Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 203

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решение задачи состоит в выполнении следующих действий (рис. 139). 1. Разделим поверхность S произвольными гладкими

линиями на п элементарных частей А5* с площадями

ДоА, наи­

большую из этих площадей обозначим Хп.

АSk

плот­

2. Предположим, что в каждой элементарной части

ность постоянна и равна р (N k), где N k — одна из

точек

АSk,

безразлично какая. Тогда масса к-го элемента будет приближенно

равна АтК^

р (Nk) Aok.

3. Для

массы всей поверхности получим приближенное выра-

жение т

П

P (Nk) Aok.

2

k=l

4.Определим массу материальной поверхности («изогнутой

пластины») как

предел

полученной суммы при

стремлении Хп

к нулю:

 

 

 

П

 

р (М ) do.

 

т = lim 2 P {Nk) Aok ■- : Jj*

 

/£=1

s

 

 

 

( 1)

 

 

 

 

Пределы такого

вида называются

 

поверхностными

интегралами пер­

 

вого рода.

 

 

 

Сформулируем определение по­

 

верхностного интеграла

первого

 

рода в общем случае. Пусть функция F (М) определена на гладкой

поверхности S.

Разделим, как и выше, S на элементы AS г, . . .,

ASn с площадями Аод, . . ., Асг„ соответственно

и обозначим че­

рез %п наибольшую из этих площадей. Выберем на каждом эле­ менте ASk произвольную точку N k и составим такую интеграль­ ную сумму:

an= £ F ( N k ) A o k.

 

k=l

О п р е д е л е н и е

1. Конечный предел интегральной

суммы ап при стремлении Я„ к нулю (если этот предел

существует

и не зависит от способа деления S на элементарные

части и от

выбора точек N) называется поверхностным интегралом первого

рода от функции F (М) по поверхности S и обозначается

сим­

волом

 

 

J j F

{М)da = Hm É F {Nk) Aok.

(2)

s

V ”

 

Его физическое истолкование: например, это масса материаль­ ной поверхности с плотностью распределения вещества F (il/).

Введем понятие с т о р о н ы п о в е р х н о с т и . Пусть S — гладкая поверхность (см. п. 133), не содержащая особых точек. Выберем на ней внутреннюю точку Л/0, проведем через нее

нормаль к S и выберем на этой нормали одно из двух возможных

направлений; пусть оно представлено единичным вектором п.

Проведем на S через М 0 какой-либо замкнутый контур I, не име­

ющий общих точек с границей поверхности. Будем перемещать

точку М из положения М

0 вдоль I так, чтобы вектор п оставался

все время нормальным к

S и чтобы его направление менялось

при этом н е п р е р ы в н о . Возможны только два случая: после обхода контура мы вернемся в М 0 либо с тем же направле­ нием нормали, либо с направлением, противоположным исход­ ному.

Гладкая поверхность S называется двусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на S и не имеющему общих точек с ее границей, не меняет направления нормали.

Введем понятие поверхностного интеграла второго рода. Пусть S — гладкая двусторонняя поверхность. Фиксируем ту сторону этой поверхности, которая представлена выбранным еди­ ничным вектором нормали к поверхности n = n (М). Пусть в каж­

дой точке поверхности S определена векторная

функция

точки

а (М), имеющая непрерывные проекции Р (М ),

Q (М),

R (М )

на координатные оси.

элементы АSk

Разобьем поверхность каким-либо способом на

с площадями Aak и обозначим наибольшую из этих площадей

через \ п. На каждом элементе выберем произвольную

точку Nk

и рассмотрим сумму

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ßn = ü a (TV*) п (ЛД) Ааь

 

где a (Nk) — значение

вектора

а (М)

в

точке N k; n (N k) — еди­

ничный вектор нормали в этой точке;

а п — скалярное

произве­

дение этих векторов.

2.

Конечный

предел интегральной

О п р е д е л е н и е

суммы ß„ при стремлении Хп к нулю (если он существует и не зави­ сит от способа деления S на элементы и выбора точек N ) назы­ вается поверхностным интегралом второго рода от векторной

функции а

(P , Q, R) по в ы б р а н н о й с т о р о н е п о в е р х ­

н о с т и

и обозначается символом

 

( 3)

Из определения следует, что при изменении стороны поверх­ ности поверхностный интеграл второго рода меняет лишь знак. Действительно, если изменить направление n на противополож­ ное, то изменит знак сумма ß„ и ее предел (3).

Обозначим направляющие косинусы вектора п, соответству­ ющего выбранной стороне поверхности, через cos а, cos ß, cosy. Интегральную сумму ß„ можно записать в виде

п

R

=

У, (Р cos а + Ç cos ß -f R cos у] Aak.

Уп

 

f"■'

*ѵ/е
IIап da

Перейдя в (4) к пределу при Х„

0, согласно (2) и (3) получим

[ [ an da = [ I (Р cos a

Q cos ß , -i?cos y) da.

(5)

' s V

П р и м е ч а н и е 1. Если do — бесконечно малый элемент площади поверхности, то выражения cos a da, cos ßda, cos yda представляют собой проекции элемента da на координатные пло­ скости Oyz, Oxz и Оху, поэтому мы обозначим их dydz, dxdz и dxdy соответственно.

На основании этого интеграл (3) записывают также в другой форме:

jJ (Р cos га + Q cos ß + R cos Y)da =

' s s

 

= P dy dz + Q dx dz + R dx dy.

 

(6)

 

’ s

 

 

 

 

 

Если интегральную

сумму

ß„ представить

в виде

ß„ =

П

 

 

 

 

 

 

= 2

ап (Nk) &ak, гДе ап (М) — проекция вектора

а (М ) на

Hop­

fte

п (М), и перейти

в

этом

равенстве к пределу, то получим

малъ

следующую формулу связи между поверхностными интегралами

первого и второго рода:

 

 

 

 

 

[ j

ап da =

J I ап (М) da.

 

(7)

 

’ s

 

 

s

 

 

П р и м е ч а н и е

2.

Можно доказать, что при наших

пред­

положениях

о гладкости поверхности £ и непрерывности функ­

ций F (М ), Р (М ), Q (М ) и R (М ) интегралы (2) и (3) существуют.

О б щ и е

с в о й с т в а п о в е р х н о с т н ы х и н т е г ­

р а л о в .

I

1°. Постоянный множитель можно вынести за знак поверхно­

стного интеграла.

интеграл от алгебраической суммы функ­

2°. Поверхностный

ций равен соответствующей сумме интегралов от слагаемых.

3°. Если поверхность разбитъ на конечное число частей, то интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по всем ее частям.

4°. Меньшей функции соответствует меньший интеграл, т. е. из неравенства f (М) у g (М ), которое выполняется на S, следует

неравенство \1/

(М) da sg ]j

g (M ) da и, например, fj / (М) dxdy^

s

s

 

’ s

Яs ё (M ) dxdl/»

если cos (n,

z)

0.

5°. Теорема о среднем. Если F (М) непрерывна на поверх­ ности S ( с площадью о), то на S имеется такая точка М *, что

/ f F(M)da = F(M*)a.

"s

Все эти свойства поверхностных интегралов вытекают из их определения и выводятся так же, как свойства определенных,

кратных и криволинейных интегралов (см.

пп. 154, 169, 188).

194. Поток вектора через поверхность.

Пусть в области В

дана векторная функция точки а (М ) с непрерывными проек­ циями P (М), Q (М) и R (М) на координатные оси.

На поверхности S, ограничивающей В, выберем определенную сторону и рассмотрим интеграл (3). Он допускает следующее физическое истолкование. Будем трактовать векторную функ­

цию а (М)

как скорость

потока однородной

жидкости

с

плот­

ностью р =

1. Тогда произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

а (Nk) n (N,,) Аок= а (Дд) cos (а,

п Ц

Ащ,

 

 

(8)

 

 

представляющее общий член интеграль­

 

 

ной суммы (3), может быть

истолковано

 

 

либо как объем цилиндра (любого из

 

 

двух

равновеликих

цилиндров,

изо­

 

 

браженных

на

рис.

140 с основанием

 

 

Док и

высотой,

равной проекции

век­

 

 

тора а на нормаль п), либо как

отне­

 

 

сенное к единице времени количество

 

 

жидкости,

протекающей

через

пло­

 

 

щадку

Дсг* в сторону нормали n (так

 

 

как р =- 1).

 

 

интеграл

(3)

дает

 

 

Следовательно,

ющеи через

поверхность

общее количество жидкости, протека-

S в

сторону

выбранной

нормали п,

отнесенное к единице времени

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхностный интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Яan da

 

 

 

 

 

 

(9)

(независимо от конкретного смысла вектора а) называется потоком вектора а (М), или потоком векторного полян (М), через поверх­ ность S в сторону нормали п. Заметим, что при перемене напра­ вления n интеграл меняет лишь знак.

И р іг м е р. Рассмотрим поло температур и (М). Через элемент da поверхности S в сторону нормали n за время dt вследствие теплопроводности

, , ди ,

переместится количество тепла, равное dQ — —kda — dt, где k — положи­

тельное число, называемое коэффициентом внутренней теплопроводности. Введем в рассмотрение так называемый вектор потока тепла q — —k grad и. В соответствии с формулой (8) п. 184 имеем dQ — qn dadt. Поэтому через всю поверхность 5 переместится количество тепла (отнесенное к единице времени), равное потоку вектора q через поверхность S в направлении нормали n :

Q —У qnda.

"s

195. Вычисление поверхностных интегралов. Пусть гладкая по-

верхность S

задана уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 = fix,

у),

 

 

 

(Ю)

 

правая часть которого определена в области А,

представляющей

 

проекцию поверхности S на плоскость Оху. Предполагаемая

 

гладкость поверхности S означает непрерывность частных произ­

 

водных /.Г ~

P

II f'y ~ д.

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения направляющих косинусов нормали п к по­

 

верхности S

запишем уравнение (10) в виде ср =

 

/ (х, у) — z = 0

 

и найдем ср.( =

р,

<pÿ — q, q>'z = —1. Получим (см. п. 133)

 

 

cos а —

о2

 

COS ß :

V i + i

 

 

 

 

 

 

 

± М

 

 

 

 

 

 

cosy

 

— 1

 

( 11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

± V i +p2 + q2

 

 

 

 

 

 

Выберем

 

ту

сторону

поверх­

 

 

 

 

 

ности, для которой выполнено ус­

 

 

 

 

 

ловие cos у Д> 0

(рис. 141).

Поэтому

 

 

 

 

 

в формулах

(11) перед

корнем сле­

 

 

 

 

 

дует выбрать

знак минус и тогда, в

 

 

 

 

 

частности, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

cosy

 

1

 

( 12)

 

 

 

 

 

 

У 1+р2+у2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим,

что

величина

Аа пло­

Рис•

 

 

щади элемента поверхности S связа-

 

 

на с площадями проекций Дауг,

 

 

 

Oxz

 

Аахг, Ааху этого элемента

на координатные плоскости Oyz,

 

и Оху соотношениями

 

 

 

 

 

 

 

 

Аауг = Аст • cos а,

А<т*2= Аа-cos ß,

Ааху=

Аа• cos у,

 

 

где cos а, cos ß и cos у суть направляющие косинуса нормали к S

 

в некоторой точке N* элемента AS. Следовательно, имеем

 

 

 

 

 

Д

Уи 1

+р= 2

+

аху.g

2

L

(, 1

3А

Заменим в интегральной сумме, соответствующей интегралу (2), величину Ди по формуле (13), а величину z — по формуле (10). Получим

к

Уи, Ч ) АОk ^ - ï’j F (xk,

У ь

/ (Хк, Уи)) / М

- р 2 + r f

I

(Аа ху)к.

к

 

 

 

1

к

 

 

 

 

 

 

(14)

Если в качестве точки Nk выбрать точку N% и

перейти в

этом

равенстве к пределу

при

Хп -> 0, то

получим

формулу,

Смотрите также файлы