Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 208

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Действительно, если принять за начальную точку А, то в силу

 

3° (рис. 131) получим

J

=

 

J +

j

 

Если

же

за

на-

 

 

ABCDA

 

ABC

CDA

J

 

=

 

|

+ .

J

чалыіую точку принять С,

то

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

CDAB С

CDA

ABC

 

Из равенства правых частей следует равенство их левых

 

частей, и свойство 4° установлено.

 

 

 

 

 

 

 

 

Первые четыре свойства имеют место для любых криволиней­

 

ных интегралов. Следующее свойство рассматривается для криво­

 

линейного интеграла

первого рода.

 

 

F (Ж)

определена и

 

5°. Теорема о среднем. Если функция

 

 

непрерывна на гладкой дуге AB

 

(включая ее концы), то

на этой

 

дуге

найдется

такая

точка Ж*,

что

 

 

 

 

 

f F (M )ds= F (M *)sAB,

 

 

(12)

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где SAB — длина дуги AB,

т. е. криволинейный

 

интеграл первого рода равен произведению сред­

 

него

значения

подынтегральной

функции

на

 

длину пути

интегрирования.

 

 

парамет­

 

Для

доказательства рассмотрим

 

рические

уравнения дуги

 

А В

 

 

 

 

 

 

x = x{t),

у — У (t),

z = z{t)

(а sSJs^ß),

(13)

 

причем значению параметра а соответствует точка А, значению

ß— точка В. Обозначим через р и q соответственно наименьшее

инаибольшее значения функции F (x(t), у (t), z (()) в промежутке [а, ß] (в силу непрерывности этой функции в замкнутом проме­

жутке числа р и q существуют). Имеем р ^ F (Ж)

q. Строим

интегральные суммы для всех членов этого неравенства и, перейдя

к пределу при Кп -> 0, получим

 

 

 

 

PSAB

j F (Ж) ds

qsAB.

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

Следовательно, p

q, где p == —— Г F (M ) ds.

Из

усло-

вин теоремы следует, что на

8а б аІ

такая, что

AB имеется точка Ж*

F (Ж*) =

р. Отсюда следует

формула

(12).

 

гладкая

189.

Вычисление

криволинейных

интегралов. Пусть

дуга AB задана параметрически уравнениями (13). На этой дуге определены и непрерывны функции F (Ж), P (M ), Q (Ж) и R (Ж).

Для вычисления криволинейного интеграла первого рода (G)

представим

приращенце длины дуги

As* в виде интеграла (см.

п. 159) и с помощью теоремы о среднем (см. п. 154) получим

 

____________

____________

As* =

( Y х"‘ -г У*‘ + 2"2dt = ] /Ѵ ’ + г/'2+ z'2 j Atk,

 

‘*-і

M l

где

среднее значение

аргумента

t*

принадлежит

промежутку

[4 - 1, 4І-

Выберем в качестве точки Nk дуги M k_1Mk

точку

N t,

соответствующую значению параметра £*. Получим

 

 

« - 2

F (К )

Ask = '2>F (x(tt), y (tt), z (it)) Y x '* + 1/

+ S I

д,

 

K»1

 

fc=l

 

 

,*

 

Правая часть этого равенства есть интегральная сумма в смысле

Римана (см. п.

152) для функции F (х (t), у (t), z (£))]/V2-j~ г/'2-j-z' 2

в промежутке

[а, ß].

Поэтому в

результате предельного пере­

хода

при

кп -> 0 получим формулу,

связывающую

криволиней­

ный интеграл первого рода с соответствующим определенным инте­ гралом

ß ____________ _

f

(а:, у, z) ds =

jV(x(£), y(t),

z (t)) Y x’‘

lf

‘ + z'* dt.

(14)

A B

 

a

 

 

 

 

 

 

Il p i n i c p l .

Найти массу четверти окружности x2 -(- у2 = R 2, х ^ О,

у ^ 0, если плотность в каждой точке равна ее ординате.

 

окружности

х —

Р е ш е н и е.

Составим параметрические

уравнения

- - R cos t,

y = R sin t. Следовательно,

x'2 +

у'2 = Я2;

согласно (1) и

(11)

получим

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"Т

 

 

 

 

 

 

 

т — I

рd s = С yds— j

R2 sin t dt =-R2.

 

 

 

 

ÄB

ÂB

о

 

 

 

 

 

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода

JР (М ) dx представим величину Axk с помощью формулы Лаг-

АВ

ранжа в виде произведения Axk = x' (tt) A tk, где t*h принадлежит промежутку (4 - 1, 4)- Выберем в качестве точки Nk дуги Mk_ lMk точку Nt, соответствующую значению tt- Нашему криволиней­ ному интегралу соответствует интегральная сумма

2 Р ТО А**

2 Р ( х (t t), у (tk), Z ( t t ) ) х Г (it) Atk.

к

к

Правая часть этого равенства есть вместе с тем интегральная сумма для функции P (x (t), у (t), z (t)) x (t) в промежутке [a, ßl (см. и. 152). Поэтому в результате предельного перехода при кп -> 0 получим формулу, связывающую криволинейный интеграл второго рода с соответствующим определенным ин­ тегралом

ß

\ р ( х ' У> z)d x = j P(x(t), у (t), z(t))x’(t)dt.

(15)

Аналогично выводятся формулы

С

у, z)dy = j Q(x{t), y(t), z(t))y'(t)dt,

AB

à

ß

\ R (X, y, z)dz = j R (X(t), y (t), z (t)) z' (t) dt.

AB

a

 

 

 

 

 

 

 

Сложив почленно последние три равенства, получим

 

 

 

з

 

 

 

 

 

(16)

j P dx

Q dy R dz — J (Px

Qy'

 

Rz') dt.

 

A B

 

«

 

 

 

 

 

 

Из формул (15) и (16) вытекает следующая схема вычисления

криволинейного интеграла второго рода.

1) Составим параметри­

 

ческие уравнения дуги AR вида (13),

 

установим

пределы

изменения

пара­

 

метра

t на

дуге AR.

Пусть это a и ß,

 

причем точка А соответствует значе­

 

нию

параметра

а,

 

точка R — значе­

 

нию

ß.

 

под

знаком

криволи­

 

2) Положим

 

нейного интеграла

х

— x(t),

у =

у (t),

Рис. 132.

z = z(t), dx = x'dt,

dij-iy'dt,

dz — z’dt.

3) Вычислим полученный определенный интеграл в пределах от a до ß.

Вчастности, если дуга AB плоская и задана уравнением у =

=у (х) в промежутке а ^ х ^ b (роль параметра t играет вели­

чина х), то согласно (15) имеем

 

\Р (х , у) dx=

f Р(х, y(x))dx.

(17)

 

AB

 

 

 

 

П р и м е р 2-

Вычислить работу силы а = 2хуі + хj при перемещении

точки М из положения А (2,0) в положение В (—1,3): 1) вдолыірямоіі AB,

.2) вдоль ломаной

АСВ (рис. 132).

 

 

 

Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла

 

 

Е = fadr=

[ 2ху dxAr x dy.

(16а)

 

ÄB

ÀB

 

 

1) Вдоль прямой AB имеем у

z, dy =

—dx и по формуле

(16а)

получаем

 

 

 

 

 

 

-г

 

 

 

 

 

Ег — ^

[2х (2 — х) —х] dx —

,

 

2

2) Вдоль ломаной ЛСВ на участке АС имеем у - 0 и dy — 0, на участке- СВ имеем х = —1, dx — 0. Поэтому

 

 

 

з

Е2

j 2xydx'r xdy г

j 2ху dx -J-x dy -----— ( dy — —3-

 

Àc

CB

о

Следовательно, E x ф E 2 и

величина работы данного векторного поля:

зависит от пути, вдоль которого совершается работа.

П р и м е р 3. Требуется вычислить работу

силового поля а =- 2ху\ -р

4- х2і вдоль пути AB. Здесь

 

 

 

E —

I 2xydx-{-x^dy.

 

 

 

ÀB

 

В этом случае интеграл не зависит от пути (см. теорему п. 191). Если А (2, 0) и В (—1, 3), то путем прямых расчетов нетрудно убедиться, что Е = 3..

190.

Формула

Грина.*

Формула

 

 

 

 

Грина

связывает двойной интеграл

 

 

 

 

 

по плоской области с криволиней­

 

 

 

 

 

ным интегралом по

контуру

 

этой

 

 

 

 

 

области.

 

 

(x , у), Q (х , у),

 

 

 

 

 

Пусть функции P

 

 

 

 

 

Ру (x,

у),

Qx (х, у)

непрерывны

в

 

 

 

 

 

замкнутой

области А,

ограниченной

 

 

 

 

 

контуром I.

Предположим,

что этот

 

 

 

 

 

контур

пересекается

прямыми,

па­

 

 

 

 

 

раллельными осям координат не бо­

 

 

 

 

 

лее чем в двух точках

(рис. 133), что

 

 

Рис. 133.

 

 

он гладкий

 

или кусочно-гладкий

и

у == у 2

(х) при а

x

sg Ъ..

что его уравнения суть

у -=

у 1 (х)

и

Преобразуем двойной интеграл

\

\P'ydx dy

следующим

об-

разом:

 

 

 

 

 

 

 

 

' À

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ \ %

d x d y = î

l Id x w

dyтТ 1 p (x ’ lh-^ )) d x ^

 

 

 

A

 

 

a

yt (x)

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

P(x, y1(x))dx^-

Г

P(x,

y) dx

l

P (x , y)dx —

 

 

 

 

 

 

Ш АЙ3В

 

 

 

ACB

 

XV

 

 

 

 

 

 

= —

\

P

(X ,

y) dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

Переход I выполнен по правилу вычисления двойного интег­ рала путем сведения его к повторному интегралу, преобразование II выполнено по формуле Ньютона — Лейбница, переход III основывается на формуле (17), переход IV содержит два преобразо­

* Джорж Грин (1793—1841) — английский математик.

Смотрите также файлы