Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл (23,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 222

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Уъ{х) в [а, b] (рис. 114). Определим в этом прямоугольнике функ цию /* (х, у) следующими равенствами:

(/ (я, у), если точка' (х, у) принадлежит А,

f* (х’ у) = {[ 0 во всех других точках прямоугольника В. Функция /* (х, у) кусочно-непрерывна в прямоугольнике В. Со гласно формуле (14) имеем

I 1 1* (ж, у) dF = Jи dx Jи/* (х, у) dy.

Отсюда следует формула

Уг (ж )

U /(*.	y)dF = §dx	J f{x, у) dy.	(16)
А	а	у, (ж)

Действительно, в соответствии с определением /* (ж, у) имеем

1) ^ U d F = ^ U d F			U d F = l [ f { x , у) d F ,
В	А		В-A			А
в	у,		г/г	в			г/г
2) j /*rfÿ =	\ f * d y	+	j i * d y +	j	f*dy--= j			fdy,
			потому что равны нулю интегралы
			по	области			В — А			и по проме
			жуткам			[с, г/Д и [у2, д),					где /* =
			=	0.	Отсюда				следует		равен
			ство (16).						интегрирования
				Если		область			интегрирования
			задана			неравенствами					с ^ у ^
			то,	д,	х г(у) ^ х			^	х 2 (у) (рис. 115),
			то,	меняя			в	формуле (16) роли
Pue.	115.		х и		у,	придем			к	аналогичной
			формуле
			9	Ж2 ( У )
	J J /f c .	y ) d F = lj d y			j	f(x,	y)dx.				(17)
	A		с	ж, (y)

В частности, если область интегрирования есть прямоугольник 5 г ^ 6, с sg у SÇ д, то согласно (14) и (17) имеем

		в	д	ь
j j f ( x ,	y)dx = j	dx Jf(x,	y)dy = j d y j f ( x , y)dx.
A	a	с	c	a

Выражение dF = dx dy называется элементом площади в де картовых прямоугольных координатах.

Сформулируем основную формулу (16) в виде правила приве дения двойного интеграла к повторному. Пусть область А пере

секается прямыми, параллельными оси Оу, не более чем в двух точках.

1)	Проектируем область А (т. е. все ее точки) на ось Ох; полу
чим	промежуток {а, Ъ\, в котором изменяется	переменная		х.
2)	Составим уравнения контура области А : у	=	у г(х) и у	=
= Уъ(х). Для этого при каждом фиксированном в		[а,	Ъ\ значении
х 0 проводим прямую X = х 0, параллельную оси Оу,			и находим

ординаты Уі{х0) и у 2(х0) точек пересечения этой	прямой с конту
ром I.
3) Составим повторный интеграл согласно (16).
Формулы (16) и (17) выведены при условии,	что область ин

тегрирования А пересекается прямыми, параллельными оси Оу (соответственно Ох), не более чем в двух точках. Если это условие


нарушено,		то А разбивают на части рассмотренного выше вида,
вычисляют		интегралы			по	этим частям			и,
сложив	результаты,			получают интеграл по
всей области А.
П р и м е р.			Вычислить		двойной интеграл				от
функции / (X, у)			= 2ху по замкнутой области А , оп
ределенной		неравенствами я2 +				у 2 ^ 2х		и у ^	0.
Первое из	этих		неравенств		определяет			круг,	ог
раниченный окружностью (X — I)2 +							У2 =	1; второе
неравенство		определяет		верхнюю			полуплоскость,

включая ось абсцисс. Поэтому область А есть полукруг (рис. 116). Границу

области можно представить уравнениями					у	= [0	и у = V 1 — (х — I)2 при
0 =£: *	2.	По формуле (16) имеем
				2 у=УЧ Х - Х *
			/ = j" j" 2xydF — J dx			J"	2xydy.
			A	0	y =0
Последовательно			интегрируя,	получаем
			y = V 2 X - X ‘
		J =		dx =
			y=o
Этот же двойной интеграл можно вычислить по формуле (17)
	1	x -1+Уг-уг		1	_____		____
J =	j dy	j	2xydx— § y [(l + Kl —y2)2 —(l —Vl — y2)2\dy =
	®	x ~ i - У 1 ~ уг		0
				1
			= 4	j y K — y2A/l		= -\|-.

171. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

При вычислении двойного интеграла (6) в полярных координатах область А разбивается на элементы координатными линиями полярной системы координат, т. е. дугами окружностей с центром в полюсе и лучами, исходящими из полюса (рис. 117). Такое

разбиение допустимо потому, что / (х, у) интегрируема в А, и по этому величина интеграла не зависит от способа разбиения области А на элементы.

Две пары близких координатных линий г и г + Дг, <р и ср + -г Дф ограничивают элементарную часть области А, предста вляющую криволинейный четырехугольник. Его можно принять приближенно за прямоугольник со сторонами Дг и гДф, площадь которого равна AF — гДгДф. Поэтому двойной интеграл ((>) можно представить в полярных координатах в виде такого пре дела:

J ^ \ \ f ( x ,	У)dF = lim 2 /( ^ b yk)AFk =
А	- О А
= П т 2	/ ( г * cosфь /ДщтфД/д, Дтд, Дф*,.

Здесь правая часть есть двойной ин теграл от функции / (г cos ф, г sin ф) г. Отсюда следует формула вычисления двойного интеграла в полярных ко ординатах

j j / O o	У) dF —
А
- Я « гсовф,	/■sin ф) г dr сйр. (18)
А

Выражение dF = г dr <іф называется элементом площади в по лярных координатах.

Для вычисления интеграла (18) путем сведения его к повтор ному интегралу можно применить правило п. 170, учитывая, что роль переменных интегрирования играют г и ф. Таким образом, приходим к равенству

ß гг (ф)

	/(*, У) dF ~ j d(f j			/( гсоэф,	г э т ф ) / - ^ ,		(19)
	А	а	г і'(ф)
где а	и ß — соответственно		наименьшее и		наибольшее		значения
переменной ф в области А;			г =	r1(q>) и	г = г2(ф) — уравнения
границы А (см. рис.		117).
В случае, когда область А ограничена координатными линиями
полярной системы координат ф = а, ф =					ß, г =	гх, г = г2, пре
делы	интегрирования	в формуле (19) получатся				постоянными.

Именно поэтому вычисление двойного интеграла в таких случаях целесообразно, вообще говоря, в полярных координатах.

П р и м е р 1. Вычислим интеграл примера п. 170 в полярных координатах. Полюс выберем в точке (1, 0), т. е. в центре полукруга А, а полярную ось направим вдоль положительного направления оси Ох. В этой системе коор динат область А характеризуется неравенствами О ^ ф ^ я , 0 ^ r = ç : l .

Формулы связи	с декартовыми координатами суть х = 1 + г cos ф,
у =; г sin ф'. В полярных координатах		получим
/	= J J 2ху dF = J J 2 (1 4-	г cos ф) г sin ф • г dr d(p —

АА

Я	1			я
^:2^зіпф йф	^	/-2 ( 1 + г cos ф) dr =-2		^ sin Ф ^	+	J	cos Ф^) Йф = — .
о	о			о			;/2 sg Л2, то по фор
ГІ р и м е р 2.	Если / (х, у) =		1 внутри круга х2 +				;/2 sg Л2, то по фор
муле (19) получим,		что площадь круга		равна
		2 Я	R	R2
		I		R2
		I	j г dr - =2л •		=	лД2.
		О	О

172. Интеграл Эйлера—Пуассона.* Так называется следующий интеграл:

I е х dx — lim

e*dx .

(20)

Он встречается, например, в теории веро ятностей и статистической физике. Дока жем, что он сходится, и найдем его величину.

Для этого рассмотрим переменную е~х2~у‘ в
областях	А, В	и С (рис. 118), где А —
четверть	круга	радиусом R,	,В — квадрат
со стороною R,		содержащий	А, и С — чет
верть круга радиусом В ]/2,			содержащая В.	Рис. 118.