий от способа деления А на элементарные части и от выбора точек N. Этот пре­ дел называется двойным интегралом от функции / (М ) по области А и обозначается символом

JJ / (М) dF --=lim

% f ( N k)AFk.

(6)

'А

0 ft=l

 

Сформулируем теорему * о достаточных условиях интегриру­ емости функции.

Теорема. Двойной интеграл (6) существует, если в конечной

замкнутой области А, ограниченной гладким или кусочно-гладким контуром, функция / (х , у) либо непрерывна, либо ограничена

иимеет разрывы лишь на конечном числе кусочно-гладких линий.

Сл е д с т в и е (из определения двойного интеграла). Двой­ ной интеграл от единичной функции равен площади FА области

интегрирования

 

И d F = FA-

т

Действительно,

если / (х, у) = 1 в области А, то оп = 2

AFk —

— FА и предел

постоянной FА равен этой постоянной.

 

Всякий двойной интеграл может быть истолкован физически, например как масса соответствующей пластины, и геометриче­ ски, например как объем соответствующего цилиндрического бруса, если / (х, у) положительна в области А.

169. Свойства двойного интеграла. Эти свойства аналогичны свойствам определенных интегралов (п. 154) и доказываются, опираясь на определение понятия двойного интеграла, в предпо­ ложении, что речь идет о функциях, интегрируемых в соответ­ ствующих областях.

* Доказательство см. в работе В. И. Смирнова «Курс высшей матема­ тики», т.. II, § 9.

1°. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла:

j j cj(M)dF = cl \f { M ) d F .

А

А

Действительно, 1

U

cfdF = \im'^i cfkAFk = c \ i m ' ^ f k AFk= c | | fdF.*

А

А

А

А

2°. Двойной интеграл от алгебраической суммы функций равен соответствующей сумме интегралов от слагаемых. Например,

11 [/ т і-g (M)] d F = \ \ f { M ) dF\ -f 11 g (M) dF.

A A A

Действительно, это равенство получается в результате пре­ дельного перехода при Хп -> 0 в соотношении

2 (/*+Sk)

k—2 fk &Ffe+2 gk &k-

А

А

А

3°. Если облаетъ А

разложитъ

на конечное число частей,

то двойной интеграл по всей области А равен сумме интегралов по всем ее частям. Например,

l \ f { M ) d F = \ l f [ M ) d F + \ \f { M )d F .

А.Ai Аг

Действительно, если перейти к пределу при %п -> 0 в равенстве

2 ДАЛ

= 2 /*А*й +

2

то получим доказываемое соот-

А

А 1

А%

 

ношение

между интегралами.

 

4°. Если в замкнутой области А функции / (М ) и g (М) не­ прерывны и удовлетворяют соотношению f (М ) Д> g (М), то имеет

место неравенство j[ / (М ) dF

g (M) dF.

À

А

Действительно, согласно теореме Вейерштрасса (см. п. 123),

в области А есть точка М 0, в которой функция со (М) = / (М ) —

— g (М ) достигает наименьшего значения, т. е. выполнено не­ равенство со (М ) ^5 со (М 0) > 0 для всех точек области А. Соот­ ветствующие интегральные суммы для со (М) и со (М0) подчинены

соотношению ап ^ со (М0) FА, где FA — площадь

 

области А.

В результате предельного перехода при

-> 0 в

этом неравен­

стве получим соотношение j[ соdF

со (М 0) FA Д>0. Отсюда пря-

А

 

 

 

 

мо следует доказываемое неравенство.

 

 

 

Можно доказать, что если / (M) ^

g (М), то

\\fdF ^\\ gd F .

 

 

 

А

А

* Символ 2 fk&Fk означает интегральную сумму для / (М) по области А.

А

5°. Теорема (об оценке интеграла). Абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины под­ ынтегральной функции

 

 

I

l l l ( M ) d F ^ ^ \ f ( M ) \ d F .

 

 

 

 

I

л

л

 

 

 

 

Для доказательства достаточно перейти к пределу при Хп -*■О

в

неравенстве | 2 /

(Nk)&Fk I

2 I / (Nk) I &Fk-

 

 

 

 

A

 

A

 

 

 

 

6°. Теорема (о среднем значении). Если / (М ) и g (М ) непре­

рывны в конечной замкнутой области A u g

(М )

знакопостоянна

в

А,

то имеет место формула

 

 

 

 

 

l \f {M )g {M )d F = U M * ) l lg [ M ) d F

(М*еА).

(8)

 

 

*А

 

А

 

 

 

 

В

частности, при g (М ) =

1 в А имеем

 

 

 

 

 

 

j j ' f ( M ) d F - f ( M * ) F A.

 

 

(9)

 

 

 

А

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно теореме

Вейерштрасса

(см. п. 123), в замкнутой области А функция / (М ) достигает своего наименьшего значения р и наибольшего значения q. Поэтому вы­ полняется неравенство р sg / (М ) sç q. Умножим его на g (М ) (пусть для определенности g(M) >>0) и, интегрируя по области А, получим

P JJgdÆ’sS ^ f g d F ^ q

^ g d F .

A

A

A

Разделим все члены этого неравенства

на двойной интеграл от

g (М). Получим р

р, q, где

 

(10>

ÀА

Здесь, в силу теоремы Коши (см. п. 123), число р есть одно из

значений функции / (М) в А, т. е. р == / (М*), где М* Ç А. По­ этому из (10) следует формула (8). Теорема доказана.

В соответствии с равенством (9) под средним значением функции у — / (М) в области А понимают отношение двойного интеграла к площади области А:

АА

170.Вычисление двойного интеграла в декартовых коорди­ натах. Пусть функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике А,

заданном неравенствами a ^ x s ^ b , с ^ у ^ д . Данная функция интегрируема в А , поэтому двойной интеграл от / (ж, у) по области А не зависит от способа деления А на элементы и от выбора точек Nk. Разобьем А на элементы прямыми, параллельными координат­

ным осям (рис. ИЗ) и проходящими через точки

х г,

. .

хт_ г

оси Ох

и

точки у г, .

. ., ур_х

оси

Оу.

Тогда

площадь элемента

&Ак будет

равна

AFk = AxtAу-р где Axt = xt— xt_u

Ayt- = у,- — г/м .

Выберем в AAk точку Nk (xt, у/).

 

Интегральную сумму

оп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

представим

в виде

следующей

 

 

 

 

 

 

 

 

повторной суммы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<Ti=È f ( K k )àFk =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гг

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2 Ь Х і

2 /

( X h

у,) Ayj.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=l

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Внутренняя сумма при каж­

 

 

 

 

 

 

 

 

дом фиксированном і есть ин­

одной переменной / (xh у),

 

тегральная сумма для функции

которая

непрерывна и, следовательно,

интегрируема

в [с, д]. Эта сумма при Х1р -»- 0 (где

р — наиболь­

шее из I Ауг \,

. . .,

I Аур I) имеет конечный предел,

равный

 

 

 

lim

V

/ 0*4.

 

 

 

y)dy = Ф(х{),

 

 

 

 

2

 

 

 

 

( И )

 

 

hp-* 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѳ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Ф (х)=\

f (х,

у)dy. Отсюда следует равенство

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

Уj) &Уі = ф ( x ù

+ Щ,

 

 

 

 

 

 

 

 

2 / 0О,

 

 

 

(12)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где а,- — бесконечно малая

при

Х1р

0.

Теперь сг„ можно

пред­

ставить в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а п = 2

Ф (х і )

^ х і + 2

а і Ажг.

 

 

 

(13)

 

 

 

 

 

 

г=1

 

 

і= 1

 

 

 

 

 

Докажем,

что второе слагаемое

правой части

(13)

стремится

к нулю

при

%1р

 

0.

Из

(И)

и (12) следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щ — 2

/0*Ф Уі)ЬУі— j

/О**.

 

 

 

 

 

 

 

 

>1

 

 

 

 

У і - 1

Преобразовав каждый из этих интегралов по теореме о среднем, получим

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аІ

 

2

\Яхі, Уі) — Нхі, у,-*)1 Д у / .

 

 

 

 

 

 

 

 

j-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть 8 — любое положительное число. Согласно равномерной

непрерывности

 

/ (xt,

 

у)

в

промежутке

[с, öl

существует

число

ô > 0

такое,

что

| / (xt,

P

yj)

 

— f ( x .,

yjt_)| < е

при

|Xlp| < ö .

Поэтому

имеем

| а,-1 <

 

Az/y — е (5 — с). Следовательно,

 

е 2

 

 

 

га

 

 

 

 

і=і

 

га

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

«/ А*<

<

е (<9 — с) 2

Ажг-

е (д —с) (Ь —а),

 

 

 

 

і =1

 

 

 

 

 

 

 

 

І=1

 

 

 

 

 

 

и наше утверждение

доказано.

 

 

 

 

 

 

Первое слагаемое

правой части

 

 

 

 

 

 

равенства

(13)

 

при

 

К2т -> 0,

где

 

 

 

 

 

 

Хіт — наибольшее

 

из

 

{|Дж,-|},

 

 

 

 

 

 

имеет предел,

равный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

га

 

 

 

 

 

Ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

2 Ф (Xj) Axt=

 

( ф(х)0ж,

 

 

 

 

 

 

^2m-” 0 *

1

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как Ф (х) непрерывна.

если

 

 

 

 

 

 

Отсюда

следует,

 

что

 

 

 

 

 

 

диаметры

всех

элементов

ДЛ k

0 и

\ 2т -> 0), то

предел оп

стремятся

к

нулю

(при

этом

 

Х1р

 

ь

Ф (х)

dx.

 

 

 

 

 

 

 

внимание определение

Ф (х),

равен

J

Принимая

во

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим окончательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j f ( x , y ) d F

= ^ d x j f ( x , y ) d y .

 

 

(14)

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

а

с

 

 

 

 

 

Таким образом, вычисление двойного интеграла сведено к вы­ числению соответствующего повторного интеграла. Можно дока­

зать,

что формула (14) верна и для кусочно-непрерывной функции

1 (х,

у).

С л у ч а й к р и в о л и н е й н о й о б л а с т и . Пусть функ­

ция / (х, у) непрерывна или кусочно-непрерывна в области А , заданной неравенствами

a ^ x s c b , уг (х) у у2 (х), (15)

где у 1 (х) и у2(х) непрерывны в [а, Ь\. Заключим область интегри­ рования А в прямоугольник В: а ^ Ь, с ^ у д, где с — наименьшее значение Ух(х) в [а, Ь], а д — наибольшее значение

Смотрите также файлы