ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 211
Скачиваний: 2
Положив р - - 0, получим окончательно
д(р |
ôcp |
cos а |
0ф cos ß |
ôcp |
cos y. |
(5) |
dm |
дх |
|
~w |
dz |
|
|
Формула (5) представляет выражение производной скалярной функции ф (М) по любому данному направлению m (cos а, cos ß, cos у) через производные этой функции по трем взаимно перпен дикулярным направлениям i, j и к.
И р и м е р. Рассмотрим поле температур cp (М), создаваемое беско нечно длинным прямолинейным источником тепла, расположенным по оси Oz
(рис. 127).
Пусть, например, ф = (хг + у2)~]. Поверхностями уровня являются цилиндрические поверхности вращения вокруг источника тепла. Производ ную функции ф по направлению m (cos а, cos ß, cos у) найдем по формуле (5)
—2 (х2-ту2)~2 (х coset-)- у cos ß).
В |
частности, |
если |
пк к, |
то cos а =- cos ß= 0 |
и - f^ -= 0 |
(вдоль ис- |
||||
|
|
’ |
|
|
|
|
r |
dm |
|
|
точішка тепла температура не меняется). |
Если m —грг, у), |
|
X |
|||||||
то cos а — — , |
||||||||||
|
У |
Зф |
2 (ж2 4-у2) |
2 |
0 |
(чем |
дальше |
от |
источника |
|
cosß = — и |
—Т -= ------— |
= -------—< |
||||||||
v |
г |
dm |
|
г5 |
гз |
|
|
9ф |
|
2 |
тепла, |
тем |
холоднее). |
Если пі = —г(х, у), |
то |
|
|
||||
получим |
= -}■ — (в на |
|||||||||
правлении к источнику тепла температура возрастает).
184. Градиент скалярного поля. Пусть дано скалярное поле Ф (х, у, z). Среди различных возможных направлений в данной фиксированной точке М пространства выделим направление,
перпендикулярное к |
поверхности |
уровня |
скалярной функции |
|
Ф (х, у, |
z), проходящей через точку М. Одно из двух таких напра |
|||
влений |
представлено |
вектором |
|
|
|
|
п(ірі, фу, |
Ф^) |
(6) |
{см. п. 133). Вектор п играет важную роль в теории поля и назы вается его градиентом.
Ф о р м а л ь н о е о п р е д е л е н и е г р а д и е н т а : гра диентом скалярного поля ф (М ) в точке М называется вектор, обо
значаемый п — grad ф (М ) и |
определяемый |
равенством |
|
|
grad ф (Ж); |
0ф |
дф |
|
m |
дх |
дх i + f r |
k - |
||
Если функция ф (х,у, z) имеет частные производные первого по рядка, то в каждой точке М эта функция имеет свой градиент. Таким образом, скалярное поле ф (М ) порождает векторное поле grad ф (М).
Д> 0. В частности, в примере п. 183 градиент направлен к источ нику тепла.
Отсюда следует инвариантное определение градиента: градиен том скалярной величины ф называется вектор, имеющий напра вление быстрейшего увеличения ф и равный по модулю производ ной ф по этому направлению. Оба определения градиента — фор мальное и инвариантное — равносильны, потому что они опре деляют векторы, одинаково направленные и имеющие одинаковые
длины. |
с в о й с т в а |
г р а д и е н т а . |
Пусть |
Ф о р м а л ь н ы е |
Ф (М) и ф (М) — две скалярные функции точки и / — скалярная функция одной или нескольких переменных. Все эти функции предполагаются дифференцируемыми. Имеют место следующие равенства:
1°. grad (ф+ ф) = grad ф-f grad ф,
2°. grad (фф) фgrad ф + ф grad ф,
3°. grad/ (ф) = f (ф)gradф,
4°. grad/ (ф, ф) = fa gradф 4-Д, grad ф.
Действительно, в случаях, например, 1° и 3° имеем
grad (ф -f ф) |
д(ф + Ф) |
• , |
_ дф . |
I |
0ф |
І + • • .= |
дх |
1 • • • |
дх |
' |
дх |
||
|
|
— grad ф -j-grad ф , |
|
|
||
grad / (ф) - |
і |
|
(Ф) ( -Ц- і + . . . ) |
= f |
(ф) grad ф. |
|
І і р п м е ч а и и е. Многоточия всюду означают, что следует дописать второе и третье слагаемые, аналогичные первому н получающиеся из него путем замены х на у и z, а і на j и к соответственно.
185. Векторная функция скалярного аргумента. Частным слу чаем векторной функции является векторная функция а (т), зави сящая только от скалярного аргумента т. Переменная векторная величина а (т) называется функцией скалярного аргумента т
вобласти Т, если каждому значению т из Т соответствует опреде ленное значение вектора а.
Пусть выбрана декартова система координат. Тогда задание векторной функции равносильно заданию трех скалярных функ ций — проекций векторной функции на оси выбранной системы координат, потому что разложение вектора в координатном базисе единственно: а (т) = ах (т) і + ау (т) j + az (т) к.
Предполагая величину а (т) свободным вектором, совместим начало этого вектора с фиксированной точкой пространства (например, с началом координат). Тогда при изменении аргумента
впромежутке Т конец вектора опишет некоторую линию I, кото рая называется годографом вектора а (т).
