Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Из (21) следует, что

И ’Д ИD — do.

ОП

ди

Согласно формуле (8) п. 184 - grad u n; поэтому в соот­

ди

ветствии с формулой Остроградского имеем

Это перемещение вещества повлечет за собой изменение кон­ центрации внутри В и может быть подсчитано иначе. Увеличение

концентрации и на du = dt за промежуток времени dt потре­

бует сообщения элементу dr количества вещества, равного

равенство нулю подынтегральной функции (см. ниже лемму). Мы получим, таким образом, соотношение

называемое уравнением диффузии в неоднородной среде (или урав­ нением теплопроводности, так как этому уравнению удовлетво­ ряет температура среды, • изменяющаяся вследствие теплопро­ водности).

Если среда однородна (с и D постоянны), то при отсутствіи! источников (/ = 0) концентрация и удовлетворяет уравнению теплопроводности

Глава X II

РЯДЫ

§ 35. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

207. Основные понятия. Теория рядов представляет один из основных разделов математического анализа. Ряды встре­ чаются в трудах создателей математического анализа Ньютона

Пусть дана бесконечная числовая последовательность {ап}. Вспомним, что бесконечной числовой последовательностью назы­ вается счетное числовое множество, все элементы которого пере­ нумерованы и расположены в порядке возрастания этих номеров

Составленное из элементов данной последовательности выра­ жение

принято называть числовым рядом, или просто рядом. Отдельные элементы ап, из которых образовано выражение (1), называют

членами данного ряда.

Между членами ряда в выражении (1) стоит знак плюс; это указывает как будто на то, что все члены ряда надо сложить. Однако их бесконечно много, а действие сложения чисел опре­ делено лишь для конечного числа слагаемых. Возникают во­ просы — что же такое сумма ряда, всякий ли ряд имеет сумму? Ответы на эти вопросы даны ниже.

Сумма п первых членов ряда называется п-й частичной суммой ряда', обозначим ее sn. Имеем

s n — а і + а 2 + • • • а п - (2)

Составим последовательность частичных сумм ряда (1)

О п р е д е л е н и е . Если последовательность частичных сумм ряда (1) имеет конечный предел

ность его частичных сумм не стремится к конечному пределу (например, sn -> при п со).

Перефразируя определение, можно сказать, что бесконечный ряд называется сходящимся, если сумма его первых п членов при неограниченном возрастании числа п стремится к конечному пределу: и этот предел называется суммой ряда.*

О сумме бесконечного ряда можно говорить только тогда,

члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q,

не имеет: sn —» оо при п -*■ оо. Поэтому в случае | g | >> 1 ряд (6) расходится. 3) Если g = 1, то ряд (6) имеет вид а + а + ... + а + ••• В этом случае

sn = ап -> оо при п-у оо, т. е. ряд расходится.

* При рассмотрении пределов последовательностей переменная п всегда стремится к бесконечности. Поэтому символ п -*■ оо мы иногда будем опускать в записи предела последовательности. Например, равенство (4) можно запи­ сать так: lim s„ = s.

Точно так же ряд с общим членом ап можно представить символом ^ ап, если известно с какого номера начинается суммирование.

суммирования ряда в отдельных случаях.

208. Основные свойства рядов. 1°. Если все члены сходящегося ряда (1), сумма которого равна s, умножитъ на одно и то же число Ь, то получим сходящийся ряд, и его сумма равна bs:

имеет конечный предел, равный bs:

2°. Сходящиеся ряды можно почленноскладывать и вычитать

с о СО ОО

Для доказательства обозначим через Ап и В„ частичные суммы

соответственно рядов ап и У, Ъп, и через А и В — их суммы. Частичная сумма ряда из правой части равенства (11) ап = Ап + + В„ имеет предел, равный

Для .выяснения других свойств рядов введем понятие под­ последовательности. Пусть {хп} — некоторая последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность на­ туральных чисел ftlt к 2, . . ., кп, . . . Выберем из последователь­