Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

где y2-\-z2, X2 + z2 и X2 + У2 суть квадраты расстояний от точки М (х, у , z) соответственно до осей Ох, Оу и Oz. Поэтому моменты

Глава X I

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ

181. Понятие поля. Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. Векторный анализ является средством изучения полей.

При рассмотрении физических явлений встречаются величины трех видов: скалярные, векторные и тензорные. Соответственно этЛіу различают три вида полей: скалярные, векторные и тензор­ ные. В общем случае полем величины а называется облаетъ В трех­ мерного пространства, с каждой точкой которой в каждый мо­ мент времени связано определенное значение величины а. Поэтому а есть функция точки М и времени t. Заметим, что областью В может быть и все трехмерное пространство. Если величина а скалярная (температура, давление, потенциал и т. д.), то и поле называется скалярным. Если а есть вектор (сила, скорость и т. д.), то соответствующее поле называется векторным. Если а — тензор (напряженности, проводимости и т. п.), поле называется тензорным.

Поле величины ос называется стационарным, или установи­ вшимся, если ос не зависит от времени t. В противном случае оно называется неустановившимся.

Пример с к а л я р н о г о п о л я . Пусть данная область заполнена газом, температура которого есть функция точки и времени. Однако со вре­ менем может наступить тепловое равновесие, в результате которого темпера­ тура в каждой точке области стабилизируется во времени. Температура станет функцией лишь точки, поле температур станет стационарным.

Примеры в е к т о р н ы х п о л е й . 1. Пусть область В заполнена жидкостью (или газом), причем скорость течения ѵ (М) не зависит от времени и является функцией точки наблюдения М. Поставив в соответствие каждой точке М области В вектор ѵ (М), получим векторное поле, называемое полем скоростей стационарного потока жидкости.

2. Пусть в некоторой области пространства распределено некоторое вещество. Тогда на материальную точку с единичной массой действует сила

тяготения, зависящая от местоположения точки. Эти силы образуют вектор­ ное поле, называемое полем тяготения, или гравитационным полем, соответ­ ствующим данному распределению масс.

3. Если в некоторой области пространства распределены электрические заряды, то на единичный электрический заряд, находящийся в точке М, эти заряды действуют с некоторой силой Е (М). Эти силы образуют вектор­ ное поле, называемое электростатическим, соответствующим данному рас­ пределению зарядов.

Примером т е н з о р н о г о п о л я является поле тензора упругих напряжений тела, с каждой точкой которого связапо определенное значение тензора напряжения. При этом в каждой системе координат тензор в данной точке можно представлять системой девяти чисел (в то время как скаляр можно представить одним числом, а вектор — системой трех чисел).

§31. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

182.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Пусть дано стационарное скалярное поле <р (М). Если выбрать систему декартовых координат (х , у, z), то каждая точка М будет иметь координаты X, у, z и функция точки cp (М) станет функцией трех независимых переменных ф (х, у, z). Мы всегда будем предпола­ гать эту функцию непрерывно дифференцируемой в рассматри­ ваемой области.

Основным вопросом исследования скалярного поля является вопрос об изменении функции ф при переходе из одной точки пространства в другую. Для выяснения этого вопроса рассмотрим прежде всего геометрическое место точек, в которых величина ф сохраняет постоянное значение, оно называется поверхностью уровня. Через каждую точку М 0 области В проходит единственная поверхность уровня. Ее уравнение в выбранной системе коор­ динат имеет вид

ф(ж, у, z) -----ф(х0, у0, д„) г. , (1)

Следовательно, поверхности уровня, отвечающие различным постоянным с, заполняют всю область, в которой определено поле, и никакие две поверхности уровня, отвечающие различным значениям с, не имеют общих точек. Задание всех поверхностей уровня с указанием соответствующих значений с равносильно заданию самого поля.

Указанный способ изображения поля особенно удобен, если речь идет о поле, заданном в плоской области А двух перемен­ ных. Такое поле описывается функцией двух переменных ф (х, у), определенной в области А. Равенство ф (х, у) = с определяет, вообще говоря, некоторую кривую, называемую линией уровня плоского скалярного поля. С помощью линий уровня изобра­ жается, например, рельеф местности на топографических картах (путем задания поля высот точек местности над уровнем моря). В случае поля температур на плоскости линии уровня называ­ ются изотермами, в случае поля давлений — изобарами и т. д.

183.Производная по направлению. Проследим за изменением

вует) отношения приращения Дф функции при смещении точки М в направлении вектора т к величине

Производная скалярной функции ф (М ) по направлению т характеризует скорость изменения величины ф в точке М в напра­ влении вектора т , что следует из определения. В каждой точке пространства имеется бесконечное множество различных напра­

по направлению m равна производной от ф по р в точке р —0:

Дифференцируя ф(р) по р как сложную функцию, получим

ф' (р) = ц)'х (N) cos а + фу (N ) cos ß -f- фг (N) cos у.