Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

п.191, потому что функции P, Q, Р'у и Q'x внутри контура и на нем непрерывны

иР'и Q'x-

Если же контур I охватывает начало коор­ динат, то теорема эта не применима, потому что

З а д а ч а о к о л и ч е с т в е т е п л а , п о г л о щ е н н о г о г а ­ з о м п р и п е р е х о д е и з о д н о г о с о с т о я н и я в д р у г о е . Рассмотрим некоторую массу газа, например 1 кг. Состояние газа характери­

яний. Процесс предполагается квазистатическим, когда все параметры меня­ ются бесконечно медленно, так что система все время находится в со­ стоянии равновесия.

Требуется установить количество тепла Q, поглощепного (или выделен­ ного) данной массой газа во время процесса, характеризуемого кривой AB.

Для этого рассмотрим «бесконечно малый» элементарный процесс, пере­

где cv — теплоемкость газа при постоянном объеме; ср — теплоемкость газа при постоянном давлении. Для нахождения общего количества тепла Q, сообщенного газу в течение всего процесса, представленного кривой ЛВ, надо «просуммировать» элементы 8Q вдоль всей кривой и мы получим выраже­ ние Q в впде криволинейного интеграла

Если считать, как это обычно делается, величины сѵ и ср постоянными, то выражение, находящееся под знаком интеграла (29), не является полным дифференциалом, потому что ср )> сѵ и

Функциями состояния называются величины, не зависящие от предысто­ рии процесса и полностью определяемые их состоянием в данный момент. Количество тепла Q н е я в л я е т с я функцией состояния н зависит от процесса, который к этому состоянию приводит. Действительно, в нашем слу­ чае величина Q представлена криволинейным интегралом, который з а в и ­ с и т от пути AB. Поэтому при циклическом процессе, возвращающем газ в его первоначальное состояние, газ может приобрести или потерять некоторое количество тепла.

Если выражение элементарного количества тепла (28) разделить на Т =

ставляет собой полный дифференциал, так как

Первообразной здесь служит функция S (и, р) = ср ln ѵ + с0 ln р. Криволинейный интеграл

(о, Р)

так называемую энтропию — физическую величину, которая является функ­ цией состояния.

192.Потенциальное векторное поле. Пусть в области В опре­

Если контур I представляет замкнутую линию, то работа вектор­ ного поля называется циркуляцией вектора вдоль этого замкну­ того контура.

О п р е д е л е н и е . Векторное поле а (М) называется потен­ циальным в области В, если работа этого поля не зависит от пути.

Заметим, что иногда под потенциалом векторного поля понимают не и (М ), а —и (М ).

Теорема 1. Работа потенциального векторного поля вдоль любого пути равна разности значений потенциала этого поля в

П р и м е р 1. Электростатическое поле точечного заряда величины q, помещенного в точке М 0 (х(1, ;/0, z0), характеризуется вектором напряжен­ ности Е, который в точке М (х, у, z) равен

если принять равным единице коэффициент, характеризующий среду, и по­

и точкой наблюдения М. Вектор напряженности Е направлен от М 0 к М и орт этого направления равен г/г. Поэтому имеем формулу (35).

Докажем, что вектор напряженности Е равен градиенту скалярной функ­ ции и (М) = —q/r. Для этого найдем частные производные их = и'Тг'х —

этого ноля направлены в одну точку М 0 (называемую центром) или из нее. Поэтому

Отсюда следует, что центральное векторное ноле (36) потенциально и его потенциал определяется равенством (37).

В частности, если / (г) == kq/rz (к — + 1 или к = —1), что соответствует случаю поля тяготения и электростатического поля при наличии точечного источника в однородной среде, то

По теореме 1 получаем выражение работы центрального поля в рассматривае­ мом случае

§33. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

193.Определение поверхностных интегралов, нх свойства.

Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Рассмотрим прежде всего задачу,

которая приведет к понятию поверхностного интеграла пер­ вого рода.

Задача о массе изогнутой пластины. Пусть на поверхности S

непрерывно распределено вещество с известной плотностью р (М). При этом под плотностью вещества в точке М поверхности S понимается предел средней плотности на бесконечно малом эле­ менте, содержащем точку М. Требуется определить всю массу материальной поверхности S.