Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл (23,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 213

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ах (т), ау (т), аг (т), то Аа Аах і+ Аау j + Aazk. Разделив	это
равенство на Ат и перейдя к пределу, получим
а'(т)=^я£і-Ьау j-f аік.	(15)

Следовательно, дифференцирование векторной функции по т сводится к дифференцированию ее проекций. Из (15) также сле

дует, что длина вектора	а'	определяется формулой
I а" I =		У а ’х + ау	-4- а’г\
П р и м е р . Рассмотрим	радиус-вектор		г (t) винтовой линии: х —
= я cos соц y = я sinon, z — vt.	По формуле (15) получим = —ясо sin Ш і +

+ЯСО COS Cüf j - f l/V jt.

186.Векторные линии и трубки. Пусть дана векторная функ

ция точки

а{М) = Р(М) і ! Q(M)j + R(M )k,

где Р (М ), Q (М), R (М) — проекции вектора а (М) на коорди натные оси. Задание векторной функции а (М) может быть осуще ствлено путем задания трех скалярных функций — его проекции на координатные оси.

Векторной линией поля а (М ) называется линия I, касательная к которой в каждой точке I имеет направление вектора а (М) в точке касания. В частности, если а (М ) есть поле скоростей стационарного потока несжимаемой жидкости, то его векторные линии — это траектории частиц жидкости, называемые линиями тока жидкости.

Если X — X (t), у = у (t), z = z (t) — параметрические урав нения векторной линии I, то ее радиус-вектор равен r(£) = æ(ï)i-t- ~г У (0 j + z (t) к. Вектор dr = dx i + dyj + dz k направлен no касательной к l. По определению векторной линии векторы а и

dr коллинеарны в каждой	точке I. Условие коллинеарности
dx	_ ду __ dz

представляет систему дифференциальных уравнений векторных линий поля.

Поверхности, составленные из векторных линий, называются векторными поверхностями. Если L — какой-нибудь замкнутый контур, не совпадающий с векторной линией, то векторные линии, проходящие через точки этого контура, образуют поверхность, называемую векторной трубкой.

И р il м е р.	Дано	векторное поле а = х і +	у j +	zk. Векторные линии
		dx	dy	=	dz	,	т.
этого поля характеризуются равенствами —			= —-	=	—	— dt.	Из них
следует, что х =	х 0е*, у	X	у		z
следует, что х =	х 0е*, у	= у né , z = z0e{. Эти уравнения			определяют (если

хоУого Ф 0) лУчп, исходящие из начала координат, которые и представляют собой векторные линии данного поля.

Рассмотрим векторную трубку, «направляющей» которой служит окруж ность, заданная уравнениями ж2 + у2 = Л2, z -- 1. Геометрически очевидно, что векторной трубкой в этом случае является коническая поверхность вращенпя вокруг оси Оъ. Ее уравнение получим, исключив параметр t из соот

ношений (ж2 + у2) e~2t = Л2, z = et ■ Имеем Л2г2 — ж2 + у2.

§32. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

187.Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Задача

омассе изогнутого стержня. Пусть на дуге AB пространственной кривой распределено какое-либо вещество с плотностью р (М).

Требуется найти массу данной дуги («изогнутого стержня»). Под плотностью вещества в точке М мы понимаем предел средней плотности распределения вещества на бесконечно малой дуге, содержащей точку М.

Решение задачи состоит в выполнении следующих действии. 1) Делим дугу AB на п произвольных элементарных частей Д/Д, . . . , АІп, длины которых обозначим соответственно через

Asl5 . . As„, а наибольшую из этих длин обозначим Хп.

2) Найдем массу Дтк вещества, содержащегося в элементар ной дуге Alk, в предположении, что в пределах каждой элементар

ной дуги АД плотность вещества постоянна	и равна р (АД), где
N К — одна из точек элементарной дуги Alk,	безразлично какая.
Получим приближенное выражение Amk ^	р (Nk) Ask.

3) Масса всей дуги AB будет приближенно равна

т ^ 2 P(N k) Ask.

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина каж дого элемента и чем больше п, т. е. чем меньше Хп.

4)Точное значение массы материальной дуги получим, перейдя

кпределу при Хп -> 0:

(1)

Пределы такого вида называются криволинейными интегра лами первого рода и обозначаются символом, изображенным в пра вой части равенства (1).

Задача о работе силового поля. Пусть в каждой точке М трех мерной области В на помещенную в ней единичную массу дейст вует определенная сила а -(М), зависящая только от положения точки М. При этих условиях область В называется силовым полем, а сила а (М), действующая на единичную массу, называется

напряжением поля в точке М. Требуется вычислить работу Е,

которую совершают силы поля при перемещении точки М единич ной массы вдоль данной кривой AB из положения А в положение В .

Речь идет о вычислении работы переменной силы на криволиней ном участке пути.

Решение задачи состоит в выполнении следующих действий.

1)Разделим дугу AB точками Mk (xk, yk, zk) на n произволь ных элементарных частей АZ, с длинами Аsk. Наибольшую из Аs, обозначим Хп (рис. 130).

2)Ввиду малости As, можно приближенно принять, что а) век тор силы а сохраняет на АZ, постоянное значение, равное а (Nk), где ІѴ, — одна из точек элемента АZ,, безразлично какая, б) дуга

АZ, может

быть

заменена

хордой Mk- \M k, стягивающей

концы

этого

элемента.

Вектор

M k_^Mk

равен

приращению

радиус-

вектора г (М):

Ar, = г (Mk) — г

Тогда

на

элементе

дуги

АZ, работа сил поля выразится

скалярным

произведением

АEk ^ а (Nk) Ar,.

а (М) имеет

Пусть

вектор

проекции

P (М), Q (М),

R (М )

—Нк-і

ArK

на

соответствующие

координат-

ные

оси.

Тогда

работа силового

поля

вдоль

всей дуги AB будет

приближенно равна

И'Ѵг)

Е ~

а (Nk) Ar, = 2

[ВДО Ах,+

й=1

к=1

Рис.

130.

+ Q{Nk)Ayk \-R{Nk)Azk],

(2)

где

Az, = z,

%k-\i

Уь~ 'Ук-1і

Аzk— zk

zk-l-

Перейдя к пределу при %п -> 0, получим точное выражение

работы

Е = lim у

а (N k) Ar, =

J a (М) dr.

(3)

к = і

Пределы такого вида называются криволинейными интегра

лами

от

векторной

функции

точки

вдоль дуги AB.

В правой

части

равенства (3) указано одно из обозначений этого ин

теграла.

криволинейных

интегралов,

их

свойства.

188.

Определение

Пусть A B — дуга гладкой кривой, на которой определены и непре

рывны скалярная функция F (М ) и векторная

функция

а (А/),

имеющая проекции Р (М ), Q (М), В (М ) на оси выбранной д нар

товой

системы

координат.

от 4

к ß с п о

Разобьем дугу AB в н а п р а в л е н и и

мощью точек деления М, (xk, yk, zk) на

п элементарных

,частей

AZl5

. . .,

АІп,

длины

которых

обозначим

соответственно

Aslt

. . .,

Asn,

а наибольшую

из

этих

длин обозначим

%п (см.

рис.

130).

2.Выберем на каждой элементарной дуге произвольную точку

N k и составим суммы двух видов:

1)	a n = î f ( N k)Ask,		(4)
	/і = 1
	П	[P (Nk) Axk- ; Q (Nk) Ayk- Д (TV,) Az,],
2)	ß„ - S	[P (Nk) Axk- ; Q (Nk) Ayk- Д (TV,) Az,],	(5)
где	Axfr-—Xk	Xfr_i, Ayk — yk î/*—i? Az^ — z^ %k-\-

О п р е д е л е н и е 1. Конечный предел интегральной суммы ап при Кп — 0 (если он существует и не зависит от способа деления дуги AB на элементы и выбора точек N k) называется криволиней ным интегралом первого рода от функции F (М) по дуге AB и

обозначается так:

! F (M )d s =	\ F (X ,	у, z)ds = lim V F {N k)Ask.	(6)
AB	AB	*-п^° h=l

Физическое истолкование интеграла (6): например, это масса изогнутого стержня с плотностью распределения вещества F (М ). Его специальное свойство — величина криволинейного интеграла первого рода не зависит от направления обхода пути интегриро вания, что прямо следует из определения 1:

f F (M )ds= f F(M)ds.		(7)
AB	BA
О п р е д е л е н и е	2. Конечныя предел интегральной суммы

ß„ при Я„ -*■ 0 (если он существует и не зависит от способа деле

ния дуги i S	на элементы и выбора точек Nk) называется криво
линейным интегралом			второго рода от		векторной	функции
а (Р , Q, В)	по	дуге	AB и	обозначается	символом	J adv или
					AB
{ Pdx -f Qdy +		Bdz. Имеем
A B
	f a d r =		f Pdx f	Qdy f B dz= lim ß„.		(8)
	AB	AB

Физическое истолкование интеграла (8): например, это работа силы а (М) вдоль дуги AB (см. п. 187). Специальное свойство' криволинейного интеграла второго рода заключается в следующем: при изменении направления обхода дуги AB интеграл меняет лишь знак. Это свойство непосредственно следует из определения 2, если принять во внимание, что при изменении направления пути интегрирования нумерация элементов ведется от В и А, что влечет лишь изменение знаков у Ахк, Ayk н Azk:

Са dr — f a dr.

(9)

AB BA

Интеграл (8) представляет, очевидно, сумму трех интегралов:

\p {M )d x,	\Q(M)dy,	j R (M)dz,	(10)
л и	A B	A B

отвечающих векторам (P, 0, 0), (0, Q, 0) и (0, 0, R), на которые разлагается вектор (P, Q, R).

Вопределениях 1 и 2 предел интегральной суммы понимается

втом смысле, как это было и в случае определенного интеграла (см. п. 152).

Рассмотрим радиус-вектор точки М : г (М) — хі + у) + zk.

Общий член интегральной суммы (5) приведем к виду

P (Nk) Axk+ Q (Nk) Ayk-f R (Nk) Azk =

■: a (N k) Arft = a (.Nk) cos (a, Ar) Ark.

Пользуясь этим соотношением, можно доказать,* что имеет место следующая зависимость между криволинейными интегра лами первого и второго рода:

j a d r =	j' aT(M)ds,	(11)
AB	AB
где г (M) — вектор, направленный по касательной		к дуге AB

в точке М и соответствующий направлению дуги от А нВ; а, (М) =

— а (М) cos (а, т) — проекция вектора	а (М ) на	т (М).
11 р я м е ч а я и о. Можно доказать, что	при наших	предположениях

о гладкости дуги AB я непрерывности функций F (М) и а (М) интегралы ((і)

и (8) существуют. Они существуют и при более широких условиях — кусоч ной гладкости AB и наличии у функций F (М) и а (М) лишь конечного числа

разрывов первого рода.

О б щ и е с в о й с т в а к р и в о л и н е й н ы х и н т е г р а л о в вытекают из их определения и доказываются, следуя той же логической схеме, как в случае двойных или определенных интегралов (см. пп. 154, 169).

1°. Постоянный множитель можно вынести за знак криво линейного интеграла.

2°. Криволинейный интеграл от алгебраической суммы функций равен соответствующей сумме интегралов от слагаемых.

3°. Если путъ интегрирования разбит на конечное число час тей, то интеграл по всему пути равен сумме интегралов по всем его частям.

4°. Криволинейный интеграл вдоль замкнутого контура не зависит от выбора начальной точки на этом контуре.