ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 195
Скачиваний: 2
содержание которой таково: циркуляция вектора вдоль любого замкнутого контура равна потоку вихря этого вектора через поверхность, ограниченную упомянутым контуром; при этом направление обхода контура должно быть согласовано с выбором стороны поверхности.
Принимая во внимание формулу (И) п. 188, равенство (35) можно записать в виде
J ax(M)ds = JJ ro t„ a (M)da, |
(37) |
|
I |
s |
|
где ax (il/) — проекция |
вектора a (M) на касательную |
к кон |
туру I в точке М\ rot„ а — проекция rot а на нормаль п к поверх
ности S в точке М. |
|
|
о п р е д е |
|
|
|
||||
И н в а р и а н т н о е |
|
|
|
|||||||
л е н и е |
вихря вектора |
а получим с |
|
|
|
|||||
помощью формулы Стокса (37). Для |
|
|
|
|||||||
этого фиксируем точку М и какое-либо |
|
|
|
|||||||
направление |
и (начало п в точке М). |
|
|
|
||||||
Пусть S — бесконечно |
малая плоская |
|
|
|
||||||
область |
с площадью |
о, |
содержащая |
|
|
|
||||
точку М и перпендикулярная п. Напи |
|
|
|
|||||||
шем формулу |
(37) |
и |
по |
теореме о |
среднем для поверхностного |
|||||
интеграла получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
J аТ (М ) ds = rot„ а (Ж*) о. |
|
||||||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует равенство |
|
I ах ds |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
rot„ а (Ж) = |
lim |
/-------, |
(38) |
||||
|
|
|
|
|
|
(О - м |
а |
|
|
|
которое |
позволяет |
сформулировать |
инвариантное определение |
|||||||
вихря вектора: вихрем вектора а (Ж) в точке М |
называется век |
|||||||||
тор rot а (М), проекция |
которого на любое направление п равна |
|||||||||
пределу |
отношения |
циркуляции |
вектора |
а |
вдоль |
контура беско |
||||
нечно малой |
площадки, |
содержащей |
М |
и |
перпендикулярной п, |
|||||
к величине этой площадки. |
|
|
понятия вихря вектора |
|||||||
Ф и з и ч е с к о е |
с о д е р ж а н и е |
выясним с помощью его инвариантного определения. Для этого будем пока трактовать а как вектор скорости течения однородной несжимаемой жидкости. Поместим в точке М потока жйдкости бесконечно малое колесико с лопастями, расположенными по окружности перпендикулярно плоскости колесика (рис. 146). Под воздействием потока жидкости такое колесико будет, вообще говоря, вращаться со скоростью, зависящей от направления оси колесика п. Каждая точка окружности I вращается со скоростью ѵ, направленной по касательной к I. Величина этой скорости во
всех точках окружности одинакова и равна среднему значению касательной составляющей вектора а к линии I, т. е. среднему значению величины ах (М ) на окружности I, а именно
I |
|
|
Теперь из формулы (38) следует, что |
|
|
rotrtа (М) — |
— 2й>, |
(39) |
где (о — угловая скорость вращения |
колесика. Если |
векторы п |
и rot а ортогональны, то rot„ а = 0 и |
со = 0. Величина со дости |
гает наибольшего значения, когда векторы п и rot а коллинеарны, при этом
IW> |
= - | ' l r o ta l'R и I rot а I = -2t?1j|-б- = |
2сонаиб. - |
Следовательно, |
наибольшая угловая скорость вращения равна |
|
|
®наие=4“ ІГ 0 Іа І' |
(40) |
З а к л ю ч е н и е . Вихрь вектора а (М) характеризует вра щательную компоненту поля скоростей потока жидкости, его длина равна удвоенной наибольшей угловой скорости вращения бесконечно малой частицы жидкости, его направление совпадает с направлением оси, вокруг которой частица вращается с наи большей скоростью.
П р и м е р 1. Если жидкость течет с постоянной по величине и напра влению скоростью а, то будут постоянными и проекции этого вектора. По этому rot а = 0 и течение жидкости безвихревое.
П р il м с р 2- Если скорость а течения жидкости имеет проекции
|
Р = —ау, |
Q —сох, |
R — 0, |
(41) |
где |
ю — постоянная, то по формуле (33) получим |
|
||
|
гоta = 2cok. |
|
(42) |
|
Из |
(41) следует, что ѵ = | а | = |
со У х 2 + |
у2 = cor. |
Поэтому вся жидкость |
как целое вращается вокруг оси O z с постоянной угловой скоростью со. Дей ствительно, частицы жидкости, находящиеся на окружности с данным радиу сом г (в плоскости, перпендикулярной оси O z ) , движутся с постоянной скоро-
„ и
СТЬЮ V = ШГ II постоянной угловой скоростью (Û = — .
Каждая частица жидкости при движении вокруг оси O z участвует в двух движениях: в переносном движении со скоростью а (—соу, сох, 0) и во враща
тельном движении, в котором мгновенная угловая скорость вращения каждой
1 частицы равна со, что следует из формул (40) и (42), так как ювр= — | 2сок|=
= ш. Следовательно, угловая скорость вращения каждой частицы совпадает с угловой скоростью макроскопического движения жидкости вокруг оси O z H равна со.
Ф о р м а л ь н ы е |
с в о й с т в а |
р о т о р а . |
|
Пусть |
а (М) |
|||||||||
и b (М) — векторные |
поля |
и |
cp (М) — скалярное |
поле. |
Тогда |
|||||||||
1°. rot (а |
b) •= rot а | |
rot b, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2°. rot (cp а) фrot а -|-grad ф Xа. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Действительно, по формуле (33) имеем * |
|
|
|
|
||||||||||
1) ro t(а . |
Ь) |
Г д (az-i-Ьг) |
д(ау 'ГЬи)-\ |
, |
|
|
|
|
||||||
L |
|
ду |
|
|
dz |
J |
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
/ daz |
дау ' |
|
|
••• |
, ( |
dbz |
dby\ . |
, |
|
|
|
|
||
V ду |
dz. .г |
|
|
1 \ |
ду |
dz |
) |
|
|
|
|
|
||
|
|
- д (ф(7г) |
д (ФЙД 1 ; . |
|
_ |
|
|
|
|
|||||
2) ro t(ф а) = [ |
|
ду |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
- |
|
|
dz |
J 1 ' ‘ ' |
|
|
|
|
|
|||
-|- grad фX a. |
|
|
|
|
+ |
|
|
!S )i + --- |
''■prota |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
201. |
Безвихревые |
векторные |
ноля. |
Векторное поле а (М ) |
||||||||||
в области В называется безвихревым, если в каждой точке этой |
||||||||||||||
области ротор вектора а (М) равен нулю: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
rot а (М) ==0. |
|
|
|
|
(43) |
|||
Следовательно, если поле безвихревое, то согласно (35) - вы |
||||||||||||||
полнено условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dÿ__ _дР_ |
|
|
|
|
дР _ дЕ |
|
|
(44) |
||||
|
|
дх |
|
|
ду |
’ |
ду |
dz |
’ |
dz |
дх |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
которое совпадает с условием потенциальности поля. Поэтому |
||||||||||||||
всякое |
безвихревое |
поле |
потенциально, |
а |
всякое |
потенциальное |
поле безвихревое.
В и. 192 установлено, что для потенциальности векторного поля а (М ) необходимо и достаточно, чтобы оно было полем гра диентов некоторой скалярной функции а (М) = grad и (М).
Следовательно, если выполнено это условие, то поле потен циально и по доказанному оно безвихревое, т. е. выполнено усло вие (43). Поэтому имеем
rotgrad и (М ) = 0, |
(45) |
если функция и дважды непрерывно дифференцируема.
Таким образом, доказано, что поле градиентов всегда безвих ревое.
Докажем, что поле вихрей соленоидально, т. е. имеет место
формула |
(46)* |
divrot а (М) = 0. |
* О значении многоточий см. в и. 184. 22 Заказ Ц4
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим векторное поле а и поле его вихрен rot а. Составим выражение дивергенции поля вихрен. С помощью (35) получим
divrot а -^ (ro t аД-4~ (rot a)„-f |
(rot a)t -■= |
если P, Q и R дважды непрерывно дифференцируемы. Следова тельно, поле вихрей не имеет источников и стоков.
Поле а (М) называется гармоническим, пли лапласовым, если
оно безвихревое |
и соленоидальное, |
а |
т. е. |
rot а (М) |
О |
и div а (М) — 0. |
Отсюда следует, что |
grad |
и (М), причем |
потенциал этого поля и (М ) удовлетворяет уравнению Лапласа div grad и ~ 0 или Аи = 0. Например, гармоническим полем является электростатическое поле, создаваемое точечным источ ником.
§ 34. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ
ИИХ ВЫРАЖЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
202.Дифференциальные операции второго порядка. Пусть даны дважды непрерывно дифференцируемые в области В функ ции ср ( М) и а (TIP). Выберем систему координат и вычислим вели чины
grad ф (TIP), div а (Ж), ro ta (TIP). |
(1) |
Действия, в результате выполнения которых получены вели чины (1), можно назвать дифференциальными операциями первого порядка. Они произведены над функциями ф (TIP) и а (TIP) соот ветственно.
Если принять величины (1) за исходные (это функции точки TIP), то путем выполнения над ними дифференциальных операций первого порядка (тем самым будут выполнены дифференциальные операции второго порядка над функциями ф (TIP) и а (TIP)) можно составить только следующие величины:
1. graddiva, 2. divgradф, 3. divrota, 4. гоідгагіф, 5. rotrot а
В п. 201 рассмотрены две из этих величин rot grad ф и div rot а, они тождественно равны нулю. Найдем для остальных величин их выражения через исходные данные.
1. По формулам (7) п. 184 и (21) п. 197 получаем
graddiv а = (div a)* i -f (div a)y j |
(div a)2k; |
||
grad div a —(Pxx -■ Q x y ~ , B Xz) |
i ; |
(PXy " |
Q y y B y z ) 3-f- |
~Г (Px2 “ Q y z |
“ |
P-'zz) k. |
|