Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 218

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Соотношение (21) теперь примет вид

2) <

dx

- 2 R

 

Крайние члены этого неравенства при R -> оо стремятся к

Поэтому в силу теоремы о пределе сжатой переменной (см. п. 15) средний член неравенства имеет тот же предел, что и крайние члены. Следовательно, сходится интеграл (20) и он равен

Sе-х' dx — lim î dx = Vn ( 22)

R -* оо 2 *

173. Системы криволинейных координат на плоскости. Под системой координат понимают совокупность условий, определя­ ющих положение точек линии, поверхности или пространства с помощью систем чисел. Эти числа называются координатами

точки в

соответствующей

системе координат (см. начало гл. IV,

а также

пн. 62, 89, 97).

 

Рассмотрим две системы координат на плоскости — декартову

прямоугольную систему (х,

у) и какую-либо другую систему (и, ѵ).

Обозначим через х и у координаты точки М в системе (х, у), а через и и V — координаты этой точки в системе (и, ѵ).

Докажем, что имеет место функциональная зависимость между

координатами точек плоскости

в рассматриваемых системах

х = х(и,

ѵ),

у — у (и,

ѵ),

(23)

и ^ и (х,

у),

V V (х,

у).

(24)

Действительно, паре чисел и,

ѵ соответствует точка М,

а точке

М соответствует пара чисел х, у; отсюда следуют зависимости (23). Так же устанавливаются функциональные зависимости (24).

Предположим, что правые части равенств (23) и (24) суть не­

прерывно дифференцируемые функции своих аргументов, а

функ-

циональный определитель

не обращается в нуль пи в одной

точке плоскости, отличной от начала координат.

называется

Координатной линией

системы координат

(и, ѵ)

геометрическое место точек, где координата и или

ѵ сохраняет

постоянное значение. Пусть точка М 0 имеет координаты и0 я

ѵ0

в системе (и,

ѵ). Через точку М 0проходят две координатные линии

и =

и0 и г =

ѵ0. Уравнения этих координатных линий в декарто­

вой

системе

координат суть и (х, у) ~ и0 и ѵ (х, у)

= ѵ0.

 

Параметрические уравнения этих координатных линий полу­

чим с помощью равенств (23); уравнения линии и: х

= х

“-О! ѵ ) ,

у =

у (и 0, ѵ), уравнения

линии ѵ : х = х (и,

ѵ0), у

= у

(и,

ѵ0).

Две координатные линии одного семейства,

например

и =

иГі

и и = и1 Ф и0, не имеют общих точек, потому что в противном случае в общей точке координата и имела бы два различных зна­ чения и0 и иг, что противоречит условию определенности коорди­ нат в каждой точке плоскости.

Каждая координатная линия одного семейства пересекается с каждой линией второго семейства, и притом только в одной точке.

Действительно, координатные линии и =

 

=

их и

V =

ѵх

пересекаются

в

точке

 

М 1(и1, ѵх)

и

только

в ней. Если бы они

 

пересекались

еще

в

точке М 2,

 

отлича­

 

ющейся

от

МX, то

точка

М 2 имела

бы

 

те же координаты, что и Мр, это противо­

 

речит определению систем координат.

 

 

 

Через

каждую

точку

М 0 плоскости

 

проходят только две пересекающиеся

ко­

 

ординатные

линии

различных

семейств

 

н =

н0 и

V =

ѵ0,

которые

и определяют

р ис. И 9 .

координаты

и0 и

ѵ0 точки М 0 в

системе

 

(и,

ѵ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например, в декартовой системе координат координатными

пиниями

служат

прямые,

параллельные

координатным осям.

В полярной системе координат координатными линиями являются полупрямые, исходящие из полюса системы, и окружности с цен­ тром в полюсе (рис. 119); через каждую точку М 0 плоскости, кроме

полюса, проходят две координатные линии

различных

семейств

 

Ф =

ф0

и

г — г0,

которые

пересека­

 

ются под прямым углом.

 

 

ор­

 

Система

координат

называется

 

тогональной, если ее координатные

ли­

 

нии

пересекаются

 

только

под прямым

 

углом. Ортогональными

являются,

на­

 

пример,

декартова

прямоугольная и

 

полярная системы

координат.

 

 

 

Система

координат называется кри­

 

волинейной,

если

среди

ее координат­

Рис. 120.

ных линий имеются кривые. Напри­

мер,

полярная

система

координат —

криволинейная, а

декартова

система — прямолинейная.

 

Э л е м е н т п л о щ а д и в к р и в о л и н е й н ы х к о ­

о р д и н а т а х .

Рассмотрим

плоскую

фигуру

M 0MXM 2MS

(рис. 120), ограниченную двумя парами бесконечно близких координатных линий, которые определяются соответственно урав­ нениями и — и0, и — и0 -f- du,v = v0, V — ѵ0 + dv. Площадь AE этой фигуры зависит от координат и0 и г;0 точки М 0 и прира­ щений координат du я dv. Величины М 0М х и МЮ3 суть прира­ щения дуг координатных линий, соответствующие изменению координаты и на величину du и ѵ на dv. Координаты вершин рассматриваемого криволинейного четырехугольника найдем

с помощью формулы Тейлора члены разложения). Получим высших порядков следующие

(сохранив

в

ней лишь младшие

с точностью

до

бесконечно малых

приближенные

выражения:

x g =—X (W-Qî Vo),

= -f

*1 = X (Ug - d u , x 2 == X (Ug -{ - d u , Ущ- ;=y K --j-d u ,

ж3= X(Ug, V0 +

 

Уо = - - y ( u 0’

Vo)'

V0) ' ^ X g -(- x'u d u ,

У і ^ * y 0 -Г y U d u ,

v o~\ - d v )

:Ï ^ X g + X и’ d u

!

x'v d v ,

- d v )

^ У о - г У

и d u

\

y'v d v ,

d v ) ? Xg -f x'v d v ,

У з - ^ У о + У г d v .

Mg

N x

N 2

N 3

Справа имеем координаты некоторых точек М 0, ЛД, N 2 и N 3. Отсюда следует, что четырехугольник М 0М ХМ 2М3 (с точно­

стью до бесконечно малых

высших порядков) есть п а р а л л е ­

л о г р а м м М 0N XNoNs.

Действительно,

x2 —xx--=x'vdv:=x3 — x0, у2 — г/і = у'vdv---= у3 — у0.

Следовательно, отрезки N XN 2 и M 0N3 равны и одинаково напра­ влены; то же верно и для отрезков M 0N Xи N3N 2; отсюда следует наше утверждение.

О п р е д е л е н и е . Величина площади указанного паралле­ лограмма называется элементом площади в криволинейных коор­ динатах. Обозначим ее dF.

Для нахождения этой величины воспользуемся выражением площади треугольника в виде определителя (см. п. 67)

1

î

1

 

1

d F = 2 S ^ NiNiiNa = ±

x 2

x s

— ±

Xi

Уі

Уі

Уз

 

Уі

x u d u

— x'v d v

1

X'u

— ± У a d u

— y ' v d v 1= H=

УU

0

0

X2 -- x x

X3 — x 2

y %-- У і

Уз — Уз

Xv

 

d u d v .

 

Уѵ

 

Получено следующее выражение элемента площади в криво­ линейных координатах:

dF=\D\dudv,

(25)

где D есть функциональный определитель, соответствующий пере­ ходу от криволинейных координат к декартовым по формулам (23)

п

D (т, у)

X u

X v

~

D (и, V)

 

(26)

УU

Уѵ

 

 

В частности, в декартовых координатах имеем и = х, ѵ — у, поэтому D = 1 и

dF ----- dx dy.

(27)

В

полярных

координатах

 

имеем

х ------ г cos ср,

у

= г sin <р,

поэтому

D

-= г,

и

согласно

(25)

элемент

площади

в

полярных

координатах равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dF = г dr сйр.

 

 

 

 

 

(28)

З а м е ч а н и е .

Формула (25) позволяет выяснить геометри­

ческий смысл якобиана D. Рассмотрим отображение области В

плоскости Оиѵ (в которой и и

V трактуются как декартовы коор­

динаты) на область А плоскости Оху, определяемое формулами

(23). Это отображение переводит лежащий в В бесконечно малый

прямоугольник,

ограниченный

прямыми

и = и0,

и =

 

и0 + du,

V =

v0,

V =

VQ + dv и имеющий площадь dF = dudv,

 

в парал­

лелограмм^ площадь которого согласно (25) равна dFг --=\D \ du dv=

= \D\dF.

Следовательно, \D\

 

представляет

собой

коэффициент

растяжения площади в точке (и0, ѵ0) при

отображении

области

В на

А

согласно

равенствам

(23).

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р .

Преобразование

х

- --

г cos ср, у

=

г sin ср переводит прямо-

угольник

В :

Ог^ср ^

Я 0 ^

г ^

Д

плоскости Oq>r в четверть круга А:

•г2 +

У2 «S R 2 плоскости Оху. В этом случае D =

г. Поэтому элементарные

прямоугольники области В, соответствующие разным г, преобразуются в че^

тырехугольники области А , имеющие разные площади.

 

 

 

174.

 

Вычисление двойного интеграла в криволинейных коор­

динатах.

Задача

состоит в

том, чтобы

в двойном

интеграле (6)

перейти

к

криволинейным координатам и,

ѵ, которые

связаны

с декартовыми координатами х, у формулами (23).

 

 

 

Пусть правые части формул (23) удовлетворяют условиям,

сформулированным в п. 173.

Предположим,

что функция / (х, у)

интегрируема

в области А,

ограниченной гладким (или кусочно­

гладким контуром). Это условие обеспечивает существование

рассматриваемого

интеграла

и тем самым

независимость его от

способа деления области А на элементарные части.

Для решения поставленной задачи разделим А на элементы координатными линиями системы координат (и, ѵ). При этом получим элементы двух видов: 1) элементы АП, ограниченные только координатными линиями, и 2) ДА', ограниченные не только координатными линиями. Элементы вида АА' мы не будем прини­ мать во внимание при составлении интегральной суммы, потому что они не окажут влияния на величину двойного интеграла.

Элементы вида АА мы заменим параллелограммами, о которых шла речь в конце п. 173 и для площадей которых dF установлена формула (25). Такая замена криволинейных четырехугольников, соответствующими бесконечно близкими параллелограммами так-,

же не окажет

влияния * на величину двойного интеграла.

* См.: Б. М.

Б у д а к и С. В. Ф о м и н. Кратные интегралы и ряды.

28%

Таким

образом, с помощью определения двойного интеграла

и формул

(23) и (25) получим

П / (х, у) dF = lim 2 / (®ъ Vk) &Fk =

АА/.-0 А

= lim

S / СФ*. Щ ), У (“ь ^)) I D I Ди* Ап*.

кц-*

ОА

Здесь правая часть есть предел интегральной суммы по области А для функции / (х(и, ѵ), у (и, v))\D (и, ѵ) \. Поэтому окончательно имеем

J J f{x,

y ) d F — f j f(x(u , v), у (и, v ) ) I D (и, v)\dudv. (29)

A

A

Формула (29) называется формулой замены переменных в двойном интеграле. Пределы интегрирования по переменным и и ѵ за­ висят от вида области А и определяются аналогично тому, как это было указано в п. 171 для случая полярных координат.

П р и м е ч а н и е . Иногда переменные и и ѵ трактуют как прямоуголь­ ные координаты, и тогда формулы (24) дают преобразование плоскости, при котором точка, имевшая прямоугольные координаты х и у, преобразуется в точку с прямоугольными координатами и и ѵ. Такое преобразование ото­ бражает область А в новую область А х. При такой точке зрения интеграл в правой части (29) берется по области А 1.

 

П р и м е р . Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Л

4 - Л = 1

аА

^ Ь2

 

Р е ш е н и е . Введем обобщенные полярные координаты, положив х =

= ar cos cp, у = Ъг sin ср. В этой системе координат эллипс является коорди­

натной линией г =

1. В нашем случае якобиан равен

 

 

 

D (х,

у)

-fa cos ф,

—ar sin ф

 

 

 

D (г,

ф)

Ьsin ф,

Ъг cos ф

 

 

И по формуле

(29)

получим

 

2

П

1

 

 

 

J СdF = J

 

 

 

F =

§ abrdrd<p= ab J

dy

J rdr = nab.

(30)

 

 

A

 

Л

0

 

0

 

175.

Приложения двойного интеграла. Приложения

двойного

интеграла в

науке

и технике необъятны. С некоторыми из

них

мы встретились в п. 167. Остановимся на некоторых приложениях в механике.

Рассмотрим материальную поверхность, т. е. плоскую область А, на которой распределено некоторое вещество с плотностью р (М ) (см. п. 167). Функция р (М ) предполагается непрерывной или по крайней мере интегрируемой в А. Разобьем А на элемен­ тарные части. Элементарная масса равна dm = рdF. Элементар­ ные статические моменты относительно координатных осей опре­ деляются равенствами

dSx = ydm , dSy — xdm.

Смотрите также файлы