ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 196
Скачиваний: 2
с обычными векторами при условии сохранения порядка сомно жителей.
При этом условии имеют место формулы
|
V(p==grad(p, |
ya = diva, |
у Ха —rota. |
|
(9) |
|||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
_3_ |
|
Зф |
Зф |
Зф |
grad ф, |
|
|
|
|
|
д у |
|
|
д х |
д у |
d z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Va |
. |
3 |
|
. 3 |
(і ах - з ау-'- k аг) ~~ div а. |
|
||||
1 |
----- 3 |
J |
-т— |
|
||||||
|
|
д х |
' |
д у |
d z |
|
|
|
|
По правилу векторного умножения векторов имеем
|
|
i |
j |
к |
|
|
у |
Ха = |
3 |
3 |
3 |
rot а. |
|
д х |
ду |
d z |
||||
|
|
|
||||
|
|
ах |
ау |
az |
|
В результате выполнения дифференциальных операций вто рого порядка получим непосредственно из (9) следующие фор мулы :
уу Ф= у g |
r a dф = |
d i v g фr |
a= dДф, |
|
V X УФ = у Xg r a фd = r o t g r aф,d |
||||
y y a |
= y d |
i v a |
= g r a d d i v a ( ,1 0 ) |
|
Ѵ УX а = у r o tа = d |
i v r а,o t |
|||
У Xу Xа = у Xr o аt |
= r o t r oа.t |
203. Выражение градиента в ортогональных криволинейных координатах. Рассмотрим две системы координат — деікартову прямоугольную систему (х , у, z) с ортами i, j, к и какую-либо криволинейную ортогональную систему (u, v, w) и пусть е„, еѵ,
ew — соответствующие орты этой системы (см. п. 178). Формулы связи между координатами предполагаются известными:
х — х(и, |
v, |
w), |
у = у(и, |
v, |
w), |
z = z(u, |
v, |
w), |
и = и(х, |
у, |
z), |
ѵ = ѵ(х, |
у, |
z), |
w = w(x, |
у, |
z). |
Следовательно, имеет место соотношение
“Ь МуУи ф UzZu — 1, |
(11) |
в чем легко убедиться, продифференцировав по и тождество
и(х(и, v, w), у (и, v, w), z(u, v, w)) — и.
Требуется составить выражение градиента данной скалярной функции точки / (М) в системе координат (и, v, w).
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
f x ~ і ѵ М х “Г I r P x ~f“ f w W X l
f y - ~ f u U y~ \ - f v v y ~ c‘ i w W y ,
f z ~ f u U z -t~ f x P z "T~ î w W z -
Умножим эти равенства соответственно на i, j, к и, сложив,
получим согласно |
равенству |
(7) |
|
|
grad / (М) =- /ûgrad и t |
/;grad v -f/^grad w. |
(12) |
||
Известно (см. |
п. 184), |
что |
градиент скалярной |
функции |
и (X, у, z) есть вектор, направленный перпендикулярно поверх
ности уровня и = и0. Поэтому он коллинеарен вектору еи. |
Сле |
довательно, имеем |
|
grad и = и'х i-\-Uyi-r u'zk -- h еш |
(13) |
где h — скалярный множитель, подлежащий определению. Производная векторной функции г = xi -j- yj + zk по ска
лярному аргументу, например и, согласно п. 185 есть вектор, направленный по касательной к годографу вектора г (и), т. е. по касательной к координатной линии и. Поэтому
|
|
ru = x'u\ + y u \ + z uk = Hueu, |
|
|
(14) |
||||||
где Ни — соответствующий |
коэффициент |
Ламе |
(см. |
п. |
178) си |
||||||
стемы (и, v, w). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате скалярного умножения равенств (13) и (14) полу |
|||||||||||
чим равенство |
-ЕуЦх~!г УѵЦу~т |
|
= HJi, |
|
|
(15) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
левая часть |
которого |
равна |
единице по |
формуле (11). Поэтому |
|||||||
h = 1/Ни и |
согласно |
(13) |
имеем |
grad |
|
j |
|
|
|||
и — -гг еи. Аналогично |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
п и |
|
|
|
получим grad |
ѵ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-гг£ѵ, grad w = |
-==- ew. |
|
|
|
|
||||||
' |
' |
-L* V |
|
|
* * W |
|
|
|
|
||
Теперь из (12) следует выражение градиента скалярной функ |
|||||||||||
ции точки в любых |
криволинейных ортогональных координатах |
||||||||||
grad /(М ) = |
|
1 -ËL е - |
1 df |
1 - Ê L |
е |
(16) |
|||||
На ди |
и Ііѵ |
дѵ |
-ц н„ |
dw |
е“)- |
204. Выражение дивергенции в ортогональных криволинейных координатах. Это выражение установлено ниже с помощью инва риантного определения дивергенции (см. и. 197). Для получения дивергенции вектора а (М) в точке М 0 (и0, v0) w0) рассмотрим криволинейный параллелепипед, ограниченный координатными поверхностями (рис. 147) и = и0, и = и0 -р du, v = ѵ0, v = v0 +
+ dv, w — w0, w WQ -f dw. Элементы длин дуг координатных линий и элемент объема найдены в п. 178. Поток вектора через каждую грань параллелепипеда представим в виде произведения площади соответствующей грани на среднее значение величины ап. Поэтому поток вектора а через противоположные грани M 0M 3N sN n и М ХМ 2N 2N х (площади которых равны dsudsw) приблизительно равен
JJ |
anda æ (a nds0dsw) |
\ — (ands0dsw) | == |
||
S1+S2 |
Kohdu |
|
щ |
|
(auHvHw) J |
(auHvHw) |
dv dw æ |
d |
(auHvHw) du dv dw. |
Uoi-du |
|
du |
|
|
|
|
|
Здесь последнее равенство написано в соответствии с формулой конечных приращений Лагранжа, причем зна чение частной производной берется в некоторой средней точке указанного параллелепипеда.
Аналогичные формулы имеют ме сто для потоков вектора через остав шиеся пары граней. Поток вектора через всю поверхность параллеле пипеда получится равным
^ a nda « [^ -(а „ Я „ Я J + ~ { a aHuHw) + ^ |
(ашЯ иЯ„)] dudvdw. |
|||
s |
|
|
|
|
Теперь, положив в формуле (23) |
п. 197 |
Ѵв = HuH vHwdu dv dw, |
||
в результате сокращения дроби на du dv dw |
после |
предельного |
||
перехода при стремлении к нулю |
величин |
du, dv и |
dw получим |
выражение дивергенции в ортогональных криволинейных коорди натах
^iv а = H UHVHW\_~~ди (a“HvHw) + ЛдГ (avHuHw) + -^Г (awHuHv) j . (17)
205.Выражение оператора Лапласа в ортогональных криволи
нейных |
координатах. Оператор Лапласа сікалярной функции |
/ (и, V, |
w) согласно формуле (6) есть дивергенция от ее градиента. |
Поэтому, применяя формулу (17) к вектору а = grad / в форме (16), т. е. полагая в (17)
___1 |
df |
a, |
J __ dj__ |
1 |
df |
a u ~~ Л и |
du ’ |
H u дѵ |
а“> Hw |
dw ’ |
получим выражение оператора Лапласа в любых ортогональных кр иволинейных коордилатах
А/ |
I |
д |
( |
IIуПg, _9/_\ |
I |
( |
HUHW d f \ , |
|||
UuH-Jlw |
ди |
\ |
Пи |
ди |
/ |
' дѵ |
\ |
IIѵ д ѵ J ' |
||
|
||||||||||
|
|
. |
д |
! |
1IUIIV |
df |
|
|
(18) |
|
|
|
~ |
d w V IIw |
d w J J ' |
|
|||||
|
|
|
|
Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах выведем из (18), положив согласно п. 178 Нр — 1, 7/ф = р, Нг — 1. Таким образом, получим
А/ = |
д |
1 |
02/ , |
02/ |
(19) |
~Эр |
р 2 |
9 ф 2 |
dz* |
Выражение оператора Лапласа в сферических координатах получается из (18) при Hr ~ 1, 7/ф = г sin 0, Н% = г (см. п. 178). В результате получим
А/ = 7-2 |
' д |
Л І |
1 . |
д Л |
1 |
д |
df |
( 20) |
~д7 |
дг |
S ill2 0 "Г- |
ÖCp2 |
S i n ö |
9Ѳ |
sin О 90~ |
||
Иногда |
в сферической |
системе |
координат |
угол Ѳ отсчитывается |
||||
не от оси Oz, |
а от плоскости Оху. Тогда новый угол Ѳ' = |
— Ѳ |
и в (20) вместо sin Ѳвсюду войдет cos Ѳ'.
Многие задачи естествознания приводят к уравнению А/ = 0,
называемому уравнением Лапласа. Оно |
имеет решение / = — |
в области, где г Ф 0. Действительно, |
f r’ — ----—2 и А |
что прямо следует из (20). Функция / = — называется фунда
ментальным решением уравнения Лапласа.
206. Уравнение диффузии. Пусть в данной неподвижной среде неравномерно распределено некоторое вещество а. Рассмотрим процесс изменения концентрации этого вещества и (717, і) вслед ствие диффузии.
Выделим и закрепим в рассматриваемой среде область В, ограниченную поверхностью S. Подсчитаем двумя способами
количество |
Q вещества а, переместившееся вследствие диффузии |
в область В |
извне за промежуток времени от tx до t2. |
Согласно экспериментальному закону Фике, через элемент
поверхности da в сторону нормали |
п за время dt переместится |
|
вследствие диффузии количество вещества, равное |
|
|
dQ — D |
da dt, |
( 21) |
где D — положительная величина, называемая коэффициентом диффузии. Среда предполагается изотропной в том смысле, что D не зависит от направления п.