Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл (23,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 214

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пользуясь известным выражением длины дуги линии, заданной параметрически (см. и. 159):

« = j V х'и2 + у'и2-г z[2du, и0

путем дифференцирования этого равенства получим выражение дифференциала дуги координатной линии и, соответствующее изменению параметра и на величину du:

dsu ~ V х ’и*		zz 2du.	(12)
Таким образом, получим
dsu = Hudu,	dsv = Hv du,	dsw~-=Hw'dw,	(13)
где	____________
Н и =	Y х'и 2 + У и 2 + Z u 2,
Н ѵ =	Ѵ х ' ѵ 2 + У ѵі +	z'v 2,
Hw= V x w2-\ y'wz + Zw2.			(14)

Величины Hu, Hu и Hw, определяемые формулами (14), назы ваются коэффициентами Ламе * системы координат (и, v, w).

Эти величины суть функции и, ѵ и w. Каждый коэффициент Ламе характеризует скорость изменения длины дуги соответствующей

координатной линии. Например,

Н и —

- ~ - .

Вычислим коэффициенты Ламе в двух важных случаях. В слу

чае цилиндрической

системы

координат имеем

(см. п. 97) х =

р cos ф, у = р sin ф, z = z и,

полагая

и =

р,

ѵ = ф , w — z,

по формулам (14) получим

Яр = 1,

Я ф = р,

Я г =

(15)

случае сферической

системы

координат

имеем

(см. и. 97)

X = г sin Ѳcos ф,

у =

г sin Ѳsin ф,

г cos Ѳ

и, полагая: и =

г,

v = ф, w = Ѳ,

по формулам

(14)

получим

Hr= 1,

Яф = г 8іпѲ,

Яѳ = г.

(16)

Э л е м е н т

о б ъ е м а в

к р и в о л и н е й н ы х к о

о р д и н а т а х .

Рассмотрим

трехмерную

область

(рис. 123),

ограниченную тремя

парами

координатных

поверхностей: и =

и0,

и = и0 +

du,

v — ѵ0,

v =

ѵ0 -f

dv,

w =

w0,

w == w0 +

dw. При достаточно малых | du |, | dv |, | dw | эту область в первом

приближении можно принять за параллелепипед с ребрами, соот ветственно равными dsu, dsv, dsw и направленными по касатель ным к координатным линиям. Под элементом объема в системе

Габриель Ламе (1795—1870) — французский математик.

координат (и, v, w) понимают объем этого	параллелепипеда.
В частном случае, когда система координат (и, v,	w) ортогональна,

упомянутый параллелепипед — прямоугольный и его объем равен произведению его измерений: dx = dsudsvdsw. С помощью формул (13) получаем выражение элемента объема в ортогональной си стеме координат

dx = НиНѵНа du du dw.	(17)
В о б щ е м с л у ч а е координатные линии могут	пересе
каться не под прямым углом. Обозначим через еи, ev, ew	единич

ные векторы касательных к соответствующим координатным ли ниям в рассматриваемой точке М 0, направленные в сторону возра стания координат (см. рис. 123). В общем случае элемент объема

есть объем		параллелепипеда, ребрами ко								w)
торого	служат				векторы	dsueu,		dsvev,

dswew.	Он	равен			абсолютной		величине
смешанного		произведения				этих	векторов
(см. п.	96):
d x = ± ([d sueu,					dsv ev],	dswew).			(18)
Рассмотрим				радиус-вектор г =				х	і +
+ У j + zk, проекции которого х,							у,	z свя
заны с и, v,			w равенствами (7). Дифферен
цируя г пои,			v,	w,	получим три		вектора:
				О	I У и 3 I-	к,			v 1 4 Уѵ 3 + Zv k,	(19)
					:	Xraj 1	Уѵі

направленные по касательным к соответствующим координатным линиям (см. и. 185). Длины векторов (19) соответственно равны значениям коэффициентов Ламе:

I г'иI = Y х'и 4- Уи24- Zu =	Ни, IК\ =нѵ, Iг ; I = Hw.	(20)
Поэтому согласно (13) имеем
= Ние„ = ги,	sveu— r*,, swеш™ Гу,.
С помощью равенств (19) получим
dsueu = x'ud u i- r y'udu] i~zuduk,
dsv ea = x ' v d v i - t y ' v d v i - ^ Z v d v k ,		(21)
dsœ ew=•= x'w dw i (-y'wdw j 4~ z'-^dwk.

Из (18) и (21), учитывая представление смешанного произведения векторов через проекции сомножителей (см. п. 96), следует выра жение элемента объема в системе координат (и, v, w)

где

n = D (*• У’ 2)	Хц	Хѵ	X'w
n = D (*• У’ 2)	У и	Уѵ	y'w
D (и, и, w)	У и	Уѵ	y'w
	Zu	Zv	Zw

Геометрически функциональный определитель D представляет отношение, в котором преобразование (7) изменяет объем.

179. Вычисление тройного интеграла в ‘.(криволинейных коор динатах. В цилиндрической системе координат координатными поверхностями, проходящими через точку М 0, являются: цилинд рическая поверхность р = р0, полуплоскость ф = ф0 и плоскость


z	— z0. Три пары координатных поверхностей р = р0, Р = Ро +
+	dp, ф =	Фо, ф = Фо + ^Ф.		2 =	z0, z =		z0 +	dz ограничивают
	і, 1	область	(рис. 124),		которую можно принять в пер
		вом приближении за прямоугольный							параллеле
		пипед с ребрами, длины которых суть							М йА — dp,
		MgB	pdф, MgC = dz.			Поэтому		элемент объема
		цилиндрической системе					координат равен
				dт = pdpdфdг.					(23)
		Этот же	результат получается					по формулам (15)
		и (17) или (22), так как D = р.
		Для	вычисления			тройного		интеграла (2) в
		цилиндрической системе координат следует раз
		бить область В на			элементы координатными по
		верхностями		системы		и	составить		интеграль

	ную сумму (1). В результате предельного пере
Рис. 124.	хода при		Хп -> 0 с учетом формулы (23) получим
Ш	/< « .	у> z )d t= lim 2 / ( æ*. Уkt zfe)Axfe =
В			Я„->0 в
=	Hm	V. / (pÄc°s фй, р^ьіпф*, zk)pk txpk ^ k l4zk.
Ь п - * 0		в
Окончательно	имеем		}Jj/(pсоэф, рэіпф, z) p d p d ф d z .
Ш / ( * . У'		z)d T =	}Jj/(pсоэф, рэіпф, z) p d p d ф d z .	(24)
в			в

Если область В ограничена координатными поверхностями си стемы (w, V, w), то соответствующий повторный интеграл будет иметь постоянные пределы для каждой из переменных интегриро вания.

П р и м е р 1. Вычислить объем тела, вырезанного цилиндром я2-(-у2 = 1

из шара	-\|-!/2 _ [ _ z	2	^ 4 .	Решение
	2	П	1	Ѵ і - р г	1
^ =	ЙТ = 2 I		^	J	dz = 4л j р V 4 —р2 ір = ~ - ( 8 — 3,/г).
н	о		о	о	о

В сферической системе координат координатными поверхно


стями системы,	проходящими через М 0, являются сфера г = г0,
полуплоскость ф = ф0 и коническая поверхность Ѳ =		Ѳ0.
Три пары координатных поверхностей г = г0, г ~~ r 0+		dr, ф = ф0,
Ф = ф о + d(p,	Ѳ = Ѳ0, Ѳ = Ѳ0 + dQ ограничивают область

(рис. 125), которую можно принять приближенно за прямоуголь

ный параллелепипед с ребрами, длины которых суть М 0А								= rdQ,
М 0В =		г sin0 гіф, М 0С — dr. Поэтому элемент объема в сфериче
ских	координатах			равен
				dx — г2sin Ѳdr Ар dQ.				(25)
Тот же		результат		получается			по форму	с
лам	(16)	и	(17), а также			по формуле (22),
так	как	D = г2 sin Ѳ.				в	тройном
Замена			переменных
интеграле (2) приводит согласно (25) к
равенству^1
			Ш /( * , У,		z)dx =
	IJ j / (г		В
			sin Ѳcos ф,		г sin Ѳsin ф, r cos Ѳ) r2sin Ѳdr dq> dQ.			(26)
	в

Вычисление тройного интеграла в сферических координатах можно рекомендовать, если область В ограничена координатными поверхностями этой системы. В этом случае повторный интеграл в формуле (26) будет иметь постоянные пределы интегрирования, что, вообще говоря, упрощает вычисления.

П р и м е р 2. Вычислить объем шара радиусом R. Но формуле (26) имеем

	2 Л	Я	й
V = ^ Л j	dx = j’ Лр	^	sin ѲйѲ ^ /-2 dr = 2л • 2 • ~	л№.
В о б щ е м	с л у ч а е		любой криволинейной системы коор
динат (и, V, w), связанной с декартовой системой (х, у,				z) равенст