Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 198

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

связывающую поверхностный интеграл первого рода с двойным интегралом:

S

у,

z ) d a = \ \ F { x , у,

і

(х, у)) |

/

р*1 ..

q-dxdij.

(

1

5

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При F (М )

1 на

.S' по

определению

поверхностного

интег-

 

рала имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J J d o -

lim 2

Aa„ = F„,

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

-> 0 f t = l

"

 

s ’

 

 

 

 

 

 

где Fg — площадь поверхности S.

В этом случае формула (15)

 

дает выражение площади поверхности в виде двойного интеграла:

 

 

 

 

 

 

Fs =

| J

V~1 + р2 -f g2 dx dy.

 

(

1

6

 

 

 

 

 

П р и м е р

1.

Найти площадь части сфе­

 

 

 

 

рической

поверхности

£2+ г/2 + z2 = R2,

вы­

 

 

 

 

резанной

из нее плоскостью

z — h, где 0 ^

 

 

 

 

sÇ h < R (рис.

142).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

Z = ]Л й 2 — ж2 — Î/2 ,

поэтому

Р

=

 

 

 

 

=

—x/z,

q ——уf z

и 1 + p 2 + g2 = Д2/ 22-

Об-

 

 

 

 

ласть А есть круг

радиусом

Ri = V R 2 — h2

 

 

 

 

с центром в точке с координатами ж0 = г/0 = О,

 

 

 

 

z0 = 0. По формуле

(16)

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rdr

 

--2nR V R 2- r 2

= 2лR (R —h).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V № —г*

 

 

Ri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С целью

сведения

поверхностного

интеграла

второго

рода

 

I [ R (М ) dx dy к двойному интегралу заменим в соответствующей

 

"'s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегральной сумме величину z по формуле (10); получим

 

 

 

 

2

 

Ук,Я *к) №

ху)к(

а

2 *

Я

,(xk,

у k,

f ( x k, yk) ) ( à a Xy)k.

 

 

 

 

к

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдя в этом равенстве к пределу при кп ->- 0, получим значе­

 

ние нашего интеграла по верхней стороне поверхности

 

 

 

 

j j

Я (ж, У, z) dx dy = J J R (x,

y, f(x,

y))dxdy.

 

(17)

 

S

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично вычисляются поверхностные интегралы второго рода по координатам x, z и г/, z.

Вычисление поверхностного интеграла от векторной функции точки сводится к вычислению поверхностного интеграла первого рода с помощью формулы (5).

П р и м е р 2- Вычислить 11 (у2 + z2) dx dy, где] S — верхняя сторона

_________"s

поверхности z -- | а2 — ж2, отсеченной плоскостями у ■— 0, у = Ь и z = 0. Р о ін е н и о. Проекция S па плоскость Оху есть прямоугольник А , определяемый неравенствами —а ^ х ==; а, 0 £=: у ^ Ъ. По формуле (17)

находим

 

 

а

Ь

fj(ÿ2 +

z2) d x d y = f

I (ÿ2 + c/2—ж2) dx dy =-- I

dx | (y2-)-«2 — x^)dy =

S

Л

- a

(J

 

a

 

 

 

— ^

— [—a'-b— xïb'j йж = -|- ab (2я2 -|-Ь2).

-a

196.Формула Остроградского.* Формула Остроградского свя­ зывает тройной интеграл по трехмерной области с поверхностным интегралом по внешней стороне по­ верхности, ограничивающей эту об­ ласть.

Пусть дана замкнутая конечная

трехмерная область В , ограничен­ ная поверхностью S. Относительно S предполагается, что она гладкая или кусочно-гладкая и что прямые, параллельные осям координат, пере­ секают ее не более чем в двух точках. Проекция S на плоскость Оху есть область А (рис. 143).

Пусть Z = Z 1 (X, у) Il

z =

z 2 (х, у)

суть уравнения соответствующих ча­

стей

S — нижней части

S х и

верх­

ней

So, где zx (х, у) и z2 (х,

у)

непрерывны в области А.

Данные функции P,

Q и R

непрерывны вместе со своими ча­

стными производными Р ’х, Qÿ, R ’z в замкнутой области В.

Рассмотрим тройной интеграл от R ’z по области В и преобра­ зуем его, как указано ниже, в двойной интеграл и, наконец, в поверхностный интеграл второго рода:

^ d x ~ A \ d x d y 1 Л

R (X, г/, zx(х,

г 2 ( хГ, у )

дЯ

-dz=

f f [R{x, y, z2(x, y)) —

J

dz

II

V^

Zi (х, у)

 

- 1fR (x, y, z) dx dy —

y))\dxdy

ш s;

-Пл<*. У, ■

R(x,

y,

z) dx dy +

 

Sx

г) dx dy — U

 

s2

 

 

 

 

У,

z) dx dy == ]7 R(x,

У,

z)dxdy.

(18)

Si

S

 

 

 

 

* Михаил Васильевич Остроградский (1801—1861) — русский матема­ тик и механик.

Преобразование I основано на правиле вычисления тройного интеграла, II — на формуле Ньютона — Лейбница, III — на формуле (17); в результате получаются интегралы по верхним сторонам поверхностей 5Д и S 2. Преобразование IV приводит к поверхностным интегралам по внешним сторонам S t и S 2. Затем эти интегралы объединены в один интеграл по внешней стороне поверхности S.

Аналогично получим

J [ J Qy dx ~

J J Q dx dz,

j J J P'x dx - ----J j*P dy dz.

(19)

h

s

B

s

 

Сложив эти три равенства, придем к так называемой формуле Остроградского (в координатной форме)

j j

P dy dz-'rQdxdz + R d x d y ^ Щ ( i £

+

+ 4 r

) d%’ <2°)

S

B

 

 

 

где поверхностный интеграл берется по

в н е ш н е й

стороне

поверхности S.

 

 

 

П р и м е ч а н и е. При выводе формулы Остроградского мы считали, что поверхность S , ограничивающая область В , пересекается прямыми, парал­ лельными координатным осям, по более чем в двух точках. Можно доказать справедливость формулы Остроградского при условии, что В есть ограничен­ ная область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей.

197. Дивергенция вектора. Пусть дана векторная функция точки а [М), проекции которой P (М), Q (М ) и R (М ) на коорди-

натные оси имеют частные производные

дР

дО

дП

 

^

и тр-.

О п р е д е л е н и е . Дивергенцией, или расходимостью, век­ тора а (М) называется скалярная функция точки, определяемая равенством

div а (М) =

дР

.

dQ

dR

(21)

 

дх

'

ду '

dz

 

С помощью понятий дивергенции вектора и потока вектора (см. п. 194) формула Остроградского может быть записана в век­ торной форме

f ( ап da = j j j div a dx

(22)

Sв

исформулирована так: поток вектора а через замкнутую поверх­ ность в направлении внешней нормали равен интегралу от дивер­ генции этого вектора, взятому по области, ограниченной этой

поверхностью.

Инвариантное (по отношению к выбору системы координат) определение дивергенции вектора получим с помощью формулы (22). Для этого фиксируем точку М векторного поля а (М ), окру-

жим ее поверхностью S и обозначим через В область, ограничен­ ную S. Напишем для области В формулу Остроградского (22) и по теореме о среднем для тройного интеграла получим

d iv a (A / * )F B =

JJ anda.

Отсюда следует, что

 

s

 

ff о« der

 

 

d i v a ( M ) = lim

 

(23)

(S) - M

V T

 

 

T . e. дивергенция вектора в каждой точке поля М есть предел отношения потока этого вектора через бесконечно малую замкну­ тую поверхность, окружающую М, к величине объема области, ограниченной этой поверхностью.

Физический смысл понятия дивергенции позволяет выяснить формула (23). Для этого будем трактовать а (М) как вектор ско­ рости течения однородной несжимаемой жидкости (с плотностью

р — 1). В п. 194 установлено, что интеграл J = J j ando равен s

количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в сторону нормали п. Пусть S — замкнутая по­ верхность и п - ее внешняя нормаль.

Если величина потока J > 0 , то из области В, ограниченной поверхностью S, вытекает больше жидкости, чем втекает в нее. Следовательно, внутри В должны быть и с т о ч н и к и жидкости, обильность (интенсивность) которых характеризуется величиной потока J. Если / < 0 , то внутри В есть с т о к и жидкости. Обильностью, мощностью, или интенсивностью, источника (стока) назовем величину потока вектора через бесконечно малую поверх­ ность, охватывающую источник или сток.

Более точной характеристикой обильности источников и стоков в области В служит удельная обильность, т. е. отношение вели­ чины потока к объему области, ограниченной S: J/VB . Именно эта величина содержится в формуле (23) под знаком предела. Для того чтобы получить характеристику удельной обильности источника или стока в точке М, надо перейти к пределу в полу­ ченном отношении, когда область В стягивается к точке М. При этом согласно формуле (23) получим значение дивергенции век­ тора скорости в точке М.

Следовательно, если а (М ) есть скорость потока однородной несжимаемой жидкости, то div а (М ) характеризует удельную обильность источника или стока в точке М рассматриваемого поля скоростей.

В общем случае, когда вектор а (М ) может быть не является

вектором скорости потока жидкости, величина jj ап do есть поток

S

вектора а через поверхность S. Поэтому, рассуждая так же, как

Смотрите также файлы