Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 219

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Поэтому для всей области А получим

 

 

m==^ P dF'

Sx = ^ y p d F ,

S„ = §\xpdF.

(31)

-т

A

À

 

Согласно определению центра тяжести системы материальных точек (см. п. 161) выполняются условия тхс — Sy, тус = Sx. Следовательно, центр тяжести материальной области А имеет координаты

X

(32)

где величины, входящие в правые части, определяются формулами (31).

Элементарные моменты инерции относительно координатных осей определяются равенствами

d jx= y‘l dm,

dJy = x2‘dm.

 

Поэтому моменты инерции всей фигуры будут равны

 

Jx= 11 у2р dF'

Jy = ^ \ x2?dF.

(33)

 

в

 

П р и м е р . Для однородного (р=1) полукруга х2 +Гу* ^

R 2, у ^ О,

имеем

h

 

я

 

Sy=jj§xdF— J dtp J r2cos(pdr=0,

A

0

0

яH

Jy = J Ц x2dF\= Çdq>

(r cos cp)2 r dr = —■nR*.

Ao o

§ЗОГДТОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

176.Понятие тройного интеграла. Пусть функция / (х, у, z) определена в некоторой трехмерной конечной замкнутой области В,

ограниченной гладкой или кусочно-гладкой поверхностью S. Разобьем В произвольными гладкими поверхностями на п элементарных частей ДВ^ . . ., ДВп с объемами Дтх, . . ., Дт„ соответственно. Множество этих элементарных частей области В назовем разбиением 8п. Обозначим через наибольший из диаме­

тров элементов ДВ г, . . ., ДВ„.

Последовательность разбиений {ô„} будем называть нормаль­ ной, если lim Хп = 0.

п -*■ СО _

Рассмотрим произвольное разбиение ô„. Выберем произволь­ ным образом в каждой элементарной части ДBk, входящей в состав

разбиения, по одной точке Nk. Составим' произведение / (Nk)ДтА. Сумма всех таких произведений

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

° n

=

' L

f (

N k ) A x k

 

 

(1)

 

 

 

h=1

 

 

 

 

 

называется интегральной

суммой

функции

/ (М),

соответству­

ющей данному разбиению области В и данному выбору точек N.

О п р е д е л е н и е .

Функция / (М ) называется

интегриру­

емой в области В,

если

для

каждой нормальной

последователь­

ности разбиений

{ô„}

 

соответствующая

последовательность

интегральных сумм {ап}

имеет

конечный предел,

не

зависящий

от способа деления В на элементарные части и от выбора точек N.

Этот предел называется тройным интегралом от

функции / (М)

по области В и обозначается символом

 

 

 

\ \ \ f { M ) d x =

Ніи

2 /Т О

Ат*.

 

(2).

 

В

 

 

 

 

h- 1

 

 

 

Теорема. Функция / (М) интегрируема в конечной замкнутой области В , если / (М) либо непрерывна в В , либо ограничена и имеет разрывы лишь на конечном числе кусочно-гладких поверхностей.*

Аналогично определяется многомерный интеграл от функции п переменных / {хг, . . ., хп) по н-мерной области D как предел соответствующей интегральной суммы

И '

• ■•’

Z„)*Ö=

lim

2

f{Nk)A<ùk.

D

 

 

Xn -

0

f t = l

 

С л е д с т в и е .

Из определения следует,

что при / (Æf) -TEE 1

в £? интегральная

сумма

ап = 2

Ат/г =

 

FB

постоянна и равна

объему области В. Поэтому тройной интеграл от единичной функ­ ции равен объему области интегрирования

Ш

* “ г ,

(3)

в

 

 

Одно из возможных физических истолкований тройного инте­ грала заключается в следующем. Пусть в области В распределено вещество с плотностью р (М). Требуется определить массу (коли­ чество) вещества, содержащегося во всей области В. Задача ре­ шается путем деления В на элементы ABk. Приближенно масса элемента ABk равна Amk я« р (Nk)Axk, а масса всего тела равна

* Доказательство см. в работе В. И. Смирнова «Курс высшей матема­ тики», т. II, § 9.

т *=а 2k р {Nk)k-Xk- В результате предельного перехода при Хп -* О получим точное значение искомой величины

т = / ! f Р(М) dr. 'в

Каждый тройной интеграл (2) можно трактовать, например, как количество некоторой физической величины, распределенной в области В с плотностью р (М).

Тройные интегралы обладают свойствами, аналогичными свой­ ствам двойных интегралов (п. 169). Эти свойства устанавливаются на основе определения так же, как в п. 169 были установлены свойства двойных интегралов.

177. Вычисление тройного ин­ теграла в декартовых координа­ тах. Предположим, что область В пересекается прямыми, парал­ лельными координатной оси Ozt

не более чем в двух точках. Теорема. Пустъ / (х, у, z) не­

прерывна в замкнутой области В, ограниченной поверхностями 1) z = = z1(a:, у) и z = z2(x, у) с непре­ рывными правыми частями в зам­

кнутой области А плоскости

Оху, ограниченной кусочно-гладким контуром I, и 2) цилиндриче­ ской поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, напра­ вляющей которой служит I (рис. 121).

Прхг этих

условиях имеет

место

формула

 

 

 

Z2 (ж, у)

 

Ш

/( * . IB z) dr = \ \

dF

I f(x, y, z)dz.

(4)

В

Л

г,

(ж, у)

 

Теорема эта является обобщением теоремы о вычислении двой­ ного интеграла в декартовых координатах (п. 170) и может быть доказана * аналогично.

Если при этом область А ограничена линиями х = а, х = Ъ,

уУ\{х)^ у ----- у2(х), то, перейдя согласно (16) п. 170 в формуле (4)

от двойного интеграла к повторному, получим формулу

. j JJ f{x,

Ь

у 2 (ж)

гг (ж, у)

 

(5)

у, z)dr = ^dx

j dy

j

f(x, y, z)dz.

В

а

Ух (ж)

z, (ж, у)

 

 

Согласно (5) вычисление тройного интеграла сводится к последо­ вательному вычислению трех определенных интегралов, из которых

* См.: В. И. С м и р H о в. Курс высшей математики, т. II, § 6.

внутренний интеграл зависит от параметров х жу, следующий — промежуточный интеграл — зависит от х, внешний интеграл вычисляется по переменной х, имеет постоянные пределы и есть постоянная величина.

В частности, если область В есть параллелепипед, ребра кото­ рого параллельны координатным осям, то в формуле (5) пределы интегрирования будут постоянными:

ь

д н

 

f f f î (М ) di = / dx f

dy I i (M) dz.

(6)

Вa c h

Отсюда следует правило приведения тройного интеграла (2) к повторному. С целью нахождения пределов интегрирования для повторного интеграла (5) надо: 1) спроектировать данную область

 

 

 

 

В на плоскость Оху (получим область

 

 

 

 

А)\

проектируя

А

на

ось абсцисс, по­

 

 

 

 

лучим промежуток

[а,

6], 2) составить

 

 

 

 

уравнения контура

I

области А:

у —

 

 

 

 

= Уі(х), у

— у 2{х)

в

промежутке

а ^

 

 

 

 

^ X ^

Ъ,

3)

составить

уравнения по­

 

 

 

 

верхности

S,

ограничивающей область

 

 

 

 

В\

z =

zt {х, у)

и z =

z2(x, у) в А.

 

 

 

 

 

Если область В

пересекается пря­

 

 

 

 

мыми,

параллельными

координатным

 

 

 

 

осям более чем

в двух

точках, то для

 

 

 

 

вычисления интеграла (2) надо разбить

 

 

 

 

область В поверхностями на части рас­

по всем таким частям

 

смотренного

вида, вычислить интеграл

 

области

В

и результаты сложить.

П р и м е р.

Вычислить

J =

('('J 2ixd%,

где В — пирамида, ограничен­

нал плоскостями а: = О, у =

 

ий

I +

 

+

Z =

2 (рис. 122). Область А

0, г = і ,

J

здесь треугольник со сторонами х = 0, у =

0 и і + у =

1. Проекция А на

ось абсцисс есть промежуток 0

г ^

1. Уравнение прямой CD : у =

1 — х.

Область В ограничена

снизу

плоскостью z = 1, сверху — плоскостью

2 = 2 — X — у.

По формуле (5) получим

 

 

 

 

 

 

 

1

1-х

і-х-ѵ

 

1

 

1-х

 

 

 

 

J = J

dx J

dy

J

2Axdz — 24 [

xdx J

(1 —x —y)dy =

 

o

o

i

 

1

 

o

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 12 J (x — 2x* + x3)dx = l.

ОI

178.Системы криволинейных координат в пространстве. Не­

которые начальные сведения о системах координат содержатся в п. 173, именно понятие системы координат, понятие координат точки. Любая система координат в пространстве характеризуется тремя семействами координатных поверхностей и тремя семей­ ствами координатных линий.

Координатной поверхностью системы координат (и, v, w) называется геометрическое место точек, где координата и, ѵ или w сохраняет постоянное значение. Через каждую точку про­ странства М 0(и0, ѵ0, w0) проходят три пересекающиеся коорди­ натные поверхности и = и0, ѵ = ѵ0, w = w0.

Координатной линией системы координат называется линия пересечения координатных поверхностей этой системы. Поскольку координатные поверхности одного семейства не имеют общих точек, то здесь речь идет о пересечении координатных поверхно­ стей различных семейств. Так, координатная линия и есть линия пересечения поверхностей ѵ = ѵ0 и w = w0; на этой линии изме­ няется лишь величина и, а ѵ и w сохраняют постоянные значения. Через каждую точку пространства проходят три пересекающиеся координатные линии системы (и, v, w).

Система координат называется ортогональной, если ее коорди­ натные линии пересекаются только под прямым углом. Система координат называется криволинейной, если среди ее координатных линий есть не прямые линии. Например, цилиндрическая и сфе­ рические системы есть ортогональные криволинейные системы координат (см. п. 97).

Рассмотрим в трехмерном пространстве две системы координат: декартову прямоугольную систему (х, у, z) и какую-либо иную систему (и, v, w). Между множеством точек пространства и каж­

дым из множеств троек вещественных чисел {х, у,

z} и {и, v, w}

имеет место взаимно-однозначное

соответствие.

Отсюда

следует

существование функциональных зависимостей

 

 

 

х*=х(и,

v,

w),

У — У {и,

v,

w),

z =

z ( u ,

v,

w),

(7)

и = и(х,

у,

z),

ѵ ^ ѵ (х ,

у,

z),

w =

w(x,

у,

z),

(8)

правые части которых предполагаются непрерывно дифференци­ руемыми функциями своих аргументов, а функциональный опре­

делитель ^ Vv'^j — не обращающимся в нуль вне начала коор­

динат.

Зависимости (7) и (8) взаимно-обратны, поэтому имеют место тождества

 

х = х(и(х, у,

z ) , v(x,

у, z), w(x,

у, z ) )

и др.

(9)

Э л е м е н т ы

д у г

к о о

р д и н а т н ы х

л и н и й .

Рас­

смотрим координатные линии системы {и,

v,

w), проходящие через

точку

М 0. Параметрические уравнения,

например координатной

линии

и, получим,

положив в

(7) v — v0,

w =

w0:

 

 

х = х{и, v0,

w0),

у — у {и, v0, w0),

z

— z (и,

v0, w0).

(10)

Под элементами дуг координатных линий понимают дифферен­ циалы длин дуг этих линий

dsu = s’udu, dsv = s'vdv, dsw = s’wdw.

(И)

Смотрите также файлы