Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

вания — в первом из интегралов изменено направление оохода контура ADB на BDA, в связи с чем изменен знак первого слагае­ мого, затем оба интеграла объединены согласно свойству 4° криво­

АI

Врезультате вычитания этих равенств приходим к формуле

Грина

В этой формуле контур I обходится в

положительном направлении; это значит, что.при обходе контура область А ос­ тается с л е в а .

П р п м е ч а н п е . Формула Грина (18) имеет место при следующих более общих усло­ виях.

1. Граница I области А может пересекаться прямыми, параллельными координатным осям, более чем в двух точках. Так, в случае, изобра­

части области А и результаты сложить, то в ле­ вой части получится двойной интеграл по всей области А , а в правой части — криволинейный интеграл только по контуру/, потому что криволинейные интегралы по линии разреза области А встречаются по два раза, обходятся

впротивоположных направлениях и при сложении взаимно уничтожаются.

2.Область А может быть многосвязной. *

Действительно, например в случае, изображен­ ном на рис. 135, для доказательства нашего ут­ верждения достаточно провести разрез так, чтобы получилась односвязная область, и убе­ диться в том, что интегралы вдоль линий разреза взаимно уничтожатся. Важно подчеркнуть, что в формуле Грпна для многосвязной области кон­ тур I тоже обходится в положительном направ­ лении.

С помощью формулы Грина можно получить выражение пло­ щади плоской фигуры криволинейным интегралом по контуру этой фигуры. Для этого достаточно выбрать функции Р и Q удо­ влетворяющими условию Q'x — Р 'у^ві в области А. Тогда двоіі-

* Плоская область А называется односвятой, если любой замкнутый контур, лежащий внутри этой области, ограничивает конечную часть плоско­ сти, принадлежащую А. Если область не односвязна, то она называется

многосвязной.

ноіі интеграл дает величину площади FA области А. В частности,

191. Условия независимости криволинейного интеграла от пути. Пусть в плоской области А заданы непрерывные функции

Р (х, у) и Q (х, у) и М 0М — гладкая дуга, лежащая в А. Рас­ смотрим вопрос о независимости от пути интеграла

2. Интеграл (20) не зависит от пути интегрирования в обла­

3. Выражение Р (х , у) dx + Q (х, у) dy представляет собой полный дифференциал некоторой функции и (х, у), т. е. в области. А существует такая (функция и (х, у), что

4. В каждой точке области А выполнено условие

дР _ dQ ду дх

Логическая схема доказательства теоремы такова: докажем, что из условия (I) следует условие (II), из условия (II) — условие (III), из (III) следует (IV), а из (IV) следует (I).

1. Пусть выполнено условие (I), тогда будет равен нулю интеграл по замкнутому контуру М 0аМ $ М 0, изображенному на

тельство этого результата в случае, когда кривые М йаМ и М $ М имеют более двух общих точек, мы опускаем.*

М (X, у). В силу условия (II) интеграл (20) не зависит от пути, он является функцией точки М (х, у). Определим функцию и (х , у) равенством

Докажем, что эта функция имеет непрерывные частные произ­ водные первого порядка. Согласно условию (II) и формуле (21)

По условию (II) криволинейный интеграл (22) не зависит от пути, поэтому можно принять в качестве пути интегрирования прямолинейный отрезок MN, параллельный оси Ох. Тогда под знаком интеграла (22) величина у будет сохранять постоянное значение, a dy = 0, и криволинейный интеграл (22) будет равен определенному интегралу, зависящему от параметра у, преобра­ зуем его по теореме о среднем:

лМ -Ду

Аналогично выводится равенство иу — Q (х, у). Имеем

Отсюда следует, что

du = l l dx+ l ü dy = p (x ’ y)dx + Q(x, у) dy.

3. Пусть выполнено условие (III) и, следовательно, имеют место равенства (23). По теореме о равенстве смешанных произ­ водных имеем

Ру— иху — Uyx — Qx,

т. е. выполнено условие (IV), так как Р'у и Q'x непрерывны.

4. Пусть выполнено условие (IV). Фиксируем в области А любой замкнутый контур I, гладкий или кусочно-гладкий. Обозна­

Левая часть этого равенства равна нулю в силу условия (IV) и поэтому равна нулю и его правая часть, т. е. выполнено условие

(I). Теорема полностью доказана.

О б о б щ е н и е т е о р е м ы н а с л у ч а й т р е х м е р ­ н о г о п р о с т р а н с т в а . Аналогично можно доказать при соответствующих условиях равносильность следующих четырех условий: