выше, придем к выводу, что div а (Л/) характеризует мощность источника или стока поля в точке М.
Поэтому точки, в которых div а (М) О 0, называются |
источ |
никами векторного поля\ точки, в которых |
div а (М) < 0 , |
назы |
ваются стоками векторного поля а(М). |
|
|
|
|
Заметим, что иногда в физике под интенсивностью источника |
(стока) понимают не div а (М), а — |
div а (М). |
|
|
|
Ф о р м а л ь н ы е с в о й с т в а |
д и в е р г е н ц и и . |
Пусть |
а (М) |
и b (М) — векторные функции точки и cp (М) — скалярная |
функция точки. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
1°. div (а |
b) ~ |
diva-j-div Ь, |
|
|
|
|
|
(24) |
2°. div (ф а) = ф div а |
(grad ф, а). |
|
|
|
|
|
(25) |
Действительно, |
согласно |
определению |
дивергенции имеем * |
1) |
div (а ;-Ь): |
|
і |
|
дах . |
|
j |
dbx |
|
дх |
|
дх |
|
г |
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div а -- div b, |
|
|
|
|
2) |
аіѵ (<р«) = |
І | |
^ Ы . . |
. _ |
ф ( - ^ і |
- |
; - . |
. . ) |
+ |
|
|
|
+ |
( - 5 - “ ' + |
|
Ч>div “ |
(gr»d'f. |
«)■ |
|
|
198. Соленоидальное векторное поле. Векторное поле а (М) называется соленоидальным в области В, если в этой области нет источников и стоков, т. е. выполнено условие
diva(/H)==0. (26)
Рассмотрим произвольную векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями и S 2 (рис. 144); поверхность рас сматриваемого участка трубки обозначим S. Согласно условию (26) формула Остроградского (22) дает
И ап da I j апder + 11 а,, da О.
По определению векторной трубки векторы а и п на поверх ности S ортогональны, их скалярное произведение равно нулю, и поэтому равен нулю интеграл по S. Если в интеграле по поверх ности S 2 изменить направление нормали, то придем к равенству
I l |
anda= I l anda, |
s, |
s2 |
* О значении многоточий см. примечание в конце п. 184-
выражающему следующее положение: поток соленоидалъного век тора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет по стоянную величину, ее называют интенсивностью векторной трубки.
ГГ р и м е р . Требуется вычислить дивергенцию и поток вектора на пряженности электростатического поля, создаваемого точечным источ ником.
Пусть источник находится в начале координат. Тогда
Е = 75-г, |
где г = хі-\- у] + zk. |
|
Рис. 144. |
|
|
Проекции вектора Е будут Ех = |
Е„ |
ЧУ |
£ - |
i l |
Их |
гз ’ |
|
r 3 • |
производные |
соответственно равны: |
|
|
|
|
|
дЕг |
7Г (7'2~ Зх2), |
дЕи |
ГЬ (г2- Ш |
дЕг |
(г2- |
3z2). |
|
дх |
ду |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому, если г -ф 0, то |
дивергенция |
вектора |
напряженности |
равна |
|
дЕх |
дЕи |
дЕг |
|
|
|
|
|
|
divE: |
|
№ + У2 +*)]■ |
|
|
дх |
ду |
dz = -%■№>*S |
|
Таким образом, дивергенция электростатического поля точеч ного источника равна нулю всюду вне источника:
Рассмотрим величину потока век тора напряженности через замкну тую поверхность S всторону ее внешней нормали. Возможны два случая. Если поверхность S не со держит внутри себя источника, то по формуле Остроградского, прини мая во внимание условие (27), полу чим
|
|
\ \ E nd a ^ 0. |
(28) |
|
|
s |
|
Пусть S — сфера с центром в начале координат. Тогда |
|
^ E nda ^ |
^ - ^ r . ^ d a = ^-2 |
d a = - ^ - 4 л й 2 = 4яд. |
(29) |
s |
"s |
s |
|
Этим доказано, что поток вектора напряженности через по верхность сферы с центром в источнике в направлении внешней нормали не зависит от радиуса сферы и равен 4яд.
Докажем, что этот результат верен для любой гладкой замкну той поверхности S, содержащей заряд внутри себя. Для этого рассмотрим сферу 6Д с центром в начале координат, имеющую столь малый радиус, что она целиком содержится внутри S. Но формуле Остроградского для области В, ограниченной поверх ностями S и S lt имеем
JJ Ændtr + Jj |
Enda = JJJ divEdx. |
S |
S t |
B |
Здесь правая часть равна нулю согласно формуле (27). Изменим направление нормали к сфере и в соответствии с формулой (29) получим
JJ Endo — J J Endo —4яд.
SS 1
199.Формула Стокса. * Формула Стокса связывает поверх ностный и криволинейный интегралы. Пусть поверхность S обла дает следующими свойствами: 1) это гладкая (или кусочно-глад кая) поверхность, ограниченная гладким (или кусочно-гладким) контуром I, 2) прямые, параллельные координатным осям, пере секают S не более чем в одной точке, 3) поверхность двухсторон няя; выберем ту сторону S, на которой выполняется условие
cosy = cos (n, z) > 0 . |
Обозначим через X проекцию I на пло |
скость Оху, через А — проекцию S на плоскость Оху (рис. НБ). |
Пусть поверхность |
S задана уравнением z — f (х, у) в об |
ласти А. Направляющие косинусы нормали п найдем так же, как в п. 195:
|
cos а = |
|
, |
cos ß= — |
’ |
|
|
I l |
+p2 + q2 |
1 |
Kl + PH -g* |
|
|
cos Y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что |
УI + р2+92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
р cos Y = |
— cos a, |
|
g cos у — — cosß. |
(30) |
На поверхности S заданы непрерывно дифференцируемые |
функции |
Р (М ), |
Q (М) |
и R (М). |
интеграл |
в двойной, |
а затем |
Преобразуем |
криволинейный |
в поверхностный: |
|
|
|
|
|
|
|
J Р (х, у, z) dx = J |
P (x, y , / (x, |
y)) dx = |
|
|
i |
|
1 i |
|
|
и |
|
= [ P{x, g, f(x, y)) dx = — I j (Py + P ’z -Zy)dxdy = |
|
|
I |
|
III |
JAJ |
IV |
|
= |
—■J j (Py + P'zq) cos y d a ^ |
j" j (P'zcos ß— Pÿ cos Y) da. |
|
s |
|
|
v |
s |
|
|
* Джон Габриель Стокс (1819—1903) — английский фішж и математик.
Здесь равенство I основано на том, что кривая I лежит на поверх ности S, и поэтому для всех точек I выполнено соотношение между координатами z = / (х, у). Переход II основан на том, что подын
тегральная функция |
зависит лишь от х и у, и поэтому согласно |
правилу |
вычисления |
криволинейного |
интеграла его |
величина |
не изменится при замене контура I |
на К. Переход III основан на |
формуле |
Грина (18) |
п. 190 в случае Q е_-.: 0. Переход IV основан |
на формуле |
|
z) cos у da = JJ |
|
|
|
|
|
\ \ Р { х , |
у , |
Р (х, |
у, |
f(x, y))dxdy, |
|
S |
|
|
|
А |
|
|
|
|
вытекающей из |
соотношений (12) |
и (15). |
Переход V |
выполнен |
с помощью второй из формул (30). |
|
|
|
|
Аналогично получим |
|
|
|
|
|
|
[ Q dy - |
J j (Qx cos у —Qz cos a) da, |
|
|
i |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
J R dz = j j |
(Ry cos a — R'x cos ß) da. |
|
|
i |
|
|
s |
|
|
|
|
|
Сложив эти равенства, |
придем к соотношению |
|
|
|
|
j P dz -f Q dy + R dz = |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
= j j |
\Шу — <?г) cos a + (p; — i?;)cosß + (0i — Py) cos Y} |
da. (31) |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем к поверхностному интегралу второго рода, положив согласно примечанию 1 п. 193 в правой части равенства (31)
cos a da ~ dy dz, cos $da ~dxdz, cos Y da ~ dx dy.
Получим формулу Стокса в координатной форме
j P dx-f Q dy + R dz = i
= J j {Ry — Q'z)dydz-ir (P ’z— R'x)dxdz^{Q 'x— Py)dxdy. (32) s
Пр и м е ч а н и е 1. Формула Грина есть тот частный случай формулы Стокса, когда S — область А плоскости Оху с конту ром I и Л ET 0.
Пр и м е ч а н и е 2. Формула (32) верна и в случае, когда прямые, параллельные координатным осям, пересекают S более
чем в одной точке, если выполнено следующее п р а в и л о о б х о д а к о н т у р а : наблюдатель, обходящий I и направленный
по n *, должен иметь от себя слева часть поверхности S, непо средственно прилегающую к обходимому участку контура. Для доказательства этого утверждения достаточно разделить S вспо могательными контурами lk на части, в которых выполнено условие пересечения прямыми, параллельными координатным осям, не более чем в одной точке. Далее надо написать формулу Стокса для каждой части S и результаты сложить. При этом получится формула (32) для всей поверхности S в целом, потому что криво линейные интегралы по lk в сумме будут равны нулю, принимая во
внимание правило обхода контура. |
а (М) |
-- |
200. |
Ротор вектора. Рассмотрим векторное поле |
■P (М) і + Q (М ) j -f- R (М ) к. Левая часть формулы (32) |
дает |
|
величину работы этого векторного поля вдоль замкнутого кон тура /, т. е. циркуляцию вектора а (М) по контуру I. Согласно равенствам (8) и (11) п. 188 имеем
J P dx -J- Q dy -j- R dz = |
J a dr |
------J" а%ds. |
i |
|
i |
i |
О п р е д е л е н и е . |
Ротором, |
или |
вихрем, вектора а (М ) |
называется вектор rot а (М), определяемый равенством
rot а (М) = (R'y— Q'z) i -b (P'z — R'x) \ + {Q'x — Ру) k.
Его удобно представить символической формулой
|
|
і |
3 |
к |
|
rota(M ) |
д |
д |
д |
|
дх |
ду |
dz |
|
|
|
|
Р |
Q |
R |
которую следует понимать в смысле равенства (33). Проекции вектора rot а по определению суть
(rota )x*=Ry — Q'z, (rota )y ^ P z’ — Rx,
|
(rota )z = Qx — Py. |
(35) |
Пусть |
n = cos ai + cos ßj + cos yk есть нормаль |
к поверх |
ности S, |
соответствующая выбранной стороне поверхности. Тогда |
подынтегральная функция правой части равенства (31) предста вляет скалярное произведение векторов n и rot а, а вся правая часть равенства (31) равна потоку вектора rot а через поверх
ность S. Формулу Стокса (31) |
можно представить |
в следующей |
в е к т о р н о й ф о р м е : |
|
|
J a dr = j | |
ro ta -n d o , |
(36) |
is
*То есть n пронизывает наблюдателя от ног к голове.
